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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -圆章节学问点复习一.圆的概念集合形式的概念：1 . 圆可以看作为到定点的距离等于定长的点的集合；2 .圆的外部：可以看作为到定点的距离大于定长的点的集合；3 .圆的内部：可以看作为到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就为以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹为这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 .角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹为这个角的平分线；4 .到直线的距离相等的点的轨迹为：平行于这条直线且到这条直线的距离等
2、于定长的两条直线；5 .到两条平行线距离相等的点的轨迹为：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二.点与圆的位置关系1.点在圆内dr点 C 在圆内；Ad2.点在圆上dr点B 在圆上；3.点在圆外dr点A 在圆外；rOBdC三.直线与圆的位置关系1.直线与圆相离dr无交点 ； 2.直线与圆相切dr有一个交点；3.直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四.圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr ；外切（图2）有一个交点dRr ；相交（图3）有两个交点RrdRr ； 内切（图4）有一个交点dRr ；- 1 -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品wo
3、rd 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -内含（图5）无交点dRr ；dRrdd图 2RrRr图3图1五.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不为直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB 为直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他
4、3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中， AB CD弧 AC弧 BD六.圆心角定理ACDOOEABCD B圆心角定理： 同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，就可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ；弧 BA弧 BD七.圆周角定理- 2 -EFODACBCDCB OBO第 2 页，共 13 页AA- - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1.圆周角定理：同弧所对
5、的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和ACB 为弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧为等弧；C即：在 O 中，C .D 都为所对的圆周角BACDO推论2：半圆或直径所对的圆周角为直角；圆周角为直角所对的弧为半圆，所对的弦为直径；即：在 O 中， AB 为直径或C 90C90 AB 为直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；C即：在ABC 中， OCOAOB ABC 为直角三角形或C90BOA注：此推论实为初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形
6、中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在 O 中，CD四边形ABCD 为内接四边形CBAD180BD180DAEC九.切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线为切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 为 O 的切线（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；BAEOMAN- 3 -第 3 页，共 13 页 - -
7、 - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA . PB 为的两条切线B PAPBDOBOPO 平分BPAPP十一.圆幂定理ACAC（ 1）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；即：在 O 中，弦AB . CD 相交于点 P ， PAPBPCPD（ 2
8、）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半为它分直径所成的两条线段的比例中项；BOEA D即：在 O 中，直径ABCD ， CE 2AEBEA（ 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与DEO圆交点的两条线段长的比例中项；PCB即：在 O 中， PA 为切线， PB 为割线PA2PCPB（ 4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；即：在 O 中， PB . PE 为割线 PCPBPDPE十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；AO1O2如图：O1O2 垂直平分AB ；
9、B即：O1 .O2 相交于 A . B 两点 O1O2 垂直平分 ABABCO1- 4 -O2第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -十三.圆的公切线两圆公切线长的运算公式：（ 1）公切线长：RtO O C 中， AB 2CO 2O O 2CO 2 ；C121122（ 2）外公切线长：CO2 为半径之差；内公切线长：CO2 为半径之和；O十四. 圆内正多边形的运算（ 1）正三角形BDA在 O中 ABC为 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在RtBOD中 进 行 ：OD : BD : OB（ 2
10、）正四边形1:3 : 2 ；BCO同理，四边形的有关运算在RtOAE 中进行，（ 3）正六边形同理，六边形的有关运算在RtOAB 中进行，OE : AE : OAAB : OB : OA1:1:2 ：1:3 : 2 .AEDO十五.扇形.圆柱和圆锥的相关运算公式B1.扇形：（ 1）弧长公式：lnRA；A180nR21（ 2）扇形面积公式：SlR3602OSln ： 圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积B2.圆柱：（ 1）圆柱侧面绽开图DAD1SS2S= 2rh2r 2母线长表侧底底面圆周长BC1（ 2）圆柱的体积：CB1Vr 2h（ 2）圆锥侧面绽开图（ 1） SSS=
11、Rrr 2O表侧底12R（ 2）圆锥的体积：典型例题Vrh3CA rB例 1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1 所示（点O， O为圆心），分隔两个- 5 -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP. NP 分别为两圆的切线，求TPN 的大小例 2如图， AB 为 O 直径， E 为 BC 中点， OE 交 BC 于点 D，BD=3 ，AB=10 ，就 AC= 例 3如图， O 的直径为10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，就弦 AB 的
12、长为（）例 4如图，在 O 中， AB .CD 为两条弦， OE AB ，OF CD ，垂足分别为EF（ 1）假如 AOB= COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（ 2）假如 OE=OF ，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？.为什么？ AOB 与 COD 呢？CAFEODB例 5如图 3 和图 4，MN 为 O 的直径， 弦 AB .CD.相交于 MN .上的一点P，. APM= CPM （ 1）由以上条件，你认为AB 和 CD 大小关系为什么，请说明理由（ 2）如交点P 在 O 的外部，上述结论为否成立？如成立，加以证明；如不成立
13、，请说明理由- 6 -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -AMC PFEAEOBNDBMDPNFC例 6 如图，点O 为 ABC 的内切圆的圆心，如BAC=80 ，就 BOC= （）A 130 B 100 C50D 65例 7如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， D 在 AB 的延长线上，且DCB= A （ 1）CD 与 O 相切吗？假如相切，请你加以证明，假如不相切，请说明理由（ 2）如 CD 与 O 相切，且 D=30，BD=10 ，求 O 的半径例 8如下列图，点A 坐
14、标为（ 0， 3），OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上_y（ 1）如点 B 坐标为（ 4， 0）， B 半径为 3，试判定 A 与 B 位置关系；（ 2）如 B 过 M （ 2， 0）且与 A 相切，求B 点坐标_A_O_x例 9如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径为a， .求正六边形的周长和面积- 7 -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 10在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如下列图，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6 和 8，现
15、要建造一个内接于ABC .的矩形水池DEFN ，其中D.E 在 AB 上，如图24 94 的设计方案为使AC=8 ， BC=6 hDNNF（ 1）求ABC 的边 AB 上的高 h（ 2）设 DN=x ，且，当 x 取何值时， 水池 DEFNhAB的面积最大？（3）实际施工时，发觉在AB 上距 B 点 185 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树为否位于最大矩形水池的边上？假如在，为了爱护大树，请设计出另外的方案，使内接于满意条件的三角形中欲建的最大矩形水池能躲开大树例 11操作与证明：如下列图，O 为边长为a 的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆 心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并
16、将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板掩盖部分的总长度为定值a例 12已知扇形的圆心角为120，面积为 300cm2- 8 -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（ 1）求扇形的弧长； （ 2）如将此扇形卷成一个圆锥，就这个圆锥的轴截面面积为多少？例 13.如图， AB 为 O 的直径， BC 为弦， OD BC 于 E，交BC 于 D(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2) 如 BC=8， ED 2，求 O 的半径例 14.已知：如图等边 ABC内接于 O，点 P 为劣弧
17、PC 上的一点（端点除外） ，延长BP 至 D ，使 BDAP ，连结 CD （ 1）如AP 过圆心O ，如图，请你判定 PDC为什么三角形？并说明理由（ 2）如AP 不过圆心O ，如图， PDC又为什么三角形？为什么？解题思路：（ 1） PDC A为等边三角形AOOB CBCPPD图D图例 15.如图，四边形ABCD内接于 O，BD 为 O 的直径，AECD，垂足为E ， DA 平分BDE （ 1）求证：AE 为 O 的切线；AE（ 2）如DBC30 ， DE1cm ，求BD 的长DOBC- 9 -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 -
18、- - - - - - - - - - - -例 16.如图，已知在O 中， AB= 43 ， AC 为 O 的直径， AC BD 于 F， A=30.(1)求图中阴影部分的面积；(2)如用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，恳求出这个圆锥的底面圆的半径.例 17.如图，从一个直径为2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为（ 1）求这个扇形的面积（结果保留）90 的扇形ABOC（ 2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（ 3）当 O 的半径R(R0) 为任意值时， （2）中的结论为否仍旧成立？请说明理由例 18. (1) 如图 OA .OB 为 O 的
19、两条半径，且OA OB，点 C 为 OB 延长线上任意一点：过点 C 作 CD 切 O 于点 D ，连结 AD 交 DC 于点 E求证： CD=CE(2) 如将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于 F，交 O 于 B，其他条件不变，那- 10 -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -么上述结论CD=CE 仍成立吗 .为什么 .(3) 如将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到O 外的 CF，点 E 为 DA 的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 仍成立吗 .为
20、什么例 19 .（2021 山东德州）如图，在 ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 中点， AE 平分 BAD交 BC 于点 E，点 O 为 AB 上一点， O 过 A .E 两点 、 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F（ 1）求证： BC 与 O 相切；C（ 2）当 BAC=120时，求 EFG 的度数DGEAOFB例 20.（ 2021 广东广州） 如图， O 的半径为1，点 P 为 O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP， 点 D 为 APB 上任一点（与端点A.B 不重合）， DE AB 于点 E，以点 D 为圆心. DE 长为C半径作 D，分别过点A.B 作 D 的切线，两
21、条切线相交于点C（ 1）求弦 AB 的长；PD（ 2）判定 ACB 为否为定值，如为，求出ACB 的大小；否就，请说明理ABE- 11 -O第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由；（ 3）记 ABC 的面积为S，如S 43 ，求 ABC 的周长 .2DE例 21（ 2021 江西）“6字”形图中， FM 为大圆的直径， BC 与大圆相切于B，OB 与小圆相交于A， BCAD， CD B， BCDG ， 于 H ，设FOB、 OB4、 BC6 ，（）求证： AD 为小圆的切线；（）在图中找出
22、一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；（）当30，求 DH 的长例 22.（ 2021 江苏泰州， 28， 12 分）在平面直角坐标系中，直线ykxb （ k 为常数且 k 0）分别交 x 轴. y 轴于点 A. B， O 半径为5 个单位长度如图甲，如点A 在 x 轴正半轴上，点B 在 y 轴正半轴上，且OA=OB求 k 的值；如 b=4，点 P 为直线 ykxb 上的动点， 过点 P 作 O的切线 PC.PD ，切点分别为C.D ，当 PC PD 时，求点P 的坐标如 k1，直线 ykxb 将圆周分成两段弧长之比为1 2，求 b 的值（图乙供选用）2- 12 -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 23如图，在 O 中， C.D 为直径 AB 上两点，且AC=BD ， MC AB ，ND AB ， M .N .在 O 上（ 1）求证：AM = BN ；（ 2）如 C.D 分别为 OA .OB 中点，就AMMNNB 成立吗？- 13 -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -