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1、动动力学力学方方程程n k in kimk nk i nn Wii u n k nkidt 2u k k d 2u2U第第 n个晶个晶胞中胞中第第 k 个原子个原子的的动动力学力学方方程程为为：n , n 1 , 2 , N ;i, i 1,2,3;k, k 1,2,P;共共 3PN 个齐个齐次微分次微分方方程程动动力学力学方方程程的的一一般般解解满足满足动力动力学学方方程程的一的一般般解解为为：kikn kinA(q )emt )i ( q Ru1kikknnmmt iqR R t iq G A (q)e1A (q )ekiG1u(q ) nkiG由于由于GRn 2m ，得，得到到： q与与
2、表示表示同一格同一格波波的波的波矢矢。q GA (q)emmnkit kikt kiknkinn11 u(q)A (q)eu(q) iqR iqR 由于由于波波矢矢为为 q 的的正向传播正向传播的的格格波波和和波波矢矢为为q的负的负向向传传播播的的格波格波的的性质性质相同。相同。而而且在且在同同一一温温度下度下，引引起起的的原原子的子的振振幅幅相相同，同，得得到到：即：即：unki (q) unki (q)1k iiin k iiimkkkkt )i ( q RA (q)ek nki nkin nn u W nn W 2kkikikknkikmdtd 2dt 2d 2umeRn t )Rn t
3、 ) m Aq1 m2i(q i(q Aqe方方程右边程右边：色色散关散关系系将一将一般解般解带带入入动动力学力学方方程程，得得到到：方程方程左边左边：12kkm miikiAki (q)( R R )nkkkieW n nnniqA (q) 得到：得到：112kkiiiikk( RR )iqn(mk mk ) C(q)e n nnnW 恢复恢复力力系系数数由于由于晶格的晶格的平平移对移对称称性性，恢复恢复力力系系数数只只依依赖于赖于两两个个原原胞的胞的相相对对位位置置 ，RnRn对于对于任意指任意指定定的原的原胞胞 n，121iikkiqn( Rn Rn )e n nW (mk mk )与与
4、 n 无关无关，令，令：得到：得到：2kikikiCk k (q) A(q)kikiCk k (q) Aii ii(q) A (q) i, i 1,2,3; k, k 1,2,P;共3P个线性齐次方程k , k 1; i, i 1,2,3;13 212 211 2(q) C1 1(q) A (q)3313 (q) C1 1(q) A(q)2313 (q) C1 1(q) A (q) C1 1(q) A21112212 (q) C1 1(q) A(q)1313 C1 1(q) A(q) C1 1(q) A (q) C1 1(q) AiC1 1 (q) A(q) C1 1(q) A (q) C1
5、1(q) A3i1i31113212 i1i11111212 iC1 1 (q) A2i1i1iA(q) A(q) A(q) 如：如：i, i 1,2,3; k, k 1,2,P;使使 Aki (q) 有非有非零零解解的的条条件是件是：3P个色散个色散关关系系式式：bi qi bi22 j j (q), j 1,2, 3P并且：并且： j (q G) j (q) j (q) j (q)1 12233对一对一个格波个格波波波矢矢 q q a q a q a ，有，有bi 为与为与晶格对晶格对应应的倒的倒格格子子基基矢矢第第 i 个分量个分量声声学支学支格格波波、光光学学支格支格波波每个每个色散色
6、散关关系系代代表一表一支支格格波波，共共3P支支。其其中中3支支描描述述原原胞与胞与原原胞胞之之间间的的 相对相对运动，运动，称称为为声声学支学支。其其余余3P-3支描支描述述原原胞胞内内各各原子原子之之间间的的相对相对运运动动，称称 为为光光学学支支。周周期性期性边边界条界条件件i 1,2,3kiknkiki immRn tnki Niki uiq A(q)e1uA (q)e1( Rn N a )t iq 1eiqi Niaiqi Niai li 2 , li 0,1,2 Niaiqi li 2q q a q a q a1 12233iiNiaiaia将将 qi 取值取值限制限制在在第第一一
7、布布里里渊区渊区内内，对对于简于简单单立立方方晶晶格格有有： l 2 iqi 可以可以取取 N 个不同个不同的的值值。 Ni li Ni ,i 1,2,3 22q 取取值的个数值的个数：N N1N2 N3个独个独立振动立振动模模式式的线的线性叠加性叠加：3PN结论结论1、晶、晶格格振振动动波波矢个矢个数数等等于于晶晶体体原胞原胞数数 N，晶晶体原子体原子的的自由自由度度等等于于3，晶，晶体体 原胞原胞中包中包含含 P 个原子个原子的的独独立振立振动动模模式式数（数（状状态态数数）等等于晶于晶体体原原子子的总的总自自由由度度 数数 3PN。2、晶、晶体体独独立立的的格波格波分分成成 3P支支，每
8、支，每支有有 N个格个格波波。其其中中3支支是是声声学学波，波，其其余余3P 3支是光支是光学学波波。3、3支声学支声学波波中有中有一一支支是是纵纵波波（原（原子子振振动动方向方向与与波波传传播播方方向相向相同同）LA，其，其 余两余两支是横支是横波波（原（原子子振振动动方向方向与与波波传传播播方方向垂向垂直直）TA。4、3P 3 支光学支光学波分波分为为横横光光学学波波TO和和纵纵光光学学波波LO两种。两种。Rnk5、位、位于于平平衡衡位位置置 的原子的原子三三维维振振动动方程方程的的通通解解是是kikn kmu3 PNA(q )eqi ( q Rn t ) 1声学波声学波横波横波1 1横波
9、横波2 2光学波光学波 金刚金刚石结石结构构晶体晶体的的格格波波原胞原胞包含包含2 2个个同同种种原原子子，具，具有有相相同同波矢波矢的的格格波波个个数数等等于于6 6。横波横波1 1横波横波2 2纵波纵波格波格波纵波纵波由由N N个原胞个原胞构构成成的的金金刚刚石型石型晶晶体体，共共有有6N6N个个不不同同波波矢的矢的格格波波。6N6N个格个格 波分为波分为6 6支支，3 3支为支为光光学学波，波，3 3支支为为声声学学波波。金刚金刚石晶格石晶格振振动动沿沿110110方方向传向传播播的的格格波与波与波波矢矢的的关关系系横横1 1纵纵纵纵光学波光学波声学波声学波横横2 2q110110a横横2 2横横1 1长长 波波 范范 围围短波短波范范围围NNl 1l 1un un l Alei(naql lt)第第 n个个原原子子的的在在 N 个个振振动动模模式作用式作用下下产生的总位移产生的总位移：NaqlN l N222l