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1、其次章其次章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变更快慢微分微分描述函数变更程度都是描述物质运动的工具(从微观上探讨函数)一元函数微分学一元函数微分学导数思想最早由法国数学家 Ferma 在探讨极值问题中提出.英国数学家 Newton12.1 2.1 导数的概念导数的概念2.2 2.2 导数的运算导数的运算2.3 2.3 微分微分2.4 2.4 导数的应用导数的应用其次章 一元函数微分学 2一、一、引例引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的连续性与可导性的关系四、函数的连续性与可导性的关系2.1 2.1 导数的概念导数的概
2、念 3一、引例一、引例1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得42.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放5 如图如图,假如割线假如割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直直线线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的切线处的切线.极限位置即极限位置即6两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。类似问题还有：加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增
3、量之比的极限变变更更率率问问题题7二、导数的定义二、导数的定义定义定义8其它形式其它形式即即若上述极限不存在若上述极限不存在,则称函数则称函数f(x)在点在点x0处不行导。处不行导。当极限为无穷大时，则称函数当极限为无穷大时，则称函数f(x)在在x0处不行导。但为处不行导。但为了便利，也称函数了便利，也称函数f(x)在点在点x0处的导数是无穷大。处的导数是无穷大。9右可导：右可导：左可导：左可导：单侧导数单侧导数函数在点函数在点x0处可导处可导函数在点函数在点x0 0处左右均可处左右均可导且导数值相等。导且导数值相等。10 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变更率，它反映处的变更率，
4、它反映了因变量随自变量的变更而变更的快慢程度。了因变量随自变量的变更而变更的快慢程度。关于导数的说明：关于导数的说明：若函数若函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导，且在内可导，且在左端左端点处右可导点处右可导和和右端点处左可导右端点处左可导，则称函数，则称函数f(x)在闭在闭区间区间a,b内可导。内可导。若函数若函数y=f(x)在开区间在开区间I内的每点处都可导，内的每点处都可导，则称函数则称函数f(x)在开区间在开区间I内可导。内可导。11留意留意:12播放播放2.导函数导函数(瞬时变更率瞬时变更率)是函数平均变更率的靠是函数平均变更率的靠近函数近函数.13由定义求导数步骤由定义
5、求导数步骤:14(2)算比值算比值：例例1 1 求常数函数求常数函数f(x)=)=C的导数的导数f(x)。解：解：(1)求增量求增量：因为：因为y=C，不论取什么值时，不论取什么值时，y都等于都等于C，所以，所以y=0；(3)取极限取极限：即即 (C)=015例例2 2 求函数求函数在在处的导数处的导数解：解：所以，所以，16例例3处的导数处的导数.求函数求函数解：解：17三、导数的几何意义三、导数的几何意义曲线割线 M N 的斜率导数的几何意义导数的几何意义：导数是曲线上过点：导数是曲线上过点x0处切线的斜率。处切线的斜率。18例例4 4 求过点求过点(0,-1)且与且与相切的直线方程相切的
6、直线方程.解：解：由例由例2知知设切点为设切点为则该直线的斜率为则该直线的斜率为又知又知从而有从而有解得解得从而知过点从而知过点(0,-1)可作两条直线与可作两条直线与相切，相切，其斜率分别为其斜率分别为二直线方程分别为二直线方程分别为19四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 若函数若函数y=f(x)在点在点x0 0 处可导处可导 则它在点则它在点x0 0 处必定连续处必定连续.证明证明20反例反例:在 x=0 处连续,但不行导.留意留意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.21小小 结结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切
7、线的斜率切线的斜率;4.函数可导确定连续，但连续不确定可导函数可导确定连续，但连续不确定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.推断可导性推断可导性不连续不连续,确定不行导确定不行导.连续连续干脆用定义干脆用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.22思索题思索题23思索题解答思索题解答24一、一、几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数二、二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则 三、三、复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则四、四、对数求导法对数求导法 2.2 2.2 导数的运算导数的运算 五、五、反函数求导法反函数求导法
8、 六、六、高阶导数高阶导数 47一、几个基本初等函数的导数一、几个基本初等函数的导数 2 2、幂函数的导数、幂函数的导数1 1、常数的导数、常数的导数常数的导数是常数的导数是0 03 3、正弦函数与余弦函数的导数、正弦函数与余弦函数的导数4 4、对数函数的导数、对数函数的导数48二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则定理定理49推论推论50例题分析例题分析例例5 5 已知已知y=asinx+x2lnx(a0)0)，求，求y 解解:y=(asinx+x2lnx)=(asinx)+(x2lnx)=a(sinx)+(x2)lnx+x2(lnx)=acosx+2xlnx+x51例例6 6解：解：
9、同理可得同理可得52例例7 7解：解：同理可得同理可得53基本求导公式基本求导公式54小小 结结留意留意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数分界点导数用用左右导数左右导数求求.55思索题思索题 求曲线求曲线 y=2x-x3上与上与x轴平行的切线方程。轴平行的切线方程。56思索题解答思索题解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和57三、复合函数和隐函数的求导法三、复合函数和隐函数的求导法定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以乘以中间变量对自变量求导。中间变量对自变量求导。(链式法则链式法则)1 1、复合函数的求
10、导法则、复合函数的求导法则58推广推广59例例8 8 已知已知,求求解：解：60留意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层留意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层到里层一层一层地求导，不要漏层 。例例9 9 设设f(u)可导函数，且可导函数，且y=f(tanx)，求，求解：解：令令u=tanx，则有，则有 61小小 结结复合函数的求导法则复合函数的求导法则（留意函数的复合过程（留意函数的复合过程,合理分解正确运用链导法）合理分解正确运用链导法）;已能求导的函数已能求导的函数：可分解成基本初等函数，或常：可分解成基本初等函数，或常数与基本初等函数的和、差、
11、积、商。数与基本初等函数的和、差、积、商。62思索题思索题63思索题解答思索题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处不可导，处不可导，取取在在 处可导，处可导，在在 处可导，处可导，64 干脆对方程两边求导，遇到干脆对方程两边求导，遇到y，把，把它看成它看成x的函数；遇到的函数；遇到y的函数，把它看成的函数，把它看成x的复合函的复合函数，利用复合函数求导法求出数，利用复合函数求导法求出y对对x的函数。的函数。2 2、隐函数的导数、隐函数的导数定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不
12、能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:留意：留意：y的表达式中允许保留的表达式中允许保留y。65例例1010.y是由是由 所确定的关于所确定的关于x的函数，求的函数，求y解解：设：设两边同时对两边同时对x求导，则求导，则即即最终得最终得66 所确定的所确定的x的函数，的函数，例例1111 已知已知 y是由是由试求试求解解：方程两边同时对：方程两边同时对x求导，得求导，得从而从而又由函数方程知又由函数方程知所以所以67四、对数求导法四、对数求导法视察函数视察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方然后利用隐函数的求导方法求出导数法求出导数.-对数求导法对
13、数求导法适用范围适用范围:68例例1212.设设 解解:(1):(1)两边同时取对数，得两边同时取对数，得两边同时对两边同时对x求导，得求导，得因而因而，求，求y。69例例1313解解:等式两边取对数得等式两边取对数得70一般地一般地71五、反函数求导法数五、反函数求导法数即即 反函数的导数等于原函数导数的反函数的导数等于原函数导数的倒数倒数.在在处可导，且处可导，且则则 在对应点在对应点 处也可导，处也可导，定理定理2 2 对于函数对于函数它在某个开区间严格单它在某个开区间严格单调、连续，它的反函数调、连续，它的反函数且且72例例1515解解同理可得同理可得73例例1616解解特殊地特殊地7
14、4六、高阶导数六、高阶导数定义定义记作记作75三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,76高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.干脆法干脆法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1717 已知已知 解：解：77留意：求留意：求n n阶导数时，求出阶导数时，求出1-31-3或或4 4阶后，不要急于合并阶后，不要急于合并,分析结果的规律性，写出分析结果的规律性，写出n n阶导数。阶导数。(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例1818
15、解解同理可得同理可得782.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式79例例1919解解80一、一、微分的定义微分的定义二、二、微分的几何意义微分的几何意义 三、三、微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则2.3 2.3 微微 分分 811.问题的提出问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的变更量正方形金属薄片受热后面积的变更量.一、微分的定义一、微分的定义82再例如再例如,既简洁计算又是较好的近似值既简洁计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(变更量的主要部分变更量的主要部分)是否全部是否全部函数的变更量都有函数的变更量都有?它是什么它是什么?
16、如何求如何求?83定义定义(微分的实质微分的实质)2.2.微分的定义微分的定义84由定义知由定义知:853.可微的条件可微的条件定理定理证证(1)必要性必要性86(2)充分性充分性87例例1 1解解88二、微分的几何意义二、微分的几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P 89三、微分公式与微分运算法则三、微分公式与微分运算法则 求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式902.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则91微分形式的不变性微分形式的不变性结论结论：微分形式的不变性微分形
17、式的不变性92例例2 2 设设解：方法一解：方法一 利用微分的定义，得利用微分的定义，得方法二方法二 利用一阶微分的不变性利用一阶微分的不变性(视视ax2+bx+c为中间变量为中间变量)，求，求dy93例例3 设方程设方程x2+2xy-y2=a2所确定的隐函数所确定的隐函数y=f(x)的微的微分分dy及导数及导数dy/dx解解:对方程两端对对方程两端对x求微分，得求微分，得 d(x2+2xy-y2)=d(a2)应用微分的运算法则，得应用微分的运算法则，得 d(x2)+d(2xy)-d(y2)=0 即即 2xdx+2ydx+2xdy-2ydy=0化简整理，得化简整理，得 (x+y)dx=(y-x
18、)dy于是，所求微分为于是，所求微分为 从而，得到所求导数为从而，得到所求导数为 94例例4 4解：解：95解解例例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.96微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用从微分的定义知，当从微分的定义知，当|x|很小时，很小时，ydy=f(x)x，即即 y=f(x0+x)-f(x0)f(x)x，此为求函数增量的，此为求函数增量的近似公式。近似公式。将上式改为将上式改为 f(x0+x)f(x0)+f(x)x，此为求函数，此为求函数值的近似公式。值的近似公式。97例例6 6 有一批半径为有一批半径为1cm
19、1cm的球，为了提高球面的光滑度，要镀的球，为了提高球面的光滑度，要镀上一层铜，厚度定为上一层铜，厚度定为0.01cm0.01cm，估计一下每只须要铜多少克？，估计一下每只须要铜多少克？（铜的密度是（铜的密度是8.9g/cm38.9g/cm3）解：解：要求铜的质量，应先求出镀层的体积。而镀层的体积要求铜的质量，应先求出镀层的体积。而镀层的体积等于两个球体积之差，即为球体体积等于两个球体积之差，即为球体体积 当当R0=1，R=0.01时的增量时的增量V又因为又因为 所以，依据公式所以，依据公式 yf(x)x，得，得cm3于是，镀每只球需用的铜约为于是，镀每只球需用的铜约为 0.138.9=0.1
20、16(g)98例例7 7 计算计算的近似值的近似值解解：设：设,x0=1,x=0.02,则则f(1)=1，根据公式根据公式 ，得，得99一、一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理二、二、洛必达法则洛必达法则三、三、函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值2.4 2.4 导数的应用导数的应用 四、四、函数凹凸性及拐点函数凹凸性及拐点1001.罗尔罗尔（Rolle）定理定理 设函数设函数f(x)在点在点x0的某邻域的某邻域U(x0)内有定义内有定义 并且在并且在x0处可导处可导 假如对随意假如对随意x U(x0)有有 f(x)f(x0)(或或f(x)f(x0)那么那么 f(x0)0 费马引理费马
21、引理一、一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理101费马(1601 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他爱好广泛,博览群书并擅长思索,在数学上有很多重大贡献.他特殊爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿高校的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心探讨才得到解决.引理是后人从他探讨解决最值的方法中提炼出来的.102定理定理1假如函数假如函数 f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；(3)f(a)=f(b)则在则在(a,b)内至少有一内至少有一点点使得使得（罗尔定理）（
22、罗尔定理）103例例1 验证函数验证函数定理的条件，并求出访定理的条件，并求出访的的值值.解：解：所以，在所以，在内，使得内，使得的的有两个有两个:上满足罗尔上满足罗尔1042.拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)定理定理定理定理2(拉格朗日定理拉格朗日定理)假如函数假如函数 f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点使得使得105拉格朗日(1736 1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的很多成就都干脆或间接地溯源于他的工作
23、,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.106拉格朗日定理的条件，并求拉格朗日定理的条件，并求 的值的值.例例2验证函数验证函数在区间在区间0,1上满足上满足解：解：拉格朗日拉格朗日定理定理（舍）（舍）所以在区间所以在区间0,1上连续；上连续；107推论推论1假如函数假如函数f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为零，内的导数恒为零，则则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数。内是一个常数。例例3 证证明：当明：当x0时时，。证明：设证明：设f(x)ln(1x)，明显，明显f(x)在区间在区间0,x上满足拉格上满足拉格朗日中值定理的条件，朗日中值定理的条件，依据定理，依据定理，就有就
24、有 f(x)f(0)f ()(x 0)，0 x。由于由于f(0)0，因此上式即为因此上式即为 又由又由00(或或f(x)0，则，则f(x)在在(a,b)上单调增加。上单调增加。(2)若在若在(a,b)内内f(x)0时，时，sinx0时，时，f(x)=1-cosx0。所以所以f(x)在在(0,+)内是单调增加的，且内是单调增加的，且f(x)在在(0,+)(0,+)上是连续的，上是连续的，于是，当于是，当x0时，有时，有f(x)f(0)=0，即即 x-sinx0 亦即亦即 sinx0)141则称则称 为为 的极大点的极大点,二、函数极值及其判定方法二、函数极值及其判定方法定义定义3:3:(1)(1
25、)称称 为函数的极大值为函数的极大值;(2)(2)则称则称 为为 的微小点的微小点,称称 为函数的微小值。为函数的微小值。极大点与微小点统称为极值点。极大点与微小点统称为极值点。对于该邻域内（除对于该邻域内（除x0 0外）的任一外）的任一x，142定理定理(必要条件必要条件)假如函数假如函数y=f(x)在点在点x0可导可导,且在且在x0 0处取极值，则处取极值，则f(x0)=0使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不确定。数的极值必定是它的驻点，反之则不确定。推断驻点是否为极值点要推断该点左右的倒数推断驻点是否为极值点要推断该点左
26、右的倒数符号是否发生变更，此外导数不存在的点也可能符号是否发生变更，此外导数不存在的点也可能是极值点。是极值点。143定理定理 8 8(极值第一判别法极值第一判别法)(1)(1)“左正右负左正右负”,(2)(2)“左负右正左负右正”,(3)若若f(x)不变号，则函数不变号，则函数f(x)在在x0处无极值。处无极值。144由上述两定理给出求函数极值的步骤如下：由上述两定理给出求函数极值的步骤如下：2.2.求导数求导数f(x)3.3.找出驻点和导数不存在的点找出驻点和导数不存在的点5.5.把极值点代入函数中算出极值。把极值点代入函数中算出极值。1.1.求出函数的定义域求出函数的定义域 4.4.探讨
27、各驻点或导数不存在的点是否为极值点探讨各驻点或导数不存在的点是否为极值点145例例1818 求函数求函数 的极值。的极值。解：解：x(-,-1)-1(-1,0.2)0.2(0.2,1)1(1,+)y+0+0-0+y增无增极大减极小增由表可知极值由表可知极值图象146返回1473 3、若、若f”(x0)=0，则不能确定，则不能确定f(x0)是否为是否为f(x)的的定理定理9 9（极值其次判别法）设（极值其次判别法）设f(x)f(x)在点在点x0 x0处具有处具有 二阶导数，且二阶导数，且f(x0)=0 ，则：，则：极值，仍需推断一阶导数在极值，仍需推断一阶导数在x0 x0左右的符号左右的符号变更
28、状况，然后再得出结论。变更状况，然后再得出结论。2 2、若、若f”(x0)0f”(x0)0，则，则f(x0)f(x0)是是f(x)f(x)的微小值的微小值1 1、若、若f”(x0)0，则，则f(x0)是是f(x)的的极大值极大值148例例19 19 应用其次判别法求函数应用其次判别法求函数 的极值的极值解解:149例例2020 求求 的极值的极值解解:则则因此因此,由定理由定理8 8判定判定,函数在函数在x=0 x=0时有微小值时有微小值0,0,在在x=1,-1x=1,-1时时由定理由定理8 8判定。判定。150最大值与最小值定义定义4 4 设设 f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续，将区间
29、上连续，将区间其数值最大与最小者分别称为函数其数值最大与最小者分别称为函数f(x)在闭区在闭区 间间a,b上的最大与最小值。上的最大与最小值。内全部极值和端点处的函数值内全部极值和端点处的函数值f(a)f(a)与与f(b)f(b)比较，比较，151求函数求函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的最大值与最小值的方上的最大值与最小值的方法，可按如下步骤进行：法，可按如下步骤进行：(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的导数，并求出全部的驻点和导数的导数，并求出全部的驻点和导数不存在的点；不存在的点；(2)(2)求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值；求各驻点、导数不存在的点及各端
30、点的函数值；(3)(3)比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值最大者为最大值.152例例21 求函数求函数f(x)=x3-3x2-9x+2在闭区间在闭区间-2,6-2,6上的最大值上的最大值和最小值。和最小值。解：解：(1)(1)求函数的导数求函数的导数f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)令令f(x)=0,得驻点得驻点x1=-1,x2=3,在区间在区间(-2,6)内没有使内没有使f(x)不存在的点。不存在的点。(2)(2)求出各驻点和各端点的函数分别是求出各驻点和各端点的函数分别是f(-1)=7,f(3)=-25,f(-
31、2)=0,f(6)=56(3)(3)比较上述各值的大小比较上述各值的大小,可知函数在区间可知函数在区间-2,6上的最大上的最大值为值为f(6)=56，最小值为，最小值为f(3)=-25。153例例22 22 在给定容积在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省？头，问当高和底半径取多少时用料最省？解解:设底面半径为设底面半径为r,高为高为h,表面积为表面积为S,则则154四、函数的凹凸性及拐点四、函数的凹凸性及拐点1 1、函数曲线的凹凸性、函数曲线的凹凸性2 2、曲线的拐点、曲线的拐点3 3、曲线的渐近线、曲线的渐近线4 4、函数图象
32、的描绘、函数图象的描绘155定义定义5 5 假如一段曲线位于它上面随意一点的切线假如一段曲线位于它上面随意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的；假如一段上方，我们就称这段曲线是向上凹的；假如一段曲线位于其上随意一点的切线的下方，则称这段曲线位于其上随意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的。曲线是向上凸的。1 1、函数曲线的凹凸性、函数曲线的凹凸性156定理定理 假如函数假如函数f(x)在区间在区间(a,b)内具有内具有二阶导数二阶导数f”(x),则在该区间上，则在该区间上，当当f”(x)0时时,曲线向上凹曲线向上凹,并称为凹函数；并称为凹函数；1572 2、函数的拐点、函数的拐点 若
33、函数若函数f(x)在某点的凹凸性发生了变更，那么在某点的凹凸性发生了变更，那么该点就称为曲线的拐点。该点就称为曲线的拐点。留意：拐点可能是二阶导数为留意：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之，二阶导数为是二阶导数不存在的点；反之，二阶导数为0或或二阶导数不存在的点却不确定是拐点。二阶导数不存在的点却不确定是拐点。158推断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：推断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：(1)(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(2)(2)求函数的二阶导数求函数的二阶导数f”(x)f”(x)；(3)(3)令令f”(x)=0f”(x)=0，求出函数
34、二阶导数为，求出函数二阶导数为0 0的点和二阶的点和二阶导数不存在的点；导数不存在的点；(4)(4)用用(3)(3)中的点分定义域成区间，依据各区间中的点分定义域成区间，依据各区间f”(x)f”(x)的符号确定曲线的凹凸性，再依据相邻区的符号确定曲线的凹凸性，再依据相邻区间的凹凸性确定曲线的拐点。间的凹凸性确定曲线的拐点。159例例22 22 探讨曲线探讨曲线的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点解解:在定义域内无零点在定义域内无零点x(-,1)(-,1)1 1(1,+)(1,+)y-不存在不存在+y上凸上凸拐点拐点下凹下凹160例例23 23 探讨函数探讨函数 的单调性极值及拐点的单调性极值及拐点x(
35、-,-(-,-1)1)-1-1(-1,+1)(-1,+1)1 1(1,+)(1,+)y0 0+0 0y减函数减函数极小值极小值增函数增函数极大值极大值减函数减函数解解:令令y=0,得得x=-1,1,列表如下列表如下161x0y”0+00+y上凸拐点上凹拐点上凸拐点上凹162、曲线的渐近线、曲线的渐近线定义定义6 6 假如动点沿某一条曲线无限远离原点时，动假如动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到确定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线点到确定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线的渐近线 则曲线则曲线 y=f(x)有水平渐近线有水平渐近线y=b若若 则曲线则曲线y=f(x)有垂直渐近
36、线有垂直渐近线x=x0若若163例例24 24 探讨探讨 的渐近线的渐近线解解:因为因为，知，知是是的水平渐近线；的水平渐近线；又因为又因为，所以，所以是是的垂直渐近线的垂直渐近线1644 4、函数图象的描绘、函数图象的描绘利用导数描绘函数的图象的一般步骤是：利用导数描绘函数的图象的一般步骤是：(1)(1)确定函数确定函数y=f(x)y=f(x)的定义域，并探讨函数奇偶性；的定义域，并探讨函数奇偶性；(2)(2)求出求出f(x)f(x)与与f”(x)f”(x)，解出，解出f(x)=0f(x)=0与与f”(x)=0f”(x)=0在函数在函数定义域内的全部实根，并求出全部使一阶导数定义域内的全部实
37、根，并求出全部使一阶导数f(x)f(x)与与二阶导数二阶导数f”(x)f”(x)不存在的点；不存在的点；(3)(3)把函数的定义域分为几个部分区间，列表探讨函数把函数的定义域分为几个部分区间，列表探讨函数的单调性与极值、凹凸性与拐点；的单调性与极值、凹凸性与拐点；(4)(4)确定曲线的渐近线；确定曲线的渐近线；(5)(5)结合极值点、拐点以及必要的协助点，把它们的连结合极值点、拐点以及必要的协助点，把它们的连成光滑的曲线，从而得到函数成光滑的曲线，从而得到函数y=f(x)y=f(x)的图象。的图象。165解：解：(1)函数的定义域为函数的定义域为(,+)。因为因为f(-x)=3(-x)-(-x
38、)3=-(3x-x3)=-f(x)所以，所以，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称；是奇函数，其图象关于原点对称；(2)f(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x)，令令f(x)=0，得，得x1=1，x2=-1 f”(x)=-6x，令令f”(x)=0，得，得x3=0(3)列表探讨如下：列表探讨如下：例例25 25 作函数作函数f(x)=3x-x3的图象。的图象。166x(-,-1)(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)+)f(x)00f”(x)0f(x)极小极小值值-2 极大极大值值2 曲曲线线凹凹凹凹拐点拐点(0,0)凸凸凸凸(5)计算计算x=-1,0,1处的函数值，得处的函数值，得 f(-1)=-2，f(0)=0，f(1)=2 从从而得到曲线上的三个点为而得到曲线上的三个点为(-1,-2)，(0,0)，(1,2)，再取协助，再取协助点点()，()，结合上述探讨作出函数的图象。，结合上述探讨作出函数的图象。(4)(4)当当x-x-时时,y+,y+；当；当x+x+时时,y,y,没有渐近线。没有渐近线。167