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1、曲面方程：( , ),( , )zf x yx yDD:有界闭区域求曲面的面积 AMAdzdnxyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd(见P99)故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即xzxyzyAdd
2、)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd曲面面曲面面积积221xyDAffd其中其中D是曲面在坐标面是曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域求曲面面积的步骤：求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面）求曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域D（2）在区域）在区域D上计算二重积分：上计算二重积分：221xyDAffd同理可得同理可得设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )xg y z曲面面积公式为：曲面面积公式为：221
3、()()yzDxxAdydzyz设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )yh z x曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()zxDyyAdzdxzx球面的面积A为上半球面面积的两倍 解 例1 求半径为R的球的表面积 222yxRxxz 222yxRxxz 222yxRyyz 所以 22)()(12222yzxzARyx dxdyyxRRRyx2222222 200222RRddR 球心在原点的上半球面的方程为222yxRz 而 20224 4RRRR 反常积分222002RrdrRdRr2204RR Rraaxz y0222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为的的面面积积。被被另
4、另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相a例例2.2.考虑第一卦限考虑第一卦限例例2.2.D22xaz aa.xz y0 DyxxaaSdd28a 22xay xayxaad axdaaxoyD.22221xaazzyx .222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为.的的面面积积。被被另另一一柱柱面面所所割割出出部部分分 ，求求一一柱柱面面直直交交，圆圆柱柱的的底底半半径径为为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相azzxya222yxazaaxyx221练习练习. .求球面求球面2222azy
5、x含在柱面含在柱面axyx22中的那部分面积中的那部分面积.解：解：S为所截曲面为所截曲面的面积，的面积，1S为为在第一卦限部分的曲面在第一卦限部分的曲面1的面积的面积.1在在 面上的投影为：面上的投影为： xoy,:22axyxDxy)0,(yx,cos0 ,20:aDxy即即由对称性得由对称性得dxdyzzSxyDyx2214xyDdxdyyxaa2224cos0220142adada) 2(22axyO a a2例例3.3. 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz xyzo1 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 x
6、yxyxz 1xyzo1.例例3.xyzo11D 02 :22zxyxDS DyxQPSdd22 yxxxzP 其中其中22yxyyzQ DyxSdd 2 . 所割下部分的曲面面积所割下部分的曲面面积 被圆柱面被圆柱面锥面锥面 xyxyxz 例例4.例例6.6.a立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz yxzo例例6.6.xyzoDS =1S2S 共同的共同的 D : azyxyxaz2322222a2 zayx 即即2S2S2S1S.1S.立立体体的的整整个个表表面面积积所所围围成成与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球
7、面面 2 3 22222azyxyxaz 小小 结结dDD 一一、利利用用可可以以求求平平面面图图形形 的的面面积积. .( , )ddDf x yv 二二、利利用用或或可可以以求求立立体体的的体体积积. .三三、利利用用二二重重积积分分的的元元素素法法求求曲曲面面面面积积：曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()() d dxyDzzSx yxy 设曲面的方程为：设曲面的方程为： ( , )( , ),xyzf x yx yD则则第十章习题课第十章习题课一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 一、
8、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法例例1 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosR原式cos022dRR2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0R2222d例例2. 把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为
9、:原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域 .xyzzD1zD2例例3 .计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性简化计算3. 消去被积函数绝对值
10、符号 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，被积分函数和积分区域两个方面，不可误用不可误用对对 DdxdyyxfI),(若若D关于关于 x 轴对称轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D关于关于 y 轴对称轴对称时时当当),(),
11、() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyxf 1),(2DdxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D关于关于原点原点对称对称时时当当),(),() 1(yxfyxf 0 I时时当当),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(若若 D 关于关于直线直线 y = x 对称对称例例4. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yox1DyxxIDdd20d
12、d)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成 .yxeyxDyxdd122(2) 积分域如图:o1yx11D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得.,),()1(.,积积分分为为零零三三重重的的奇奇函函数数时时是是关关于于当当被被积积函函数数平平面面对对称称关关于于如如果果积积分分区区域域一一般般地地zzyxfxOy 其它情形依此类推其它情形依此类推. .三重积分计算的简化三重积分计算的简化.,),()2(分分的的两两倍倍的的三三重重积积平平面面上上方方的的半半
13、个个闭闭区区域域在在积积分分为为三三重重的的偶偶函函数数时时是是关关于于当当被被积积函函数数xOyzzyxf 例例5 设有空间闭区域设有空间闭区域0,| ),(22221zRzyxxyx22222( , , )|,0,0,0 x y xxyzRxyz 则有（则有（ ）12( )4Axdvxdv12( )4Bydvydv12( )4Czdvzdv12()4DxyzdvxyzdvC. 1:d222 zyxvez，计计算算例例6 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 1d2dvevezz 10)(ddd2zeyx
14、zzD 102d)1(2zezz .2 所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221d)(yxzyxzvzx 例例7 解解利用柱面坐标利用柱面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0d vx有有 vzvzxdd)(2122020zdzdd.8 2a2a0 xz yaraz 2azr 2.L)( aazyx 求曲面求曲面 所围体积所围体积 与与 yxaz razzar2 2联立联立柱面坐标柱面坐标用哪种坐标？用哪种坐标？ azarL ：解得交线解得交线例例8.8.例例8.8.2a0 xz ya.L razazr2 2联立联立D arzD0
15、:.raz 2azr 2 DraarzrrV22ddd arrarra0220d)2(d.365a )( aazyx 求曲面求曲面柱面坐标柱面坐标用哪种坐标？用哪种坐标？ azarL ：解得交线解得交线. 所围体积所围体积 与与 yxaz 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy 2xzy例例9.9.o例例9.9.xzy2问题：问题：曲面向哪个坐标面投影？曲面向哪个坐标面投影？. 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy oxzy2 xzyzzy 联联立立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 22 , 2 :2 zzxDxz. xzDxzzxyySddDxz.例例9.9. 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy o22zzy 其中，其中，xzy2DxzxzzzSzzd21 d220222 zzzd16 .zx2 . xzyzzy 联联立立zxy 得得消消 yzzy 又由又由得得 z = 222zzy .例例9.9. 所截的有限部分的面积所截的有限部分的面积被圆锥面被圆锥面求圆柱面求圆柱面 xzyzzy xzDxzzxyySdd2 , 2 :2 zzxDxzozx2 .其中，其中，