《2019中考数学试题分类汇编 知识点30 直角三角形、勾股定理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019中考数学试题分类汇编 知识点30 直角三角形、勾股定理.doc（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1知识点知识点 3030 直角三角形、勾股定理直角三角形、勾股定理一、选择题一、选择题1.1. （20182018 山东滨州山东滨州，1，3 分）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】A【解析】三角形为直角三角形，三边满足勾股定理，弦为：223 +45【知识点】勾股定理2.2. （20182018 四川泸州，四川泸州，8 8 题，题，3 3 分）分） “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图 3 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若
2、ab=8，大正方形的面积为 25,则小正方形的边长为（ ）A. 9 B.6 C. 4 D.3第 8 题图【答案答案】D】D【解析解析】因为因为 ab=8ab=8，所以三角形的面积为，所以三角形的面积为21ab=4ab=4，则小正方形的面积为，则小正方形的面积为 25-44=925-44=9，边长为，边长为 3 3【知识点知识点】勾股定理，三角形面积，平方根勾股定理，三角形面积，平方根3.3. （20182018 年山东省枣庄市，年山东省枣庄市，1212，3 3 分）分）如图，在ABCRt中，090ACB，ABCD ，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F.若5, 3ABAC，则C
3、E的长为（ ）2A23B34C35D58【答案答案】A】A【思路分析思路分析】在ABCRt中， ABCD ， AF平分CAB，可知 CE=CF，过 F 作 FH 垂直于 AB，FH=CF，在RtFBH 中设 CF=x，利用勾股定理列方程求出 CF 的长，从而得到 CE 的长.【解题过程解题过程】解：解：在ABCRt中， ABCD ，ACD=B，AF平分CAB，CAF=BAF，CEF=CFE，CE=CF，如图，过点 F 作 FGAB，AF平分CAB，CF=FG，AG=AC=3，BG=2，设 CF=FG=x， 5, 3ABAC，BC=4，则 BF=4-x，在 RtFBG 中，2222(4)xx，解
4、得23x，即 CE=CF=23，故选 A.ECABDFG【知识点知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形4.4. （20182018 湖南长沙，湖南长沙，1111 题，题，3 3 分）分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ）A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D
5、.750 平方千米【答案答案】A】A【解析解析】将里换算为米为单位将里换算为米为单位, ,则三角形沙田的三边长为则三角形沙田的三边长为 2.52.5 千米千米,6,6 千米千米,6.5,6.5 千米千米, ,因为因为 2.52.52 2+6+62 2=6.5=6.52 2，所以，所以3这个三角形为直角三角形这个三角形为直角三角形, ,直角边长为直角边长为 2.52.5 千米和千米和 6 6 千米，所以千米，所以 S=S=1 262.5=7.5(62.5=7.5(平方千米平方千米) )，故选，故选 A A【知识点知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积勾股定理的逆定理，三角形面积5.5. (2018
6、 山东青岛中考，6，3 分)如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，BAC=90，点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕 EF 交 BC 于点 F已知3 2EF ，则 BC 的长是（ ）A3 2 2B3 2 C3 D3 3 【答案答案】B】B【解析解析】AB=AC，BAC=90，B=45由折叠的性质可得BEF=90，BFE=45，BE=EF=3 2点 E 为 AB 中点，AB=AC=3在 RtABC 中，BC=22ABAC+=2233+=3 2故选 B【知识点知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；
7、6.6.（20182018 山东省淄博市，山东省淄博市，1212，4 4 分）分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A、B、C的距离分别为 3、4、5，则ABC的面积为（A）9+25 3 4（B）9+25 3 2（C）18+25 3 （D）18+25 3 24图 图 12图 图 图ABCP【答案答案】A】A【思路分析思路分析】将APB绕点A逆时针旋转 60得到AHC，作AICH交CH延长线于点I，则APH为等边三角形，利用已知线段证明PHC为直角三角形，从而得到AHC=150，AHI=30，求得AI、IH，进而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面积公式求出三角形AB
8、C的面积.图 图 12图 图 图 图 图ABCPHI【解题过程解题过程】将APB绕点A逆时针旋转 60得到AHC，作AICH交CH延长线于点I，则APH为等边三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，PC=5，PC2=PH2+CH2，PHC=90，AHI=30，AI=3 2，HI=323，CI=323+4，AC2=（3 2）2+（323+4）2=25+123，SABC=3 4AC2=3 4（25+123）=9+25 3 4.【知识点知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理1.1. （20182018 湖北黄冈，湖北黄冈，5 5 题，题，3 3 分）分）如图，
9、在 RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则 CD=（ ）5A.2 B.3 C.4 D.2 3第 5 题图【答案答案】C】C【解析解析】在 RtABC 中，CE 为 AB 边上的中线，所以 CE=1 2AB=AE，因为 CE=5，AD=2，所以 DE=3，因为 CD 为 AB边上的高，所以在 RtCDE 中，22CDCEDE=4，故选 C【知识点知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理2.2. （20182018 四川凉山州，四川凉山州，3 3，4 4 分）分）如图，数
10、轴上点A对应的数为 2，ABOA于A，且AB1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（ ）A.3 B.2 C.3 D.5 【答案答案】D】D【解析解析】ABOA于A，OAB=90.在RtOAB中，由勾股定理得OB=2222521OAAB.OC=OB=5.故选择 D.【知识点知识点】直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图. .6二、填空题二、填空题1.1. （20182018 年山东省枣庄市，年山东省枣庄市，1515，4 4 分）分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.即：如果一个三角形
11、的三边长分别为cba,，则该三角形的面积为222 2221()42abcsa b，已知ABC的三边长分别为1 , 2 ,5，则ABC的面积为 .【答案答案】1】1【解析解析】方法一：把方法一：把1 , 2 ,5代入三角形的面积得2154 115 4()20 161424s ，故填 1.方法二：由ABC的三边长分别为1 , 2 ,5，根据勾股定理的逆定理得ABC是直角三角形，其面积为12 112 ，故填 1.【知识点知识点】二次根式；勾股定理的逆定理二次根式；勾股定理的逆定理2.2. （20182018 四川省成都市，四川省成都市，1414，4 4）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：分别以
12、点A和C为圆心，以大于1 2AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交CD于点E，若DE2，CE3，则矩形的对角线AC的长为 【答案答案】30【思路分析思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，则有AECE3，在 RtADE中，由勾股定理可以求出AD的长，然后再在 RtADC中用勾股定理求出AC即可【解析解析】解：连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，AECE3，在 RtADE中，2AE2AD72DE，AD22AEDE5，在 RtADC中，2AC2AD2CD，CDDECE5，AC 225530【知识点知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理尺规作图；线段垂
13、直平分线的性质；勾股定理3.3. （20182018 天津市，天津市，1818，3 3）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上.（1）ACB 的大小为 （度） ；（2）在如图所示的网格中，P 是 BC 边上任意一点.A 为中心，取旋转角等于BAC，把点 P 逆时针旋转，点 P 的对应点为 P.当 CP最短时，请用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案答案】90; 如图，取格点 D，E，连接 DE 交 AB 于点 T；取格点 M，N，连接 MN 交 BC 延长线于点 G；取格点F，连接 FG 交 TC 延长线
14、于点 P，则点 P即为所求.8【解析解析】分析：本题考查了勾股定理及其逆定理解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点解：(1)在网格中由勾股定理得：222222222505055AB,3244BC,1833=ACABBCACABC 为直角三角形，ACB=90(2) 如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC延长线于点P，则点P即为所求.【知识点知识点】勾股定理定理及逆定理；格点作图4.4. （20182018 浙江湖州，浙江湖州，1616，4 4）在每个小正方形的边为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点以顶点都是格
15、点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在图 1 所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为65，此时正方形EFGH的面积为 5问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括 5） 【答案答案】9，13 和 49【解析解析】设图中直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b265小正方形的面积为（ab）2只要能把长为a和b的线段在网格中画出来，并且a和b的端点都在格点上即可65 可以写作 64+1 或49+16，所以a，b的值分别
16、为 8，1 或 7，4此时小正方形的面积为 49 或 9图 19另外，长为 13 和 5 的线段也可以在网格中画出，所以 65 还可以写成 52+13 或 45+20，此时a，b的值分别为 213，13和 35，25此时小正方形的面积为 13 和 5小正方形的面积为 9，13 和 49 对应的图形分别为下图的故填 9，13 和 49.【知识点知识点】勾股定理1.1. （20182018 湖北黄冈，湖北黄冈，1313 题，题，3 3 分）分）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm 与蜂蜜相
17、对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）第 13 题图【答案答案】20】20【解析解析】如图，点如图，点 E E 与点与点 A A 关于直线关于直线 l l 对称，连接对称，连接 EBEB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点 B B 做做 BCAEBCAE 于点于点 C C，则，则RtEBCRtEBC 中，中，BC=322=16cmBC=322=16cm，EC=3+14-5=12cmEC=3+14-5=12cm，所以，所以2220EBECBCcm第 13 题解图【知识点知识点】轴对称，勾股定理轴对称，勾股定理2.2. （201
18、8重庆 A 卷，16，4）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到AGE30，若AEEG2 3厘米，则ABC的边BC的长为 厘米 10【答案答案】436 【解析解析】如下图，过点E作EMAG于点M，则由AEEG，得AG2MGAGE30，EG2 3厘米，EM1 2EG3（cm） 在 RtEMG中，由勾股定理，得MG22(2 3)( 3)3（cm） ，从而AG6cm由折叠可知，BEAE2 3（cm） ，GCAG6cmBCBEEGGC2 32 36436（cm） M30FGDCBAE【知识点知识点】翻折；轴对称；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形3.3. （2
19、0182018 江苏淮安，江苏淮安，1515，3 3） 如图，在份 RtABC 中，C=90，AC=3, BC=5,分别以 A、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q,过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是 .(第 15 题）11【答案答案】1.6】1.6【解析解析】本题考查勾股定理和基本作图，连结 AD,由线段的垂直平分线的性质可知 AD=BD,再由勾股定理可求得CD.解：连结 AD由作法可知 AD=BD,在 RtACD 中设 CD=x,则 AD=BD=5-x,AC=3.由勾股定理得，CD2+AC2=AD2即 x2+32=(5-x)2解得 x=
20、1.6故答案为 1.6【知识点】勾股定理；轴对称；线段的垂直平分线；基本作图4.4. （20182018 山东德州，山东德州，1515，4 4 分）分）如图,OC为AOB的平分线，CMOB，5OC ，4OM ，则点C到射线OA的距离为 【答案答案】3 【解析解析】因为CMOB，5OC ，4OM ，所以CM=3，过点C作CMOA于N，又因为OC为AOB的平分线，所以CN= CM=3，即点C到射线OA的距离为 3【知识点知识点】勾股定理，角平分线的性质5.5. （20182018 福建福建 A A 卷，卷，1313，4 4）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 为 AB 的中点，则
21、 CD= _【答案】312【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值.【解析解析】解：在ABC 中，以ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，CD 是 AB 边上的中线，CD=1 2AB=3.【知识点】直角三角形6.6.（20182018 福建福建 A A 卷，卷，1515，4 4）把两个相同大小的含 45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB=2，则 CD=_【答案】3 1-【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AFBC，由“三线合
22、一”及等腰直直角三角形 的性质易求得 AF=CF，在直角三角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决.【解析解析】解：过点 A 作 AFBC，垂足为点 F， AB=AC，CF=1 2BC， AB=AC=2，AD=222BCABAC=+=，CF=1，C=45，AF=CF=1，223DFADAF=-=，3 1CDDFCF=-=-.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理7.7. （20182018 福建福建 B B 卷，卷，1313，4 4）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=6，D 为 AB 的中点，则 CD= _【答案】313【思路分析】根据直角三角形斜边上的
23、中线等于斜边的一半，可得出 CD 的值.【解题过程】解：在ABC 中，以ACB 为直角的直角三角形的斜边 AB=6，CD 是 AB 边上的中线，CD=1 2AB=3.【知识点】直角三角形8.8. （20182018 福建福建 B B 卷，卷，1515，4 4）把两个相同大小的含 45角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，另外三角板的锐角顶点 B、C、D 在同一直线上，若 AB=2，则 CD=_【答案】3 1-【思路分析】首先利用勾股定理计算出 BC、AD 的长，过点 A 作 AFBC，由“三线合一”及等腰直直角三角形 的性质易求得 AF=CF，在直角三
24、角形 ADF 中，再次利用勾股定理计算出 DF 的长度，问题便获得解决.【解析解析】解：过点 A 作 AFBC，垂足为点 F， AB=AC，CF=1 2BC， AB=AC=2，AD=222BCABAC=+=，CF=1，C=45，AF=CF=1，223DFADAF=-=，3 1CDDFCF=-=-.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理9.9.（20182018 湖北省襄阳市，湖北省襄阳市，1515，3 3 分）已知分）已知 CDCD 是是ABCABC 的边的边 ABAB 上的高，若上的高，若 CD=CD=3，AD=1AD=1，AB=2ACAB=2AC，则，则 BCBC 的长的长14为为= = .
25、 .【答案答案】7232或【解析解析】解：分两种情况讨论：解：分两种情况讨论：当当 CDCD 在在ABCABC 内部时，如图内部时，如图在在RtRtACDACD中，由勾股定理得中，由勾股定理得ACAC= =22CDAD=2.=2.ABAB=2=2ACAC=4=4，BDBD= =ABAB- -ADAD=3.=3.在在RtRtBCDBCD中中，由勾股定理得由勾股定理得，BCBC= =22CBCD= =32. .当当CDCD在在ABCABC外部时，如图外部时，如图此时，此时，ABAB=4=4，BDBD= =BABA+ +ADAD=5,=5,在在RtRtABDABD中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，
26、BCBC= =22CBCD= =72. .综上所述，综上所述，BCBC的长为的长为7232或. .故答案为故答案为7232或. .【知识点知识点】勾股定理，分类讨论思想勾股定理，分类讨论思想1510.10. （20182018 广西玉林，广西玉林，1717 题，题，3 3 分）分）如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，A=60，AB=4，则 AD 的取值范围是_第 17 题图【答案答案】2AD8】2AD8【解析解析】由题，由题，A=60A=60，AB=4AB=4，已确定，已确定，ADAD 的长度可以变化，如下图（的长度可以变化，如下图（1 1） ，是，是 ADAD 最短的情况，此时最短的
27、情况，此时AD=ABcos60=2AD=ABcos60=2，如下图（，如下图（2 2） ，是，是 ADAD 最长的情况，此时最长的情况，此时 AD=AB/cos60=8AD=AB/cos60=8，而这两种情况四边形，而这两种情况四边形 ABCDABCD 就变成就变成了三角形，故都不能达到，故了三角形，故都不能达到，故 ADAD 的取值范围是的取值范围是 2AD82AD8第 17 题图（1） 第 17 题图（2）【知识点知识点】动态问题，特殊的三角函数值动态问题，特殊的三角函数值三、解答题三、解答题1.1. （20182018 四川广安，题号四川广安，题号 2424，分值，分值 8 8） 下面有
28、 4 张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边为 4，面积为 6 的直角三角形.16（2）画一个底边为 4，面积为 8 的等腰三角形.（3）画一个面积为 5 的等腰直角三角形.（4）画一个边长为 2，面积为 6 的等腰三角形.2第 24 题图【思路分析思路分析】对于（1） ，根据面积公式求出两条直角边即可画出图形；对于（2） ，根据面积公式求出底边上的高，再画出图形即可；对于（3） ，根据面积公式求出直角边，即可画出图形；对于（4）根据腰长为 2不成立
29、，可知以 2为底边，再求出底边上的高，可画出图形.22【解题过程解题过程】如图所示.（1）直角边为 4，3 的直角三角形；.2 分（2）底边为 4，底边上的高为 4 的等腰三角形；.4 分（3）直角边为的等腰直角三角形；.6 分10（4）底边为 2，底边上的高为 3的等腰三角形8 分22第 24 题答图【知识点知识点】勾股定理，三角形的面积1.1. （20182018 湖北荆门，湖北荆门，1919，9 9 分）分） 如图，在Rt ABC中，90ACB，30BAC，E为AB边的中点，17以BE为边作等边BDE，连接AD，CD.（1）求证：ADECDB；（2）若3BC ，在AC边上找一点H，使得B
30、HEH最小，并求出这个最小值.【思路分析思路分析】 （1）首先根据 E 为 AB 边的中点可得 BC=AE，根据DEB 为等边三角形可得 DB=DE，DEA=DBC，然后根据全等三角形的判定即可证明出结论；（2）作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H，由作图可知：EH+BH=BE，根据勾股定理计算即可.【解题过程解题过程】 （1）证明：在 RtABC 中，BAC=30，E 为 AB 边为中点，BC=EA，ABC=60.DEB 为等边三角形，DB=DE，DEB=DBE=60，DEA=120，DBC=120，DEA=DBC，ADECDB.（2）解：如图，作点 E 关于直线 AC 对称点 E，连接 BE交 AC 于点 H.则点 H 即为符合条件的点.由作图可知：EH+BH=BE，AE=AE，EAC=BAC=30，EAE=60，EAE为等边三角形，EE=EA=21AB，18AEB=90，在 RtABC 中，BAC=30，BC=3，AB=23，AE=AE=3，BE=2222)3()32( AEAB=3，BH+EH 的最小值为 3.【知识点知识点】等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用轴对称作图，勾股定理