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1、 人教版八年级上册几何压轴题专项训练1已知，如图，ABC 为等边三角形，AECD，AD、BE 相交于点 P，BQAD 于 Q（1）求证：BEAD；（2）求BPQ 的度数；（3）若 PQ3，PE1，求 AD 的长2如图，已知在ABC 中，BAC 为直角，ABAC，D 为 AC 上一点，CEBD 于 E，交BA 的延长线于 F（1）求证：ABDACF；（2）若 BD 平分ABC，求证：CE BD；（3）若 D 为 AC 上一动点，AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数 3如图 1，ABE 是等腰三角形，ABAE，BAE45，过点 B 作 BCAE 于点 C，在BC 上截
2、取 CDCE，连接 AD、DE，并延长 AD 交 BE 于点 P；（1）求证：ADBE；（2）试说明 ADBE；（3）如图 2，将CDE 绕着点 C 旋转一定的角度，那么 AD 与 BE 的位置关系是否发生变化，说明理由4如图，已知ABC 中，ABAC10 厘米，ABCACB，BC8 厘米，点 D 为 AB的中点，如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动，设点 P 运动的时间为 t（1）用含有 t 的代数式表示线段 PC 的长度；（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后BPD 与
3、CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？ 5以点 A 为顶点作等腰 RtABC，等腰 RtADE，其中BACDAE90，如图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接 BD、CE（1）试判断 BD、CE 的数量关系，并说明理由；（2）延长 BD 交 CE 于点 F，试求BFC 的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图 2 放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由6如图 1，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点B，C 重合），以 AD 为边在 AD 的右侧作ADE，
4、使 ADAE，DAEBAC，连接 CE设BAC，BCE（1）求证：CAEBAD；（2）探究：当点 D 在 BC 边上移动时，、 之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图 2，若BAC90，CE 与 BA 的延长线交于点 F求证：EFDC 7如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为 F（1）求证：ABCADE；（2）求FAE 的度数；（3）求证：CD2BF+DE8如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ACCD，已知两点 A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，DCA90，点 B 在线段 OC 上，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 M，AC 与 BD 交于点 N
5、（1）点 B 的坐标为：（2）求点 D 的坐标；（3）求证：CMCN； 9已知：如图 1 所示，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，直线 MN 经过点 A，BDMN 于点 D，CEMN 于点 E（1）求证：BADACE；（2）试判断线段 DE，BD，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线 MN 运动到如图 2 所示位置时，其余条件不变，判断线段 DE，BD，CE 之间的数量关系10如图，已知ABC 和CDE 均为等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上，连接AD、BE，交 CE 和 AC 分别于 G、H 点，连接 GH（1）请说出 ADBE 的理由；（2）试说出BCH
6、ACG 的理由；（3）试猜想：CGH 是什么特殊的三角形，并加以说明 11（1）如图 1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且 B，C，D 三点在一条直线上，连接AD，BE 相交于点 P，求证：BEAD（2）如图 2，在BCD 中，若BCD120，分别以 BC，CD 和 BD 为边在BCD 外部作等边ABC，等边CDE，等边BDF，连接 AD、BE、CF 恰交于点 P求证：ADBECF；如图 2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD 与 BE 存在怎样的数量关系，并说明理由12已知：在等边ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、BC、AC 的中点，点 G 为直线 BC上一动点，当点 G
7、 在 CB 延长线上时，有结论“在直线 EF 上存在一点 H，使得DGH是等边三角形”成立（如图），且当点 G 与点 B、E、C 重合时，该结论也一定成立问题：当点 G 在直线 BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论 13如图，在ABC 中，ABBCAC20cm动点 P，Q 分别从 A，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动已知点 P，点 Q 的速度都是 2cm/s，当点 P 第一次到达 B 点时，P，Q 两点同时停止运动设点 P 的运动时间为 t（s）（1）A度；（2）当 0t10，且APQ 为直角三角形时，求 t 的值；（3）当APQ 为等
8、边三角形时，直接写出 t 的值14如图，在三角形ABC 中，AB8，BC16，AC12点 P 从点 A 出发以 2 个单位长度/秒的速度沿 ABCA 的方向运动，点 Q 从点 B 沿 BCA 的方向与点 P 同时出发；当点 P 第一次回到 A 点时，点 P，Q 同时停止运动；用 t（秒）表示运动时间（1）当 t秒时，P 是 AB 的中点（2）若点 Q 的运动速度是 个单位长度/秒，是否存在 t 的值，使得 BP2BQ（3）若点 Q 的运动速度是 a 个单位长度/秒，当点 P，Q 是 AC 边上的三等分点时，求 a的值 15如图，等边ABC 的边长为 15cm，现有两点 M，N 分别从点 A，点
9、 B 同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s当点 N 第一次到达 B 点时，M，N 同时停止运动（1）点 M、N 运动几秒后，M，N 两点重合？（2）点 M、N 运动几秒后，AMN 为等边三角形？（3）当点 M，N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求出此时 M，N 运动的时间16如图，已知ABC 中，ABAC10cm，BC8cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动若点
10、Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1s 后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 参考答案1（1）证明：ABC 为等边三角形，ABCA，BAEC60，在AEB 与CDA 中，AEBCDA（SAS），BEAD；（2）解：由（1）知，AEBCDA，则ABECAD，BAD+ABDBAD+CADBAC
11、60，BPQBAD+ABD60；（3）解：如图，由（2）知BPQ60BQAD，PBQ30，PQ BP3，BP6BEBP+PE7，即 AD72解：（1）BAC 是直角，CEBD，BACCAFBEC90，CDE+DCE90，ABD+ADB90，ADBCDE，ABDACF， 在ABD 和ACF 中，ABDACF（ASA）；（2）由（1）知，ABDACF，BDCF，BDCE，BD 平分ABC，BCBF，BDCE，CEEF，CE CF BD；（3）AED 不变化理由：如图，过点 A 作 AGCF 于 G，作 AHBD 于 H，由（1）证得BADCAF（ASA），S BADS CAF，BDCF，BDAHC
12、FAG，而 BDCF，AHAG，AHEB，AGEG，EA 平分BEF，BEA BEG45，即：AED 不变化3解：（1）BCAE，BAE45，CBACAB， BCCA，在BCE 和ACD 中，BCEACD（SAS），ADBE（2）BCEACD，EBCDAC，BDPADC，BPDDCA90，ADBE（3）ADBE 不发生变化理由：如图（2），BCEACD，EBCDAC，BFPAFC，BPFACF90，ADBE4解：（1）由运动知，BP3t，BC8，PCBCBP83t；（2）全等，理由：当 t1 时，BP3，CP5，CQ3， BPCQ，点 D 是 AB 的中点，BD AB5，CPBD，BPDCQP
13、（SAS）；（3）BP3t，CP83t，设点 Q 的运动速度为 xcm/s，CQxt，当BPDCQP 时，BPCQ，3txt，x3（不符合题意），当BPDCPQ 时，BPCP，BDCQ，3t83t，5xt，t ，x，点 Q 的运动速度为 cm/s 时，能够使BPD 与CQP 全等5解：（1）CEBD，理由如下：等腰 RtABC，等腰 RtADE，AEAD，ACAB，在EAC 与DAB 中，EACDAB（SAS），CEBD； （2）EACDAB，ECADBA，ECA+CBFDBA+CBF45，ECA+CBF+DCB45+4590，BFC1809090；（3）成立，等腰 RtABC，等腰 RtAD
14、E，AEAD，ACAB，在EAC 与DAB 中，EACDAB（SAS），CEBD；EACDAB，ECADBA，ECA+CBFDBA+CBF45，ECA+CBF+DCB45+4590，BFC18090906（1）证明：DAEBAC，DAEDACBACDAC，CAEBADADAE，ACAB，CAEBAD（SAS）（2）解：+180，理由如下：由CAEBAD，ACEBABAC，BACBACEBACB BCE2B，在ABC 中，BAC1802B+180（3）证明：由（1）知，CAEBAD，CEBDBAC90，ABAC，BACB45，由（2）得，BCF+BAC180BCF90FB45，CFCBCFCEC
15、BBDEFDC7证明：（1）BADCAE90，BAC+CAD90，CAD+DAE90，BACDAE，在BAC 和DAE 中，BACDAE（SAS）；（2）CAE90，ACAE，E45，由（1）知BACDAE，BCAE45，AFBC，CFA90，CAF45，FAEFAC+CAE45+90135；（3）延长 BF 到 G，使得 FGFB， AFBG，AFGAFB90，在AFB 和AFG 中，AFBAFG（SAS），ABAG，ABFG，BACDAE，ABAD，CBAEDA，CBED，AGAD，ABFCDA，GCDA，GCADCA45，在CGA 和CDA 中，CGACDA（AAS），CGCD，CGCB
16、+BF+FGCB+2BFDE+2BF，CD2BF+DE8解：（1）A（4，0），OAOB4，B（0，4），故答案为：（0，4）（2）C（0，7）， OC7，过点 D 作 DEy 轴，垂足为 E，DECAOC90，DCA90，ECD+BCAECD+EDC90BCAEDC，DECCOA（AAS），DEOC7，ECOA4，OEOC+EC11，D（7，11）；（3）证明：BEOEOB1147BEDE，DBE 是等腰直角三角形，DBE45，OAOB，OBA45，DBA90，BAN+ANB90，DCA90，CDN+DNC90，DNCANB，CDNBAN， DCA90，ACMDCN90，DCNACM（ASA
17、），CMCN9（1）证明：BDMN，CEMN，BDAAEC90，BAD+ABD90，又BAC90，BAD+CAE90，ABDCAE，在BAD 和ACE 中，BADACE（AAS），（2）解：DEBD+CE理由如下：由（1）得：BADACE，BDAE，ADCE，又 DEAE+AD，DEBD+CE，（3）DECEBD，同（1）可得：BADACE，故 BDAE，ADCE，又 DEADAE，DECEBD10解：（1）ABC 和CDE 均为等边三角形ACBC，ECDCACBECD60ACDECBACDBCEADBE； （2）ACDBCECBHCAGACBECD60，点 B、C、D 在同一条直线上ACBE
18、CDACG60又ACBCACGBCH；（3）CGH 是等边三角形，理由如下：ACGBCHCGCH（全等三角形的对应边相等）又ACG60CGH 是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形）；11（1）证明：ABC 和DCE 都是等边三角形，BCAC，CECD，ACBDCE60，ABC+ACEDCE+ACE，即BCEACD，BCEACD（SAS），BEAD；（2） 证明：ABC 和CDE 是等边三角形，ABBC，CDBE，ACBDCE60，ACB+BCDDCE+BCD，即ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，同理：ABDCBF（SAS），ADCF，即 ADBECF； 解：
19、结论：PB+PC+PDBE，理由：如图 2，AD 与 BC 的交点记作点 Q，则AQCBQP，由知，ACDBCE，CADCBE，在ACQ 中，CAD+AQC180ACB120，CBE+BQP120，在BPQ 中，APB180（CBE+BQP）60，DPE60，同理：APC60，CPD120，在 PE 上取一点 M，使 PMPC，CPM 是等边三角形，CPCM，PCMCMP60，CME120CPD，CDE 是等边三角形，CDCE，DCE60PCM，PCDMCE，PCDMCE（SAS），PDME，BEPB+PM+MEPB+PC+PD12证明：连接 DE、EF、DF（1）当点 G 在线段 BE 上时
20、，如图，在 EF 上截取 EH 使 EHBG D、E、F 是等边ABC 三边中点，DEF、DBE 也是等边三角形且 DE ABBD在DBG 和DEH 中，DBGDEH（SAS），DGDHBDGEDHBDEGDE+BDG60，GDHGDE+EDH60在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形（2）当点 G 在射线 EC 上时，如图，在 EF 上截取 EH 使 EHBG由（1）可证DBGDEHDGDH，BDGEDHBDEBDGEDG60，GDHEDHEDG60在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形（3）当点 G 在 BC 延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立综上所述
21、，点 G 在直线 BC 上的任意位置时，该结论成立 13解：（1）ABBCAC，ABC 为等边三角形，A60，故答案为：60（2）A60，当APQ90时，AQP906030QA2PA即 202t2t2解得当AQP90时，APQ906030PA2QA即 2（202t）2t解得当 0t10，且APQ 为直角三角形时，t 的值为（3）由题意得：AP2t，AQ202t，A60，当 AQAP 时，APQ 为等边三角形，2t202t，解得 t5，当 P 于 B 重合，Q 与 C 重合，则所用时间为：4220，综上，当APQ 为等边三角形时，t5 或 20 14解：（1）AB8，点 P 的运动速度为 2 个
22、单位长度/秒，当 P 为 AB 中点时，即 422（秒）；故答案为：2（2）由题意可得：当 BP2BQ 时，P，Q 分别在 AB，BC 上，点 Q 的运动速度为 个单位长度/秒，点 Q 只能在 BC 上运动，当点 P 在 AB 上，BP82t，BQ t，则 82t2 t，解得 t，当点 P 在 BC 上时，BP2t8，BQ，2t82 t，解得 t12当点 P 运动到 AC 上时，不存在 BP2BQ；故 t12 或 ，使得 BP2BQ（3）当点 P 为靠近点 A 的三等分点时，如图 1，AB+BC+CP8+16+832，此时 t32216，BC+CQ16+420，a2016 ， 当点 P 为靠近
23、点 C 的三等分点时，如图 2，AB+BC+CP8+16+428，此时 t28214，BC+CQ16+824，a2414综上可得：a 的值为 或15解：（1）设运动 t 秒，M、N 两点重合，根据题意得：2tt15，t15，答：点 M，N 运动 15 秒后，M、N 两点重合；（2）如图 1，设点 M、N 运动 x 秒后，AMN 为等边三角形，ANAM，由运动知，AN152x，AMx，152xx，解得：x5，点 M、N 运动 5 秒后，AMN 是等边三角形；（3）假设存在，如图 2，设 M、N 运动 y 秒后，得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，AMAN，AMNANM，ABC 是等边三角形
24、，ABAC，CB60，ACNABM（AAS）， CNBM，CMBN，由运动知，CMy15，BN1532y，y151532y，y20，故点 M，N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M，N 运动的时间为 20 秒16解：（1） t1s，BPCQ313cm，AB10cm，点 D 为 AB 的中点，BD5cm又PCBCBP，BC8cm，PC835cm，PCBD又ABAC，BC，在BPD 和CQP 中， BPDCQP（SAS） v ，vPQBPCQ，若BPDCPQ，BC，则 BPPC4cm，CQBD5cm，点 P，点 Q 运动的时间s，cm/s；（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得 x3x+210，解得点 P 共运动了 380cmABC 周长为：10+10+828cm，若是运动了三圈即为：28384cm，84804cmAB 的长度，点 P、点 Q 在 AB 边上相遇，经过 s 点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇