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1、 知识点 28 直角三角形、勾股定理一、选择题7.(2020宁波)如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为中线，延长 CB 至点 E，使 BEBC，连结 DE，F 为 DE 中点，连结 BF.若 AC8，BC6，则 BF 的长为B2.5答案BAC2+ BC2解析在 RtABC 中，AC8，BC6，根据勾股定理，得 AB1210.CD 为 RtABC 斜边上的中线，CD AB5.BEBC，F 为 DE 的中点，由中位线1122定理，得 BF CD 52.5.因此本题选 B6（2020陕西）如图，在33 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A、B、C 都在格点上，若BD 是ABC 的高，
2、则 BD 的长为（）A10 13987B13C13D1313131313ADBC第 6 题图答案D解析本题考查了利用勾股定理求线段长、割补法求三角形面积以及等积法等知识.首先求713131313出ABC 的面积为 3.5，AC，再运用等积法求出 BD3.52（2020包头）8、如图，在Rt ABC中，ACB = 90的中点，BE CD，交CD，D 是的延AB= 2= 2 2， BC长线于点 E若 AC，则的长为（）BEAEDCB2 663ABCD232答案A= AC + BC =12=2 31解析ACB=90，ABC 是直角三角形， AB222, AB.又点 D1= 32=是 AB 的中点，C
3、D.ABC 的面积等于BCD 面积的 2 倍，即CD BEBC AC ，221 23BE =6.故选 A.12（2020河北）如图7，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是A.从点P向北偏西45走3km到达lB.公路l的走向是南偏西45C.公路l的走向是北偏东45D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l北l东P图7答案A解析解析：如图，在Rt PAB中，APB=90，PA=PB=6km，16 + 6 = 6 2PAB=PBA=45,AB=km.过点P作PCAB，垂足为C，PC= 2226 2 = 3 22km到达l，故选项A错误；过
4、点A作DEPA，则km.点P向北偏西45走31=2=45，公路l的走向是北偏东45或南偏西45，故选项B和C正确；过点C作CFPB，垂足1为F.在Rt PCB中，PCB=90，PC=BC，PB=6km，CF=PF=后，再向西走3km到达l，故选项D正确.6=3km，即从点P向北走3km216（2020河北）图10是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按图10的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（C.3，4，5）A.1，4，5B.2，3，5D.2，2，
5、4图10答案B解析设选取的三块纸片的面积分别为a,b，c（abc）,根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为：a=b=1,b=2，此时ab=1；a=1，b=2，c=3, 此时ab=2；a=1，b=3，c=4, 此时ab=3；a=1，b=4，c=5, 此时ab=4；a=2，b=2，c=4, 此时ab=4；a=2，b=3，c=5, 此时ab=6.选取的三块纸片的面积分别是2,3，5时，所围成的三角形的面积最大，故答案为B.二、填空题16（2020衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图已知O，P两点固定，连杆PAPC140cm，ABBCCQQA60cm，OQ50cm，O
6、，P两点间距与OQ2 长度相等当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）（1）点P到MN的距离为cm；（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为cm6409答案（1）160，（2）解析（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OHPQ于H由题意：OPOQ50cm，P，Q，A，B在同一直线上，PQPAAQ1406080（cm），PMPA+BC140+60200（cm）.当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），当点B运动到点M处的PCO与
7、点B运动到点N处的PCO全等，又PMPN， PTMN.OHPQ，PHHQ40（cm），PH PT40 PT=50 200cosP OP PM ，解得PT160（cm），点P到MN的距离为160 cm（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QHPT于H设HAx cm由题意ATPTPA16014020（cm），OAPAOP1405090（cm），OQ50cm，AQ60cm，460=9QHOA，QH2AQ2AH2OQ2OH2，602x2502（90x）2，解得x.64096409=HTAH+AT（cm），点Q到MN的距离为cm因此本题答案为（1）1606409（2）13（2020绍兴）如图 1，直
8、角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图 2 放入一个边长为 3 的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图 2 中阴影部分面3 积为_4 5答案1 2 5 4 = 4 53 - 2 = 5 ，故阴影部分的面积是2因此本题答案为4 52216(2020绥化)在 RtABC中，C90，若A BAC2，BC8，则AB的长是_答案17解析设 ABx，则 ACx2由勾股定理，得 x2(x2)282解得 x1713（2020江苏徐州）如图，在RtABC中，ABC=90，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF=5，则DE=.AFDCBE（第13题）答案5解析利用
9、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质进行计算，点D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，ABC=90 ，AC=2DE=2BF,BF=5，DE=5.9（2020齐齐哈尔）有两个直角三角形纸板，一个含 45角，另一个含 30角，如图所示叠放，先将含 30角的纸板固定不动，再将含 45角的纸板绕顶点 A 顺时针旋转，使 BCDE，如图所示，则旋转角BAD 的度数为（）A15答案 BB30C45D60解析由平行线的性质可得CFAD90，由外角的性质可求BAD 的度数如图，设 AD与 BC 交于点 F，BCDE，CFAD90，CFAB+BAD60+BAD，BAD304 故选：B13. （2
10、020淮安）已知直角三角形斜边长为 16，则这个直角三角形斜边上的中线长为_.答案812解析根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD= AB，代入求出即可在ACB 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线，AB16，1CD= AB8，2故答案为：818（2020无锡）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=4，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且DB=2AD，AE=3EC，连接 BE，CD，相交于点 O，则ABO 面积最大值为CEOABD8答案3DF BD 2解析过点 D 作 DFAC 交 BE 于 F（如图 1），易得BDFBAE， ，AE=3EC，AE AB 3CO CE 1O
11、D CF 223DF=2EC，COEDOF， ，S SDABC；DAOB点 C 显然在以 AB 为直径的圆弧上运动，AB 中点为 M，当 CMAB 时，即点 C 在圆弧最高处时，122383ABC 面积最大，此时面积为 424，S 4 .DABCCCEOEOFABABDMD图2图 114（2020扬州）九章算术是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高 1 丈（1 丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，试问折断处离地面多高?答：折断处离地面尺高.
12、5 9120答案解析本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10x）尺，根据勾股定理得：x2+32(1091209120=x)2，解得 x 因此本题答案 为12 （ 2020 岳 阳 ） 如 图 ， 在 DRt ABC中 ，是 斜 边 AB 上 的 中 线 ， = 20 ， 则CDABCD =答案701解析在在 D中，CD 是斜边 AB 上的中线，CD = AD = BD = AB ，ACDARt ABC220，BCDACBACD90207015.（2020湖北孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形
13、，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图 2 的图案，记阴影部分的面积为S ,空白部分的面积为S ，大正方形的边长为 m，12n小正方形的边长为 n，若 S = S ，则 的值为_.12m6 （第 15 题 图 1） （第 15 题 图 2）3-12答案.21222S =2x ,由题意可得解得,222n = 31 m,23-1.故答案为.m 215.（2020达州）已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|c 3|+a -8a=41-19，则ABC 的内切2.解析 式子 b+|c 3|+a -8a=41-19 可
14、整理为：（a-4） （21 2） +|c 3|=0，由平方、22二次根式、绝对值的非负性可得：a-4=0 且1 2=0、c 3 = 0，所以 a=4，b=5，c=3，由勾股124，CD3，则 cosDCB 的值为_ADCB答案解析结合直角三角形斜边中线的性质把DCB等量转化到直角三角形中求余弦值在RtABC中，1215“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图所示的RtABC，其中C=90，AB 与 BC 间另有步道 DE 相连，D 在3AB 正中位置，E 地与 C 相距 1 km .若 tanABC= ，DEB=45，小张
15、某天沿 ACEBDA4路线跑一圈，则他跑了7 答案24解析过点 D 作 DFBC，垂足为 F，设 DF= x ，3DEB=45，tanABC= ，4DF 3tanABC=BF 44x 1.DFBC，ACBC，DFAC，CE=1， BC3，34AC 32xtanABC=，解得 x =3，BC 422当小张某天沿 ACEBDA 路线跑一圈时，则他跑了 AC BC AB 6 8 10 24 km 15.（2020安顺）如图，DABC中，点 E 在边，垂直于 BE= EA.FCE = A,F = ABE ，CF=CG,DF=DG.EB=EA，A = ABE ，FCE= F则，FGC= F = 2CBE
16、，即CG=BG=5，则 CD=4.在 RtBDC 中，= 4 +8 = 4 5 .BC228 结 CD 交 BE 于点 O若 AC8，BC6，则 OE 的长是9 5答案11解析在 Rt ABC 中，ACB90，AC8，BC6，根据勾股定理，得 AB AC + BC 22221122112+ BC2 32+ 62 3 5 S BCD BD OG+ BC OH，222418 11 ，OE23BEFGH9 小正方形的顶点上.（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以CD为边的等腰CDG，点G在小正方形的顶点上，且CDG的周长10 + 10 .连接E
17、G，请直接写出线段EG的长.解析本题考查了使用正方形判定等进行尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形尺规作图方法是解题的关键，（1）以A和B为圆心，AB为半径作圆，格点即为点F和点E；（2）因为CDG的周长10 + 10 ，CD10，所以腰长是5，以C或D为圆心，5个格长为半径作圆，格点即为点2 1 522G，最后勾股得出EG答案解：(1)如图所示.5(2)如图所示， EGGFE16（2020贵阳）（8 分）如图，在44 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图中，画一个直角三角形，使它
18、的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数答案解：（1）如图中，ABC 即为所求（2）如图中，ABC 即为所求（3）ABC 即为所求23（2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图 1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证10 明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(
19、2)如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这+ S = S三个图形中面积关系满足S的有个；123如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分S 、S ，直角三角形面积为S ，请判断 S 、S 、S 的关系并证明；别为123123(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”.在如图 9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d
20、，已知1=2=3=，则当 变化时，回答下列问题：(结果可用含 m 的式子表示)+ + + =a2b2c2d2；b 与 c 的关系为，a 与 d 的关系为.11 解析本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法（1）按照教材内容叙述勾股定理的内容；利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于 a、b、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；+ S = S（2）在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明S案为 3；，进而得到答123S 、S 、S ，然后结合勾股定理证明首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出123S + S = S .123（3）首先利用正方形
21、形的面积公式和勾股定理证明正方形 A、B、C、D 的面积和等于正方形 M 的+ + + =m2 .面积，然后代入数值可以得到a2b2c2d2b d f= =a c e利用1=2=3=，得到它们的正切值，再结合勾股定理解方程组可以确定 b=c，a+d=m.a2+ b = c2 .2答案解：(1)如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为 c，那么（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）1 分证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.1c2= ab4 + (b - a)2 ，化
22、简得a2+ b = c2 .2即2在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.1(a + b) = c + ab4a + b = c2 .即22，化简得222在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.111(a + b)(a + b) = ab2 + ca + b = c即2 ，化简得222 .3 分222(2)34 分+ S = S结论 S.5 分1231 ap( )1 b1 cp( )18p( )p (a + b - c + S)S + S =+ S -=证明如下：2222222 22 22 21233a + b = c ， S + S =
23、 S .7 分222123S + S + S + S = S + S = S ，(3)如图所示，由（1）的证明可知：ABCDEFM大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d，+ + + =m2 .a2b2c2d212 答案： 28 分m如图所示，设正方形 E、F 的边长分别为 e、f，b d f= =a c e1=2=3=，.+ + + =a b c d+ =+ =m ， a b e ，c d f ，2222222又2222b=c，a+d=m.答案：b=c，9 分a+d=m.11 分23（2020随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方
24、国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图 1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这S + S = S 的有三个图形中面积关系满足个；12313 S 、S ，如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的
25、面积分别为12、S 、S直角三角形面积为S ，请判断 S的关系并证明；3123(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图 8 所示的“勾股树”.在如图 9 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d，已知1=2=3=，则当 变化时，回答下列问题：(结果可用含 m 的式子表示)+ + + =a2b2c2d2；b 与 c 的关系为，a 与 d 的关系为.解析本题考查了勾股定理及其证明方法、整式的化简、方程组的解法（1）按照教材内容叙述勾股定理的
26、内容；利用各部分图形的面积和等于总面积列出关于a、b、c 的等式，然后化简整理即可得到勾股定理的结论；S + S = S ，进而得到答案为 3；（2）在每个图形中都可以利用各部分图形的面积公式和勾股定理证明123S 、S 、S ，然后结合勾股定理证明S + S = S .首先利用正方形、半圆、等边三角形的面积公式求出123123（3）首先利用正方形形的面积公式和勾股定理证明正方形A、B、C、D 的面积和等于正方形 M 的面积，然后+ + + =m2 .代入数值可以得到a2b2c2d2b d f= =a c e利用1=2=3=，得到它们的正切值，再结合勾股定理解方程组可以确定 b=c，a+d=m
27、.a + b = c .答案解：(1)如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为 c，那么222（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）1 分14 证明：(学生只需写出一种证明方法即可，未写文字说明不扣分)在图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.1c2= ab4 + (b - a)2 ，化简得a2+ b = c2 .2即2在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.1(a + b) = c + ab4a + b = c2 .即22，化简得222在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积
28、的和.111(a + b)(a + b) = ab2 + ca + b = c即2 ，化简得222 .3 分222(2)34 分+ S = S结论 S.5 分1231 ap( )1 b1 cp( )18p( )p (a) + SS + S =+ S -=+ b- c证明如下：2222222 22 22 21233a + b = c ， S + S = S .7 分222123+ S + S + S = S + S = S(3)如图所示，由（1）的证明可知：S，ABCDEFM大正方形 M 的边长为定值 m，四个小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d，+ + + =m2 .a2b2
29、c2d2答案： m2 8 分如图所示，设正方形 E、F 的边长分别为 e、f，b d f= =a c e1=2=3=，.+ + + =a b c d+ =+ =m ， a b e ，c d222222f 2 ，又2222b=c，a+d=m.答案：b=c，9 分a+d=m.11 分15 23（. 2020牡丹江）等腰三角形 ABC 中，ABAC4，BAC45，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，CAD为 90，请画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离.解析根据题目条件先画出相应的图形，分点D 在 AC 的左侧或右侧两种情况讨论，然后根据特殊的45角及相关线段长度，结合等腰直角三角形的性
30、质和勾股定理求出点B 到 CD 的垂线段的长度，即点 B 到 CD 的距离.答案解：本题有两种情况：点 B 到 CD 的距离为 2 2 ；点 B 到 CD 的距离为 4-2 2 .A（每图正确得 1 分，每个答案正确得 2 分）的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画解析 画直角三角形的关键在于利用勾股定理的逆定理，即一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，同时，合理使用格点三角形的特征.（1）显然利用边长为3、4、5 即可画出直角2、2、2 2、2 2、10的特点画直角三角形；（3）可以借助三边长为 画出三角形；（2）可以借助三边长为直角三角形.本题画法不唯一.答案（答案不唯一）（1）答图（2）答图（3）答图