圆的知识点总结及典型例题.pdf

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1、- 1 - 圆章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于

2、这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr； 内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；drd=rrd图1rRd图 3rRdrddCBAO图 2rRd- 2 - 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直

3、径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中， 只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个

4、相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD七、圆周角定理1、 圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或90C90CAB是直径OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAO- 3 - 推论 3：若三角形一边上的中线等于

5、这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半

6、径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PDCBAOEDCBANMAOPBAOPODCBAOEDCBA- 4 - （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么

7、弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点12OO垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：

8、12RtO O C 中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算（1）正三角形在 O中 ABC是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在Rt BOD中 进 行 ：:1:3 :2ODBD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式DECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAOECBADOBAO- 5 - 1、扇形：（1）弧长公式：18

9、0n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h典型例题例 1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1 所示（点O，O 是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线， TP、NP 分别为两圆的切线，求 TPN的大小例 2如图， AB 为 O 直径， E 是?BC中点， OE 交 BC 于点 D，BD=3 ，AB=10 ，则 AC=_ 例 3如图， O 的直径为

10、10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（）SlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO- 6 - 例 4如图，在 O 中， AB 、CD 是两条弦， OEAB ，OFCD，垂足分别为EF（ 1）如果 AOB= COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（ 2）如果 OE=OF，那么?AB与?CD的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？ AOB与 COD 呢？例 5如图 3 和图 4，MN 是 O 的直径，弦AB、CD 相交于 MN 上的一点P，APM= CPM（ 1）由以上条件，你认为AB 和 CD 大小关系是什

11、么，请说明理由（ 2）若交点P在 O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由例 6 如图，点O 是ABC 的内切圆的圆心，若BAC=80 ，则 BOC=（）A130 B100 C50 D65例 7如图， AB 为O 的直径， C 是 O 上一点， D 在 AB 的延长线上，且DCB= A（1）CD 与O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与O 相切，且 D=30 ，BD=10 ，求 O 的半径OBACEDFBACEDPONMFBACEDPNMF- 7 - 例 8如图所示，点A 坐标为（ 0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x

12、轴上（1）若点 B 坐标为（ 4，0） ，B 半径为 3，试判断 A 与B 位置关系；（2）若 B 过 M（ 2， 0）且与 A 相切，求 B 点坐标例 9如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积例 10在直径为 AB 的半圆内， 划出一块三角形区域，如图所示， 使三角形的一边为AB，顶点 C 在半圆圆周上，其它两边分别为6 和 8，现要建造一个内接于ABC 的矩形水池DEFN ，其中 D、E 在 AB 上，如图2494 的设计方案是使AC=8 ，BC=6 （1）求 ABC 的边 AB 上的高 h （2）设 DN=x ，且，当 x 取何值时，水池DEFN 的

13、面积最大？（3）实际施工时， 发现在 AB 上距 B 点 1 85 的 M 处有一棵大树， 问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树hDNNFhAB_ A_ y_ x_ O- 8 - 例 11操作与证明：如图所示，O 是边长为a的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a例 12已知扇形的圆心角为120 ，面积为 300cm2（1）求扇形的弧长； （ 2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这

14、个圆锥的轴截面面积为多少？例 13、如图， AB 是O 的直径， BC 是弦， OD BC 于 E，交于 D(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC=8，ED 2，求 O 的半径例 14.已知：如图等边内接于 O，点是劣弧 PC 上的一点 （端点除外） ， 延长至，使，连结（ 1）若过圆心，如图 ，请你判断是什么三角形？并说明理由（ 2）若不过圆心，如图 ，又是什么三角形？为什么？解题思路：（1）为等边三角形BCABCPBPDBDAPCDAPOPDCAPOPDCPDCAOCDPB图AOCDPB图- 9 - 例 15.如图，四边形内接于 O，是O 的直径，垂足为，平分（1）求证：是O

15、的切线；（2）若，求的长例 16、如图，已知在O 中， AB=，AC 是O 的直径， AC BD 于 F，A=30 .(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.例 17.如图，从一个直径是2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留） （2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当 O 的半径为任意值时， （2）中的结论是否仍然成立？请说明理由ABCDBDAECDEDABDEAE301cmDBCDEo，BD3490o(0)R RDECBOAO- 10 -

16、例 18.(1)如图 OA 、OB 是O 的两条半径， 且 OA OB ，点 C 是 OB 延长线上任意一点：过点 C 作 CD 切O于点 D，连结 AD 交 DC 于点 E求证： CD=CE (2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于 F， 交O 于 B ， 其他条件不变， 那么上述结论CD=CE还成立吗 ?为什么 ?(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到O 外的 CF，点 E 是 DA 的延长线与CF 的交点， 其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗 ?为什么例 19、（2010山东德州）如图，在 ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 中点， AE 平分

17、 BAD交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点， O 过 A、E 两点 , 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F（1）求证： BC 与O 相切；（2）当 BAC=120 时，求 EFG 的度数例 20、 （2010 广东广州） 如图， O 的半径为1，点 P 是 O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP，点 D 是?APB 上任一点（与端点A、B 不重合），DE AB 于点 E，以点 D 为圆心、 DE 长为半径作D，分别过点A、B 作BACDEGOF- 11 - CPDOBAE D 的切线，两条切线相交于点C（ 1）求弦 AB 的长；（ 2）判断 ACB 是否为定值，若是，求出ACB 的

18、大小；否则，请说明理由；（ 3）记 ABC 的面积为S ，若2SDE43 ，求 ABC 的周长 .例 21 （2010 江西）“6”字形图中， FM 是大圆的直径， BC 与大圆相切于B，OB 与小圆相交于A，BC AD ，CDB，BCDG， 于 H，设,4,6FOBOBBC，（）求证：AD 是小圆的切线；（）在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；（）当30，求 DH 的长例 22.（2010 江苏泰州， 28，12 分）在平面直角坐标系中，直线ykxb（k 为常数且k0）分别交x 轴、 y轴于点 A、B， O 半径为5个单位长度如图甲，若点A 在 x 轴正半轴上，点B在 y 轴正半轴上，且OA=OB 求 k 的值；若 b=4，点 P 为直线ykxb上的动点，过点P 作 O的切线 PC、PD，切点分别为C、D，当 PCPD时，求点P 的坐标若12k，直线ykxb将圆周分成两段弧长之比为1 2，求 b 的值 （图乙供选用）- 12 - 例 23如图，在 O 中， C、D 是直径 AB 上两点，且AC=BD ， MCAB，ND AB ，M、N在 O 上（ 1）求证：?AM=?BN；（ 2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则?AMMNNB成立吗？