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1、第十一章 频率响应 多频正弦稳态电路11-1 基本概念11-4 正弦稳态的叠加11-5 平均功率的叠加11-6 RLC电路的谐振11-2 再论阻抗和导纳11-3 正弦稳态网络函数 在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和电容元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的频率的改变而改变，即使激励的大小不变，在电路中各部分所产生的电压和电流（响应）的大小和相位也将发生变化。电路响应随激励频率变化的关系称为电路的频率响应。11-1 基本概念 多频正弦稳态电路就是多个不同频率激励下的稳态电路。多频正弦稳态电路的分析仍可采用相量法，但只能逐个频率分别处理，最后再用叠
2、加方法求得结果。一.无源单口网络阻抗的性质+UIN0Z=UI=UIu i=|Z|Z11-2 再论阻抗和导纳 阻抗模|Z|可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有效值的比值关系；由阻抗辐角 Z 可以确定端口上电压与电流的相位关系。确定了无源单口网络的阻抗 Z，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。同理，确定了无源单口网络的导纳 Y，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。解：R1R2ba 1jCjL例：电路如图，求ab端输入阻抗。=R2+1+(CR1)2R1CR12+jL 1+(CR1)2=R2+jL+1+(CR1)2R1 jCR12=R2+jL+1+jCR1R1R1Zab=R2+jL
3、+jCR1+jC1Z(j)=R()+jX()阻抗的实部和虚部都是频率的函数。实部称为电阻分量，它并不一定只由网络中的电阻所确定；虚部称为电抗分量，它并不一定只由网络中的动态元件所确定。Z(j)=R()+jX()=|Z(j)|Z()Z()=arctgR()X()|Z(j)|=R2()+X2()=90 纯电感性电路=90 纯电容性电路=0 纯电阻性电路0 90 电容性RC电路：对所有频率都是电容性电路。RL电路：对所有频率都是电感性电路。RLC电路：某些频率是电容性；某些频率是电感性；某些频率是纯电阻性（谐振状态）。LC电路：对某些频率是纯电感性；对某些频率是纯电容性。IN0+UZ(j)=R()+
4、jX()=|Z(j)|Z()阻抗的模|Z|和辐角Z都是频率的函数。根据网络的输入阻抗 Z(j)，即可确定单口网络在各个不同频率下的正弦稳态表现。因此，单口网络的阻抗函数 Z(j)可用于研究该网络的频率响应。输入阻抗Z(j)可看作激励电流10A所产生的电压响应。IN0+UZ()=arctgR()X()|Z(j)|=R2()+X2()Z=UI=UIu i=|Z|Z|Z(j)|幅频特性()相频特性频率特性 Z与频率 的关系称为阻抗的频率特性。|Z|与频率 的关系称为阻抗的幅频特性。与频率 的关系称为阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。Z(j)=R()+jX()=|Z(j)|Z()IN0
5、+U二.无源单口网络导纳的性质Y=IU=IUi u=|Y|YY(j)=G()+jB()Y(j)=|Y(j)|Y()Y=90 纯电容性电路Y=90 纯电感性电路Y=0 纯电阻性电路0 Y Y 90 电感性输入导纳 Y(j)可看作激励电压10V所产生的电流响应。Y=1Z=1 Z=|Y|Y|Z|IN0+U阻抗与导纳的关系1.定义：单激励时，响应相量与激励相量之比称为网络函数。网络函数H(j)=响应向量激励向量2.策动点函数：同一对端钮上响应相量与激励相量的比称为策动点函数或称驱动点函数。+U1I1N0+U1I1N0策动点函数11-3 正弦稳态网络函数网络函数H策动点函数转移函数策动点阻抗策动点导纳3
6、.3.转移函数转移函数：不同对端钮上响应相量与激励相量的比叫转移函数。根据指定响应相量与激励相量的不同，转移函数分为以下四种：(1)(1)转移阻抗转移阻抗(2)(2)转移导转移导纳纳ZL+U2I1N0ZL+U1I2N0(3)(3)电压转移函数电压转移函数(4)(4)电流转移函数电流转移函数ZL+U1N0+U2I2ZL+U2I1N0策动点函数转移函数网络函数H(j)=|H(j)|()|H(j)|幅频特性()相频特性频率特性4.4.网络函数的求法网络函数的求法 根据相量模型，可选择用串联分压，并联分流，支路电流法，节点分析法，网孔分析法，叠加原理，戴维南定理和诺顿定理等等各种方法。电感或电容元件对
7、不同频率的信号具有不同的阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。5.5.滤波电路滤波电路 下面以RC 电路组成的滤波电路为例说明求网络函数和分析电路频率特性的方法。低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输出端，高频信号得到有效抑制。低通滤波电路 u1是输入信号电压，u2是输出信号电压，两者都是频率的函数。RjC1+U1+U2CR+u1+u2电压转移函数=Au=U2U1jC1R+jC1=1+jCR1=11+(CR)2 arctgCR低通滤波电路|Au|=11+(CR)2幅频特性相频特性=arctgCR=A
8、u=U2U1jC1R+jC1=1+jCR1幅频特性 0.707|Au|1C0幅频特性曲线表明此RC 电路具有低通特性。|Au|=11+(CR)2=0时，|Au|=1，电容阻抗无穷大 幅频特性幅频特性=时，|Au|=0，电容阻抗等于0 当=C=RC1=t1时U1U2=12=0.707输出电压为最大输出电压的0.707倍C称为截止频率，0 C 为低通网络的通频带。CR+u1+u2（b）相频特性C0-/4-/2 相频特性说明输出电压总是滞后于输入电压的，因此，这一RC电路又称为滞后网络。|Au|=11+(CR)2幅频特性=0时，=0相频特性=时，=90=arctgCR 当=C=RC1=t1时，=45
9、0.707|Au|1C0（a）幅频特性230tuUm(a)20tuUm4(b)20tuUm(c)几种非正弦周期电压的波形 几种非正弦周期电压的波形20tuUm（d）以非正弦规律作周期变化的电压、电流称为周期性非正弦电压、电流。11-4 正弦稳态的叠加一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。设周期函数为 f(t),其角频率为,可以分解为下列傅里叶级数：f(t)=A0+A1mcos(t+1)+A2mcos(2 t+2)+=A0+Akmcos(k t+k)k=1A0不随时间变化，称为恒定分量或直流分量。A1mcos(t+1)的频率与非正弦周期函数的频 率相同，称为基波或一次谐波;其
10、余各项的频率为周期函数的频率的整数倍,分别称为二次谐波、三次谐波等等。几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式矩形波电压矩齿波电压三角波电压从上面几个式子可以看出傅里叶级数具有收敛性。0 t2Umu0 t 24Umu0 t2Umu矩形波 锯齿波 三角波2 tUm0uu(t)=4Um(sin t+sin3 t+sin5 t+)13基波分量 u1三次谐波u3五次谐波u5u1+u3u1+u3+u5例如，矩形波电压可以分解为：150Ti2dt1TI=依据周期电流有效值定义:非正弦周期信号的有效值若某一非正弦周期非正弦周期电流已分解成傅里叶级数i(t)=I0+Ikmc
11、os(k t+k)k=1=I0+I1m cos(t+1)+I2mcos(2t+2)+i2(t)=I0+I1m cos(t+1)+I2mcos(2t+2)+2Inm2cos2(nt+n)和 Inmcos(nt+n)Immcos(mt+m)上式展开后只有四种可能形式：I02I0 Inm cos(nt+n)下面分析后两种可能形式的积分T1T0Inmcos(nt+n)Immcos(mt+m)dtT1T012=InmImmcos(nt+n+mt+m)+cos(nt+n-mt-m)dt=0 I=I02+12I1m2+12I2m2+I02+I12+I22+I=U02+U12+U22+U=T1T0Inm2co
12、s2(nt+n)dtT1T0Inm2Inm2cos2(nt+n)+1dt=1212=非正弦周期 非正弦周期电压的有效值为非正弦周期 非正弦周期电流的有效值为 toIm23i例：例：已知非正弦周期电流已知非正弦周期电流 i 的波形如图所示，试求该的波形如图所示，试求该电流的有效值和平均值电流的有效值和平均值.解解:(1)(1)有效值有效值0Ti2dt1TI=0 12(Imsint)2dt=2Im(2)(2)平均值平均值0Ti dt1TI0=Im 0 12Im sint dt=设非正弦周期电压u 可分解成傅里叶级数u=U0+U1mcos(t+1)+U2mcos(2 t+2)+,它的作用就和一个直流
13、电压源及一系列不同频率的正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。RLCuuRuLuCiRLCu1uRuLuCiu2U0 非正弦周期信号的谐波分析法RLCu1uRuLuCiu2U0图中,u1=U1mcos(t+1)u2=U2mcos(2 t+2)这样的电源接在线性电路中所引起的电流,可以用叠加原理来计算，即分别计算电压的恒定分量U0 和各次正弦谐波分量u1、u2单独存在时，在某支路中产生的电流分量I0、i1、i2 而后把它们加起来，其和即为该支路的电流，即 i=I0+i1+i2+设us1和us2 为两个任意波形的电压源us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)p(t)=Ri2(t)=R(i
14、1+i2)2=Ri12+Ri22+2R i1i2=p1+p2+2R i1i2 电阻消耗的瞬时功率11-5 平均功率的叠加依据叠加原理 i(t)=i1(t)+i2(t)式中p1、p2分别为us1、us1单独作用时，电阻所消耗的瞬时功率。一般情况下，i1i20，因此 p p1+p2，即叠加原理不适用于瞬时功率的计算。当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)+us2R+us1i设us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)p(t)=Ri2(t)=R(i1+i2)2=Ri12+Ri22+2R i1i2=p1+p2+2R i1i2 电阻消耗的瞬时功率如果p(t
15、)是周期函数，其周期为T，则其平均功率为：0Tp(t)dt=1TP=0T 1T(p1+p2+2R i1i2)dt0T 1T2R i1i2 dt=P1+P2+一般情况下，i1i20，因此 P P1+P2，即叠加原理也不适用于平均功率的计算。+us2R+us1ius1单独作用时 i1(t)=I1mcos(1t+q1)us2单独作用时 i2(t)=I2mcos(2t+q2)p(t)=i2R=(i1+i2)2R=I1mcos(1t+q1)+I2mcos(2t+q2)2R P=T1T0I1mcos(1t+q1)+I2m cos(2t+q2)2Rdt+T1T02I1mI2m cos(1t+q1)cos(2
16、t+q2)Rdt=T1T0I1m2 cos2(1t+q1)Rdt+T1T0I2m2 cos2(2t+q2)Rdt电阻消耗的瞬时功率在正弦稳态下 若12，且2=r1，r为有理数，则存在一个公周期T，p(t)的周期即为T，而T=mT1=nT2,T1、T2分别为i1(t)、i2(t)的周期，m、n均为正整数。则平均功率为+us2R+us1iP=12I1m2R+12I2m2R=I12R+I22R=P1+P2(12)P=12I1m2R+12I2m2R+I1mI2mcos(q1q2)R(1=2)同频率时不能用叠加求功率 不同频率时可以用叠加求功率P=P1+P2（2）若1=2，则（1）若12，则P=T1T0
17、I1m2 cos2(1t+q1)Rdt+T1T02I1mI2m cos(1t+q1)cos(2t+q2)Rdt+T1T0I2m2 cos2(2t+q2)Rdt由公式 2coscos=cos()+cos(+)可知设 u(t)=U0+Ukmsin(k t+uk)k=1 i(t)=I0+Ikmsin(k t+ik)k=1瞬时功率瞬时功率 p=u(t)i(t)k=uk ikP=P0+P1+P2+=P0+Pk k=1N0i(t)u(t)平均功率平均功率 P=U0 I0+UkI k cos k k=1非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的
18、平均功率之和。正弦谐波分量的平均功率之和。一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。uRL=5H C10FuR2kTtu0Um例：例：已知图中非正弦周期电压 u 的幅值Um=20V,频率 f=50Hz，试求:uR、UR、P。u=10+12.73sin t+4.24sin3 t+V式中=2 f=314 rad/s 解：解：非正弦周期电压u的傅里叶级数展开式为(1)(1)直流分量直流分量 UU00单独作用时单独作用时j L=j3145=j1570=U0+u1+u3+V UR0=U0=10V(2)(2)基波分量基波分量 u1单独作用时单独作用时电感L视为短路，电容C视为开路。ZRC1
19、=1+jCR R+1/jCR/jC=314.580.95RUR1m=12.73ZRC1+jLZRC1 U1m.314.580.95126087.75=3.18 168.7VuR1=3.18sin(314 t 168.7)V(3)(3)三次三次谐波谐波分量分量 u3单独作用时单独作用时j3 L=j33145=j4710 ZRC3=1+j3CR R+1/j3CR/j3C=10686.96RUR3m=4.24ZRC3+j3LZRC3 U3m.10686.96460489.93=0.1 176.9VuRL=5H C10FuR2kuR3=0.1sin(942t 176.9)V瞬时值：瞬时值：uR=UR0
20、+uR1+uR3+有效值：有效值：UR=UR0+UR1+UR3 2 2 2有功功率：有功功率：P=PR=UR/R=0.053 W212=102+(3.182+0.12)=10.25 V=10+3.18sin(314 t 168.7)+0.1sin(942t 176.9)+V 因为谐波的频率越高，幅值越小，通常可取前几项来计算有效值。P=P0+P1+P2+=P0+Pk k=1或u=15+10sin t+5sin3 t V，i=2+1.5sin（t 30）A,例：已知求电路消耗的功率。解：P=P0+P1=152+101.5cos30=33.75 W12u=15+10sin t+5sin3 t V，
21、i=2+1.5sin（t 30）A例：已知求电压有效值、电流有效值。解：UU02+U12+U32=II02+I12=152+（102+52）=12=17 V22+1.52=12=2.26 A 在具有电感和电容的电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电压与电流同相，则称电路发生了谐振现象。一、一、串联谐振串联谐振11-6 RLC 电路的谐振I UURULUCULUCURUL UCI U IU URUC UL+j jX XC CR Rj jX XL L一、一、串联谐振串联谐振串联谐振条件即 XL=XC串联谐振频率CRLuRuLuciu+或 2 f L=1 2 f Cf0=2LC 1f=Z=U I
22、=UuIi=UIu iZ=R2+X2阻抗模阻抗角=arctan XRZ=R+jX=R+j(XLXC）=Z0=1LC+j jX XC CR Rj jX XL LIU URUC UL 一、一、串联谐振串联谐振串联谐振电路的特征I00fI0fR1C LZ(1)阻抗模最小,为R。电路电流最大，为U/R。(3)电感和电容两端电压大小相等相位相反。当XL=XCR时，电路中将出现分电压大于总电压的现象。(2)电路呈电阻性,电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉。f0f0IU URUC UL(4)P=UIcos=UI=I2R Q=UIsin=0Z=R+jX=R+j(XLXC）=Z串联谐振曲线f00fII01I02
23、容性感性R2R1R2 R10fII00.707I0f0f2f1通频带f2 f1一、串联谐振IU URUC UL+j jX XC CR Rj jX XL L串联谐振电路的品质因数QQ=QLPULIURIULUR0LIRI0LR 品质因数Q用于表明电路谐振的程度，无量纲。Q=|QC|PUCIURIUCURI/0CIR0CR 10=1LC R1 L/C=Q由得可见品质因数Q完全由电路的元件参数所决定。UC=UL=QUR=QU 串联谐振又称电压谐振。+j jX XC CR Rj jX XL L0fII00.707I0f0f2f1通频带f2 f1只能为正值CRLuRuLuciu+串联谐振频率 f0=2L
24、C 1例:R、L、C串联电路如图，已知R=2、L=0.1mH、C=1F，电源电压u=10 cost V,求电路谐振时电流有效值I及电感电压有效值UL。2解：I=5A UR102串联谐振角频率 0=105rad/s1LC UL=0LI=1050.1103 5=50V例：图示电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。1.如果天线上接收的信号有三个，其频率：f1=820103Hz、f2=620103Hz、f3=1200103Hz。要收到f1=820103Hz信号节目，电容器的电容C调变到多大？2.如果接收的三个信号幅值均为10V，在电容调变到对f1发生谐振时，在L2中产生的三个信号电流各是多少
25、毫安？对频率为f1的信号在电感L2上产生的电压是多少伏？L3L2L1C例：图示电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。解：1.C=150 pFL3L2L1C1 C11 L2=要收听频率为f1信号的节目应该使谐振电路对f1发生谐振，即2.当C=150 pF，L2=250H时，L2 C电路对三种信号的电抗值不同，如下表所示f/Hz8201036201031200103XLXCZI=U/Z12901290200.5A100016606600.015189088510000.01UL=(XL/R)U=645 VL3L2L1C其它频率在电感上的电压不到30 V，而对f1信号则放大了64.5倍R=
26、20，C=150 pF，L2=250HU=10V 设 u=U mcos t R、L、C 并联电路二、并联谐振uC R LiiRiCiL+jL j C1R+相量图二、并联谐振U R1=+j XL1j XC1（+）U=）R1+XC1XL1 j（Y=R1+XC1XL1 j（）并联谐振条件：XC1XL1=0Y=R1并联谐振频率即 XL=XC 或 2 f L=1 2 f Cf0=2LC 1f=jL j C1R+并联谐振电路特征(2)电流I为最小值，I0=U/R(1)电路呈电阻性，Z=R最大，Y最小。(3)支路电流IL或IC可能会大于总电流I。二、并联谐振0ff0I所以并联谐振又称电流谐振。I0并联谐振曲线jL j C1R+并联谐振电路的品质因数Q=ILI0 0 LG10C=G=Q=QLPUILUIRILIRU/0LU/RR0LQ=0CR|QC|PUICUIRICIRU0CU/R或jL j C1R+并联谐振频率 f0=2LC 1 例:GCL并联电路中，已知R=1k、L=0.5H、C=50F，求此电路的谐振频率 f0，谐振时的品质因数Q。若外施电流源电流有效值为10mA,试求各支路电流和电压的有效值。解：=31.85rad/s品质因数Q=102f0LR231.850.51000第十一章作业：118,1111,1114,1115 1122