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1、1一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、三重积分的计算三、小结及作业2一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,接受接受 引例：设在空间有限闭区域引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不匀整的内分布着某种不匀整的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法：解决方法：密度函数为密度函数为质量质量 3定义定义.设设存在存在,称为称为体积元素体积元素,若对若对 作随意分割作随意分割:随意取点随意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐
2、标系下常写作在直角坐标系下常写作下列下列“乘乘积和式积和式”极限极限记作记作由定义可知由定义可知,引例中物体的质量为引例中物体的质量为:特殊若在特殊若在那么三重积分在数值上那么三重积分在数值上就等于区域就等于区域的体积即的体积即:4性质性质使得使得其中其中V V为为 的体积的体积.三重积分的性质与二重积分相像三重积分的性质与二重积分相像,例如例如计算方法计算方法则至少存在则至少存在 一点一点中值定理中值定理:设设 在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,51、直角坐标系中将三重积分化为三次积分、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算三重积分的计算也可以化为累次积分，即化为一三重积分的
3、计算也可以化为累次积分，即化为一次单积分和二重积分，次单积分和二重积分，从而进一步化为三次单积分计算从而进一步化为三次单积分计算这时要求积分域这时要求积分域为为型型所谓所谓为为型域型域 是指把区域是指把区域投影到投影到平面平面而得到平面有界闭区域而得到平面有界闭区域内任一点作平行于内任一点作平行于轴轴 的直线与区域的边界面的交点不多于两个。的直线与区域的边界面的交点不多于两个。的上下两边界面的上下两边界面分别是定义在分别是定义在上的连续函数，于是有上的连续函数，于是有6如图，如图，在直角坐标系下7化三重积分为三次积分(不妨设不妨设8其中其中 为三个坐标面及平面为三个坐标面及平面例例1.1.计算
4、三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .解解:9例例2:2:计算计算及抛物面及抛物面所围成的区域所围成的区域.解法一解法一:接受先对接受先对 积分积分,将将10解法二：接受先对解法二：接受先对 积分积分,将将11积分积分,将将解法三解法三采用先对采用先对一般在解题时一般在解题时,首先应当依据首先应当依据区域的具体状况区域的具体状况,考虑它对那个坐标面投影比较便利考虑它对那个坐标面投影比较便利,从而确定接受先对从而确定接受先对那个变量积分的积分次序那个变量积分的积分次序.此题用解法三麻烦此题用解法三麻烦.12解解如图，如图，13解解如图如图,14152.2.截面法截面法截面法的一般步
5、骤：截面法的一般步骤：（1）把积分区域把积分区域向某轴向某轴（例如例如 轴轴）投影，投影，得投影区间得投影区间（2）对）对用平面用平面去截去截的截面的截面（3）计算公式）计算公式无关时较便利。无关时较便利。161718解解19原式原式20计算三重积分时，可利用积分区域计算三重积分时，可利用积分区域的对称性和的对称性和被积函数关于某个变量的奇偶性简化运算被积函数关于某个变量的奇偶性简化运算,一般有一般有1)1)、若、若 关于关于xOyxOy面对称，设面对称，设 是是 在在xOyxOy面上方的那面上方的那部分区域，则部分区域，则时时,有有当当时，有时，有当当2)2)、若、若 关于三个坐标面都对称，
6、关于三个坐标面都对称，关于三个变量关于三个变量都是偶函数，都是偶函数，是第一卦限的部分，则是第一卦限的部分，则213)3)、轮换对称性：、轮换对称性：若积分区域若积分区域 的边界曲面的方程关于的边界曲面的方程关于x,y,zx,y,z的地位对称，的地位对称，为连续函数，则有为连续函数，则有例例.设设计算计算提示提示:利用对称性利用对称性原式原式 22例计算例计算而且关于而且关于xOzxOz面对称，面对称，解：解：233.3.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点就称为点M M 的柱坐标的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面
7、半平面半平面平面平面24如图所示如图所示,在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此因此其中其中适用范围适用范围:1)1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简洁；积分域表面用柱面坐标表示时方程简洁；2)2)被积函数用柱面坐标表示时变量相互分别被积函数用柱面坐标表示时变量相互分别.积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有被积函数表达式中含有因子。因子。25其中其中 为由柱面为由柱面例例1.1.计算三重积分计算三重积分所围成半圆柱体所围成半圆柱体.解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面26例例2.2.计算三重积分计算三重积分解解:在
8、柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面27例例3.3.计算计算其中其中解解:利用对称性利用对称性28解解知交线为知交线为2930解解所围成的立体如图，所围成的立体如图，31所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，3233例例6、求、求是由曲线是由曲线绕绕轴旋转一周而成的曲面与轴旋转一周而成的曲面与和和解解因为曲面方程为因为曲面方程为所以所以所围成的立体所围成的立体.（以前的考题）（以前的考题）34例例7:7:求由圆柱面求由圆柱面围成的物体的质量围成的物体的质量,物体的密度为物体的密度为解解:35例例8、计算三重积分计算三重积分其中其中解：解
9、：（以前的考题）（以前的考题）另一解法：截面法另一解法：截面法364.4.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点就称为点M M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为坐标面分别为球面球面半平面半平面锥面锥面37如图所示如图所示,在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为因此有因此有其中其中适用范围适用范围:1)1)积分域表面用球面坐标表示时方程简洁积分域表面用球面坐标表示时方程简洁;2)2)被积函数用球面坐标表示时变量相互分别被积函数用球面坐标表示时变量相互分别.积分域是由球面、锥面所围成。积分域是由球面、锥面所围成。被积函数中含有
10、被积函数中含有的因子。的因子。38例例1.1.计算三重积分计算三重积分 其中其中 为为解解:在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.锥面锥面与球面与球面39例例2 2：计算计算解法一：接受柱坐标计算解法一：接受柱坐标计算40解法三：接受先二后一在解法三：接受先二后一在处用垂直于处用垂直于轴的平面去截轴的平面去截解法二：接受球面坐标解法二：接受球面坐标41例例3.3.设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成 ,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性思索思索:若题中锥面改为旋转抛物面若题中锥面改为旋转抛物面应如何解题应如何解题?42例例4、计计算三重算三重积积分分其中其中是由是由所所 围成
11、的闭区域围成的闭区域.解 （以前的考题）（以前的考题）43例例5、将三次积分、将三次积分化为球面坐标系下的三次积分，其中函数化为球面坐标系下的三次积分，其中函数解：解：在已知区域上连续在已知区域上连续.441.三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结45（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素2.三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标46空间点空间点 直角坐标直角坐标柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系47思索题思索题482.2.将将用三次积分表示用三次积分表示,其中其中 由由所所提示提示:六个平面六个平面围成围成,49