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1、郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础本章主要内容本章主要内容10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数 10.1 基本概念基本概念 10.2 再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳 10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加 10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加 10.6 RLC电路的谐振电路的谐振郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.1 基本概念基本概念出现多个频率正弦激励大致可分为两种状况：出现多个频率正弦激励大致可分为两种状况：其一：其一：电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯齿波等等。齿波等等
2、。非正弦周期信号可展为傅立叶级数。非正弦周期信号可展为傅立叶级数。其二：其二：电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波。电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波。但频率之间不确定成整倍数关系。但频率之间不确定成整倍数关系。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础非正弦周期信号可展为傅立叶级数：非正弦周期信号可展为傅立叶级数：tu(t)0AT/2T郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础以一个周期为例进行分析以一个周期为例进行分析tu(t)0u1u1与方波同频率与方波同频率,称为方波的基波称为方波的基波u3u3的频率是方波的的频率是方波的3倍倍,称
3、为方波的三次谐波。称为方波的三次谐波。u1和和u3的合成波的合成波,明显较接近方波明显较接近方波U1m1/3U1m郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础tu(t)0u5的频率是方波的频率是方波的的5倍倍,称为方波称为方波的五次谐波。的五次谐波。u13和和u5的合成波的合成波,明显更接近方波明显更接近方波1/5U1mu135u5郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础回顾回顾函数的傅里叶级数绽开函数的傅里叶级数绽开 在工程数学中已经知道，任一周期为在工程数学中已经知道，任一周期为T T的周期函数的周期函数f(t)f(t)只要满足狄里赫利条件：
4、只要满足狄里赫利条件：(1)(1)连续或者具有有限个第一类间断点；连续或者具有有限个第一类间断点；(2)(2)具有有限具有有限个最大值和最小值；个最大值和最小值；(3)(3)函数确定可积函数确定可积 便可绽开成三角级数便可绽开成三角级数(trigonometric series)(trigonometric series)郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础回顾回顾函数的傅里叶级数绽开函数的傅里叶级数绽开其中其中郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础基波重量和谐波重量基波重量和谐波重量 在电路理论中，习惯于把级数中的常数项称在电路理论中
5、，习惯于把级数中的常数项称为直流重量为直流重量(dc component)(dc component)（或恒定重量），把（或恒定重量），把其余正弦项和余弦项称为谐波重量其余正弦项和余弦项称为谐波重量(harmonic(harmonic component)component)。其中，频率等同于原波形频率的谐。其中，频率等同于原波形频率的谐波重量称为基波重量，或基波，频率为基波频率波重量称为基波重量，或基波，频率为基波频率整数倍的谐波重量一概称为高次谐波整数倍的谐波重量一概称为高次谐波(higher(higher harmonic)harmonic)。在高次谐波中，又按其对基波频率。在高次谐波中
6、，又按其对基波频率之倍数分为二次谐波、三次谐波等等。之倍数分为二次谐波、三次谐波等等。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例题例题郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例题例题郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例题例题郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础不同频率正弦波激励不同频率正弦波激励郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.2 再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳 1 1、阻抗和导纳关系、阻抗和导纳关系 假设：假设：单口网络单口网络N0N0由线性时
7、不变元件组成，可由线性时不变元件组成，可含受控源但不含独立电源，则该网络在正弦稳态含受控源但不含独立电源，则该网络在正弦稳态时的表现可由它的输入阻抗或输入导纳获得时的表现可由它的输入阻抗或输入导纳获得|Z|=U/I Z=u-i|Y|=IU Y=i-u 郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳 (1)、输入阻抗和导纳携带了正弦、输入阻抗和导纳携带了正弦稳态端口电压与电流间的关系信稳态端口电压与电流间的关系信息（振幅及相位）息（振幅及相位）(2)、郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础2、Z(j)=|Z(j)|/Z=
8、R()+jX()X()0 感性|Z|与频率的关系称为输入阻抗的幅频特性；可用解析式和曲线表示。Z 与频率的关系称为输入阻抗的相频特性。3、Y(j)=G()+jB()B()0 容性 B()0 感性再论阻抗和导纳再论阻抗和导纳郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例题例题10-1_ 求所示电路求所示电路ab端得输入阻抗。端得输入阻抗。若若i(t)=cos(3t+45)A，试求稳态电压，试求稳态电压u(t)。若正弦电流角频率改为若正弦电流角频率改为6rad/s，试求，试求u(t)。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例题例题10-1郑郑州大学
9、信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数1、网络函数、网络函数 在电路分析中在电路分析中,电路的频率特性通常用正弦稳态电路的频率特性通常用正弦稳态电路的网络函数来描述。电路的网络函数来描述。在具有单个正弦激励源在具有单个正弦激励源(设其角频率为设其角频率为)的电路中的电路中,假如将我们所关切的某假如将我们所关切的某一电压或电流作为响应一电压或电流作为响应,依据齐次定理依据齐次定理,响应相量响应相量 与与激励相量成正比激励相量成正比,即：即：H(j)=响应相量响应相量（输出）激励相量（输入）（输出）激励相量（输入）式中的比例系数式中的比例
10、系数H(j)称为网络函数。称为网络函数。H(j)=|H(j)|/（）激励相量响应相量H(j)郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数频率为频率为的正弦激励：的正弦激励：已知网络函数为：已知网络函数为：则相应为：则相应为：其中：其中：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数 网络函数网络函数H(j)H(j)是由电路的结构和参数所确是由电路的结构和参数所确定的定的,并且一般是激励角频率（或频率）的复函并且一般是激励角频率（或频率）的复函数。反映了电路自身的特性。明
11、显数。反映了电路自身的特性。明显,当激励的有当激励的有效值和初相保持不变而频率变更时效值和初相保持不变而频率变更时,响应将随频响应将随频率的变更而变更率的变更而变更,其变更规律与其变更规律与H(j)H(j)的变更规的变更规律一样。也就是说律一样。也就是说,响应与激励频率的关系确定响应与激励频率的关系确定于网络函数与频率的关系。故网络函数又称为频于网络函数与频率的关系。故网络函数又称为频率响应函数率响应函数,简称频率响应。简称频率响应。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数|H(j)|是是H(j)的模的模,它是响应相量的它是响
12、应相量的模与激励相量的模之比模与激励相量的模之比,称为称为幅度幅度-频率特频率特性性或或幅频响应幅频响应；()是是H(j)的辐角的辐角,它它是响应相量与激励相量之间的相位差是响应相量与激励相量之间的相位差,称称为为相位相位-频率特性频率特性或或相频响应相频响应。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.3 正弦稳态网络函数正弦稳态网络函数2、策动点函数和转移函数（或传输函数）、策动点函数和转移函数（或传输函数）依据响应和激励是否在电路同一个端口依据响应和激励是否在电路同一个端口,网络网络函数可分为策动点函数和转移函数（或传输函数）函数可分为策动点函数和转移函数（或
13、传输函数）。当响应与激励处于电路的同一端口时。当响应与激励处于电路的同一端口时,则称为则称为策动点函数策动点函数，否则称为转移函数。，否则称为转移函数。依据响应、依据响应、激励是电压还是电流激励是电压还是电流,策动点函数策动点函数又可分为策动点阻抗和策动点导纳；又可分为策动点阻抗和策动点导纳；转移函数转移函数又分为转移电压比、转移电流比、转移阻抗和转又分为转移电压比、转移电流比、转移阻抗和转移导纳。移导纳。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 低通滤波器低通滤波器网络的传递函数：网络的传递函数：
14、滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 低通滤波器低通滤波器郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 低通滤波器低通滤波器-幅频特性幅频特性：输出与输入：输出与输入有效值之比与频率的关系。有效值之比与频率的关系。其中：其中：相频特性相频特性：输出与输入：输出与输入相位差与频率的关系。相位差与频率的关系。-郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 低通滤波器低通滤波器相频特性相频特性幅频特性幅频特性1 00 ：带宽：带宽：截止频率
15、：截止频率郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 低通滤波器低通滤波器分贝数定义：分贝数定义：半功率点：半功率点：当当 时，时，幅频特性上幅频特性上时，叫时，叫 3 分贝点或半功率点分贝点或半功率点。1三分三分贝点贝点郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 高通滤波器高通滤波器滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。高通滤波器的传递函数高通滤波器的传递函数郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 高通滤波器高通滤波器幅频特性幅频特性相频特性相频特性1郑郑州大学信息工
16、程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 带通滤波器带通滤波器(双双RC电路电路)解：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 带通滤波器带通滤波器(双双RC电路电路)令令0=1/RC,Q=1/3,H0=1/3,于是上式可写为于是上式可写为:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 带通滤波器带通滤波器(双双RC电路电路)其幅频和相频特性分别为其幅频和相频特性分别为 由幅频特性曲线可知由幅频特性曲线可知,幅频特性的极大值发生在幅频特性的极大值发生在=0处处,0称为中心角频率称为中心角频率。在。在=0处处,Hmax=|H(
17、j 0)|=H0,(0)=0;当当=和和=0处处,|H(0)|=|H(j)|=0,(0)=()=/2。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础例例 带阻滤波器带阻滤波器RRR2CC2C1郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础作业：作业：P143:10-3 P144:10-5、10-7郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加 1、多个正弦电源的叠加 多个正弦电源，可运用叠加定理。对其它电压源，可令其短路；对其它电流源，可令其开路。假如电源频率相同，则叠加后仍为同一频率的正弦波。不
18、同频率的正弦波的叠加不再是正弦波。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加电压转移电压转移函数函数转移阻抗转移阻抗函数函数郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加 1 2 的波形问题：的波形问题：可表为可表为 2=r 1 (r 1)设设 周期为周期为 T1，T1=2 1 周期为周期为 T2，T2=2 2 只要只要r是有理数，总可以找到一个公周期是有理数，总可以找到一个公周期TC：TC=mT1=nT2 (m、n为正整数为正整数)因此因此 是一个以是一个以TC为周期的非正
19、弦波。为周期的非正弦波。即：假如即：假如1/2=T2/T1=m/n为有理数为有理数,那么那么 仍仍旧是周期函数。旧是周期函数。例如例如r=1.2，T=5T1=6T2郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加假如假如r是正整数时，是正整数时，若若T1T2，则，则TC即即T1。例如：例如：则则 为以周期为为以周期为TC=T1=2 的非正弦的非正弦周期波。如图。周期波。如图。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加例例:如图电路如图电路，L=1H，C=1F，R=1，uS1(t
20、)=10cos(t)V，uS2(t)=10cos(2t)V，求电流求电流i(t)。留意：相量法只适留意：相量法只适用于单频率电源作用于单频率电源作用下的稳态电路。用下的稳态电路。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加利用叠加定理：利用叠加定理：uS1(t)单独作用时单独作用时，画出相量模型。，画出相量模型。故 i1(t)=10cos(t-90)A郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加故 i2(t)=11cos(2t+33.7)Ai(t)=i1(t)+i2(t)=1
21、0cos(t-90)+11cos(2t+33.7)AuS2(t)单独作用时，单独作用时，画出相量模型。画出相量模型。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加非正弦周期信号作用下的线性电路分析非正弦周期信号作用下的线性电路分析非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：(1)(1)将电路中的激励绽开成傅里叶级数表达式；将电路中的激励绽开成傅里叶级数表达式；(2)(2)将激励分解为直流和一系列正弦谐波将激励分解为直流和一系列正弦
22、谐波(一般计算至一般计算至3535次谐波即可次谐波即可)；(3)(3)对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；(4)(4)求解出的响应均用解析式进行表示；求解出的响应均用解析式进行表示；(5)(5)将电路响应中的各次谐波重量进行叠加后即为待将电路响应中的各次谐波重量进行叠加后即为待求响应。求响应。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加例：例：图图(a)的电路的电路,式中式中=103rad/s,求输出电压求输出电压u(t)。解：相量法是用以分析单一频率的正弦稳态电路的方法解：相量法是用以分析
23、单一频率的正弦稳态电路的方法,这这时电路中各处电流、电压都是同一频率的正弦量。本例中，时电路中各处电流、电压都是同一频率的正弦量。本例中，电压源电压源uS由三项不同频率的信号组成。由三项不同频率的信号组成。依据叠加定理依据叠加定理,我们把我们把uS看作是由三个不同频率的电压看作是由三个不同频率的电压源相串联而组成的源相串联而组成的,而而uS产生的响应是三个电源单独作用所产生的响应是三个电源单独作用所产生的响应之和。设产生的响应之和。设式中：式中：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加下下面面分分别别求求出出uS1、uS2和和uS
24、3产产生生的的响响应应。图图(b)是是对不同角频率的相量模型。对不同角频率的相量模型。(1)uS1单单独独作作用用于于电电路路。uS1是是直直流流电电压压源源,它它相相当当于于=0。电电感感可可看看作作短短路路,电电容容可可看看作作开开路路,因因而而其响应其响应 u1(t)=uS1(t)=15 V郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加(2)uS2 单独作用于电路。单独作用于电路。；则；则uS2 所对应的相量为所对应的相量为 ，R与与C并联阻抗并联阻抗总阻抗总阻抗输出电压相量输出电压相量郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电
25、电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加(3)uS3 单独作用于电路。单独作用于电路。；则；则uS3 所对应的相量为所对应的相量为 ，R与与C并联阻抗并联阻抗总阻抗总阻抗输出电压相量输出电压相量郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.4 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加依据叠加定理依据叠加定理,输出电压为输出电压为:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加1、瞬时功率：、瞬时功率：如图所示的电路如图所示的电路,由叠加定理知由叠加定理知,通过电阻通过电阻R的电的电流流i是电源是电源uS
26、1与与uS2单独作用产生的电流单独作用产生的电流i1与与i2的叠的叠加加,即即 i(t)=i1(t)+i2(t)电阻吸取的瞬时功率电阻吸取的瞬时功率p(t)=Ri1(t)+i2(t)2=Ri1(t)2+Ri2(t)2+2R i1(t)i2(t)=p1(t)+p2(t)+2R i1(t)i2(t)郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加 式中，p1(t)=Ri21(t)和p2(t)=Ri22(t)分别为uS1和uS2单独作用时电阻吸取的瞬时功率。一般对全部的时间t,i1(t)i2(t)0,故p(t)p1(t)+p2(t),即叠加定理
27、不适用于计算瞬时功率。p(t)=Ri1(t)+i2(t)2=p1(t)+p2(t)+2Ri1(t)i2(t)郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加-平均功率平均功率2、平均功率、平均功率：(1)多个不同频率的正弦量的平均功率多个不同频率的正弦量的平均功率:设设i1(t)=Im1cos(1t+1)i2(t)=Im2cos(2t+2)式中式中,i1的周期为的周期为T1(T1=2/1);i2的周期为的周期为T2(T2=2/2)假如1/2=T2/T1=m/n 为有理数,那么i1+i2仍旧是周期函数,从而瞬时功率p也是周期函数。(假如1/
28、2=T2/T1是无理数，那么i1+i2以及瞬时功率p将不是周期函数，这里不予探讨。)这时，就能求得i1与i2的公共周期T,使T=mT1=nT2。如令=2/T(称为基波角频率),则有1=m、2=n(分别称为m次谐波和n次谐波的角频率)。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加-平均功率平均功率式式中中,P1和和P2分分别别为为uS1和和uS2 单单独独作作用用时时电电阻阻吸吸取取的的平均功率。上式中第三项：平均功率。上式中第三项：在一个周期在一个周期T内内,电阻电阻R上的平均功率上的平均功率:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院
29、 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加-平均功率平均功率上式表明：上式表明：若若m=n,即即1=2,则平均功率则平均功率 P=P1+P2+RIm1Im2cos(1-2)P1+P2,就是说就是说,对于同频率的正弦量对于同频率的正弦量,其平均功率不能叠加计算其平均功率不能叠加计算;若若m n,即不同频的正弦量，则平均功率即不同频的正弦量，则平均功率P=P1+P2,可以叠加计算。可以叠加计算。结论结论：多多个个不不同同频频率率(各各频频率率之之比比为为有有理理数数)的的正正弦弦电电流流(或或电电压压)形形成成的的总总平平均均功功率率等等于于每每个个正正弦弦电电流流(或或电电
30、压压)单独作用时所形成的平均功率之和。单独作用时所形成的平均功率之和。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加-非正弦周期信号非正弦周期信号非正弦周期电路的平均功率非正弦周期电路的平均功率:设单端口电路的电压、设单端口电路的电压、电流分别为：电流分别为：式中式中U0、I0为电压、电流的直流重量为电压、电流的直流重量,角频率为角频率为(即即k=1)的项称为基波的项称为基波,角频率为角频率为k(k=2,3,N)的项称为的项称为k次次谐波谐波,UK(IK)为为k次谐波电压次谐波电压(电流电流)的有效值。设对各频的有效值。设对各频率的阻抗
31、角为率的阻抗角为 ，则该一端，则该一端口电路吸取的平均功率为：口电路吸取的平均功率为：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加用周期电流（电压）的有效值计算平均功率：用周期电流（电压）的有效值计算平均功率：周期电流（电压）作用在电阻上，相当于始终周期电流（电压）作用在电阻上，相当于始终流的效果，平均功率为：流的效果，平均功率为：周期性非正弦波在用傅立叶级数分解出它的直流重量和各次谐波重量后，可用上述公式计算该非正弦波电流（电压）的有效值。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均
32、功率的叠加-例题例题【例例】已知一个二端网络已知一个二端网络试求该二端网络的平均功率试求该二端网络的平均功率P二二端端网网络络+_郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.5 平均功率的叠加平均功率的叠加-例题例题解解：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础作业：作业：P144:10-8、10-9 P145:10-12、10-15、10-17郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。谐振电路由于其良好的选频特性,在通信与电子技术中得
33、到广泛应用。通常的谐振电路由电感、电容和电阻组成。依据电路的组成形式可分为串联谐振电路、并联谐振电路和双调谐回路。含有L 和C 的电路，假如无功功率得到完全的补偿，即端口电压和电流出现同相现象时，此时电路的功率因数cos =1，称电路处于谐振状态。谐振电路在无线电工程和电子测量技术等很多电路中应用特别广泛。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 1、串联电路的谐振、串联电路的谐振右图为右图为r、L、C组成的串联电路组成的串联电路,其电源是角频率为其电源是角频率为 (频频率为率为f)的正弦电压源的正弦电压源,设电源电压相量为设电源电
34、压相量为S ,其初相为零。其初相为零。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振串串联联回回路路的的总总阻阻抗抗:式中电抗：式中电抗：串联电路中的电流相量：串联电路中的电流相量：其模和相角分别为其模和相角分别为:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 由以上关系可以看出,在电路参数r、L、C确定的条件下,当激励信号的角频率变更时,感抗L随增高而增大,容抗1/(C)随增高而减小。所以总电抗 X=L-1/(C)也随频率而变更,右图画出了感抗、容抗、总电抗X和阻抗的模值|Z|随
35、角频率变更的状况。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 由图可见由图可见,当频率较低时当频率较低时,L1/(C),电电抗抗为为正正值值,电电路路呈呈感感性性。因因而而电电流流落落后后于于电电压压,其其相相量量关关系系如如图图(c)所所示示。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 当当回回路路电电抗抗等等于于零零,电电流流与与电电源源电电压压同同相相时时,称称电电路路发发生生了了串串联联谐谐振振。这这时时的的频频率率称称为为串串联联谐谐振振频频率率,用用f0表表示示,
36、相相应的角频率用应的角频率用0表示。电路发生串联谐振时表示。电路发生串联谐振时,有有 X=0L-1/(0C)=0故得谐振角频率故得谐振角频率0及谐振频率及谐振频率f0分别为分别为 由上式可知,电路的谐振频率仅由回路元件参数L和C确定,而与激励无关,但仅当激励源的频率等于电路的谐振频率时,电路才发生谐振现象。谐振反映了电路的固有性质。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 除变更激励频率使电路发生谐振外,实际中，常常通过变更电容或电感参数使电路对某个所需频率发生谐振,这种操作称为调谐。譬如,收音机选择电台就是一种常见的调谐操作。当r
37、LC串联电路发生谐振时,电抗X=0,故阻抗为纯阻性,且等于r,阻抗模最小。若谐振时的阻抗用Z0表示,则有 Z0=r 谐振时的感抗与容抗数值相等,其值称为谐振电路的特性阻抗,用表示,即 郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 可见，特性阻抗是一个仅由电路参数确定的量。在工程中,通常用电路的特性阻抗与回路的电阻r的比值来表征谐振电路的性质,此比值称为串联谐振电路的品质因数用Q表示（品质因数和无功功率符号相同，留意不要混淆）。即：它是一个无量纲的量。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的
38、谐振电路的谐振 此时此时,电流电流I 与与 US 同相同相,并且并且I0达到最大值。达到最大值。谐振时谐振时,各元件电压分别为各元件电压分别为 谐振时：谐振时：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 可见,谐振时,电感电压和电容电压的模值相等,均为激励电压的Q倍,即UL0=UC0 =QUS,但相位相反，故相互抵消。这时,激励电压US全部加到电阻r上,电阻电压Ur达到最大值。实际中的串联谐振电路,通常Q值可达几十到几百。因此谐振时电感和电容上的电压值可达激励电压的几十到几百倍,所以,串联谐振又称电压谐振。在通信和电子技术中,传输的电
39、压信号很弱,利用电压谐振现象可获得较高的电压,但在电力工程中,这种高压有时会使电容器或电感线圈的绝缘被击穿而造成损害,因此常常要避开谐振状况或接近谐振状况的发生。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振2、频率响应频率响应 输输出出电电压压可可以以取取自自电电容容、电电感感或或电电阻阻，这这里里进进一一步步探探讨讨串串联联谐谐振振电电路路的的频频率率特特性性。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 下降到最大值的下降到最大值的70.7%时，两个频率点称为时，两个频率点称
40、为上半频率点上半频率点 1和和下半频率点下半频率点 2，定义，定义通频带通频带BW=2-1郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振BW的计算：的计算：由由BW 的表达式可以看出：电阻越小，电感越大，通带越窄。的表达式可以看出：电阻越小，电感越大，通带越窄。明显通频带明显通频带BW和品质因数和品质因数Q是一对冲突，实际当中如何兼是一对冲突，实际当中如何兼顾二者，应具体状况具体分析。顾二者，应具体状况具体分析。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振幅频和相频特性曲线幅频和相
41、频特性曲线,常常称为谐振电路的称为谐振电路的谐振曲线谐振曲线。(BW=2-1=R/L)由相频特性知：由相频特性知：=0，=00 0，容性，容性，0，0，感性，感性郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础结结论论：谐谐振振电电路路对对频频率率具具有有选选择择性性,其其Q值值越越高高,幅幅频频曲曲线线越越尖尖锐锐,电电路路对对偏偏离离谐谐振振频频率率的的信信号号的的抑抑制制实实力力越越强强,电电路路的的选选择择性性越越好好。常常用用谐谐振振电电路路从从很很多多不不同同频频率率的的各各种种信信号号中中选选择择所所需需信信号号。可可是是实实际际信信号号都都占占有有确确定定的的
42、带带宽宽,由由于于带带宽宽与与Q成成反反比比,所所以以Q过过高高,电电路路带带宽宽则则过过窄窄,这这样样将将会会过过多多地地减减弱弱所所需需信信号号中中的的主主要要频频率率重重量量,引引起起严严峻峻失失真真。如如广广播播电电台台的的信信号号占占有有确确定定的的带带宽宽,收收音音机机为为选选择择某某个个电电台台信信号号所所用用的的谐谐振振电电路路应应同同时时具具备备两两方方面面功功能能：一一方方面面从从减减小小信信号号失失真真的的角角度度动动身身,要要求求电电路路通通频频带带范范围围内内的的特特性性曲曲线线尽尽可可能能平平坦坦些些,以以使使信信号号通通过过回回路路后后各各频频率率重重量量的的幅幅
43、度度相相对对值值变变更更不不大大,为为此此Q值值低低些些较较好好;另另一一方方面面从从抑抑制制接接近近电电台台信信号号的的角角度度动动身身,要要求求电电路路对对不不须须要要的的信信号号各各频频率率成成分分能能供供应应足足够够大大的的衰衰减减,为为此此Q值值越越高高越越好好。实实际际设设计计中中,必必需需依依据据须须要要选选择择适适当当的的Q值以兼顾这两方面的要求值以兼顾这两方面的要求郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振例例：一一串串联联谐谐振振电电路路,R=100,L=1H,C=1 uF,求求在在外外施施电电压为压为 作用下，作
44、用下，和和时的电感电压。时的电感电压。当当 时时谐振时谐振时解：电路的谐振频率为解：电路的谐振频率为郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振(1)由谐振频率公式可得：例：例：RLC串谐回路中的串谐回路中的L=310H，欲接收载波，欲接收载波f=540KHz的电台信号，问这时的调谐电容的电台信号，问这时的调谐电容C=？若回路？若回路Q=50时该台信号感应电压为时该台信号感应电压为1mV，同时进入调谐回路的，同时进入调谐回路的另一电台信号频率为另一电台信号频率为600KHz，其感应电压也为，其感应电压也为1mV，问，问两信号在回路中产生
45、的电流各为多大？两信号在回路中产生的电流各为多大？郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振(3)600KHz的信号在回路中产生的电流为：的信号在回路中产生的电流为：此例说明，当信号源的感应电压值相同、而频率不同时，此例说明，当信号源的感应电压值相同、而频率不同时，电路的选择性使两信号在回路中所产生的电流相差电路的选择性使两信号在回路中所产生的电流相差10倍以倍以上。因此，电流小的电台信号就会被抑制掉，而发生谐振上。因此，电流小的电台信号就会被抑制掉，而发生谐振的电台信号自然就被选择出来。的电台信号自然就被选择出来。(2)540KHz
46、的信号在回路中产生的是谐振电流：的信号在回路中产生的是谐振电流：郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振3、GCL并联谐振并联谐振 串串联联谐谐振振电电路路仅仅适适用用于于信信号号源源内内阻阻较较小小的的状状况况,假假如如信信号号源源内内阻阻较较大大,将将使使电电路路Q值值过过低低,以以至至电电路路的的选选择择性性变变差差。这这时时,为为了了获获得得较较好好的的选选频频特特性性,常常接接受受并联谐振电路。并联谐振电路。下下图图是是GCL并并联联谐谐振振电电路路,它它是是RLC串串联联谐谐振振电电路路的的对对偶偶电电路路,因因此此它它
47、的的一一些些结结果果都都可可由由串串联联谐谐振振电电路路对偶地得出。对此对偶地得出。对此,下面将作简略的探讨。下面将作简略的探讨。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振 Y=G+jB=G+j(0C 10L)式中电导式中电导 G=1/R。当当电电纳纳 B=0 时时,电电路路的的端端电电压压 U与与激激励励I同同相相,称称为为并并联联谐谐振振。这这时时的的频频率率称称为为并并联联谐谐振振频频率率,角角频频率率用用0表表示示。于于是在并联谐振时有是在并联谐振时有:可得谐振角频率可得谐振角频率0和频率和频率f0 分别为分别为0=在并联谐振
48、时在并联谐振时,由于由于B=0,故谐振导纳故谐振导纳Y0=G=并联电路的总导纳为并联电路的总导纳为:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振这时导纳为最小值这时导纳为最小值,且为电阻性且为电阻性 谐振时谐振时,感纳感纳 1/0 L与容纳与容纳0 C相等相等,因而感抗因而感抗0 L和容抗和容抗 1/0 C也相等也相等,称为谐振电路的特性阻抗称为谐振电路的特性阻抗,即即 并联谐振电路的品质因数为并联谐振电路的品质因数为:郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振谐振时谐振时,回
49、路的端电压为最大值。回路的端电压为最大值。这时各支路电流分别为这时各支路电流分别为 可见,并联谐振时,电容电流和电感电流的模值都等于QIS,但相位相反,故相互抵消。依据这一特点,并联谐振也称为电流谐振。这时电源电流全部通过电导G,电导电流IG达较大值。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振BW的计算：的计算：由由BW 的表达式可以看出：电阻越大，电容越小，通带越窄。的表达式可以看出：电阻越大，电容越小，通带越窄。明显通频带明显通频带BW和品质因数和品质因数Q是一对冲突，实际当中如何兼是一对冲突，实际当中如何兼顾二者，应具体状况具体
50、分析。顾二者，应具体状况具体分析。郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振例：例：GLC并联电路也常用收音机中。设立体声收音机调谐在并联电路也常用收音机中。设立体声收音机调谐在FM波段波段 98 MHz，已知，已知L=0.1uH，Q=120。(1)试求试求G和和C；(2)试求试求98.1MHz信号电流产生的电压与谐振时的电压之比，信号电流产生的电压与谐振时的电压之比，设信号电流幅度不变。设信号电流幅度不变。解解:(1)郑郑州大学信息工程学院州大学信息工程学院 电电路分析基路分析基础础10.6 RLC电路的谐振电路的谐振例：例：(2)