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1、三角函数的图像与性质1. 在(0,)上递减；以2为周期；是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y=-sinx2.（2009东海高级中学高三调研）将函数y=sin的图象先向左平移,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y=sin3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 .答案 54.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 5.（2008全国理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx
2、的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 .答案 例1 求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为x|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1,OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在0，2内，满足sinx=cosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二
3、 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则x（在0，2内）.定义域为方法三 sinx-cosx=sin0，将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定义域为.例2 求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2si
4、nxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),从而知：f(-1)yf(2),即-1y+.即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1该函数值域为-2，2.例3 （14分）求函数y=2sin的单调区间.解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的递增、递减区间分别为（kZ), (kZ),4分函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k+x-2k+（kZ),即2k+x2k+（kZ),8分
5、2k-x-2k+（kZ),即2k-x2k+（kZ).12分函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为（kZ),（kZ).14分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的.2分又u=为减函数，由2k-u2k+（kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即（kZ）为y=2sin的递减区间.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k-x-2k- (kZ),即（kZ)为y=2sin的递增区间.12分综上可知：y=2sin的递增区间为（kZ）；递减区间为（kZ）. 14分 1.求f(x)=的定义域和值域.解 由函数1-cos0,得sinx,利用单位圆或三角函数
6、的图象，易得所求函数的定义域是Z .当sinx=cos=时，ymin=0;当sinx=cos=-1时，ymax=.所以函数的值域为0，.2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x0，得2xk+，解得x（kZ）.所以f(x）的定义域为R Z .又f（x)= =cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，f（x）是偶函数.显然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函数的值域为.3.（1）求函数y=sin的单调递减区间；（2）求y=3tan的周期及单调区间.解 （1）方法一 令u=,y=sinu，利用复合函数单调性，由2k-2x+2
7、k+(kZ),得2k-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为 (kZ).方法二 由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin的单调递增区间.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函数的单调递减区间为（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期为4.由k-k+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的单调增区间是(kZ）y=3tan的单调递减区间是 (kZ).一、填空题1.已知函数y=tanx在内是减函数,则的范围是 .答案 -102.（2009徐州模拟）函数f(x)=sinx-
8、cosx (x-，0)的单调递增区间是 .答案 3.函数f(x)=tanx (0)的图象的相邻的两支截直线y=所得线段长为,则f（）的值是 .答案 04.函数y=2sin（-2x）(x0，)为增函数的区间是 .答案 5.函数f(x)=lg(sin2x+cos2x-1)的定义域是 .答案 6.给出下列命题：函数y=cos是奇函数；存在实数,使得sin+cos=;若、是第一象限角且,则tantan;x=是函数y=sin的一条对称轴方程；函数y=sin的图象关于点成中心对称图形.其中命题正确的是 （填序号）.答案 7.（2008江苏，1）f(x)=cos(x-)最小正周期为，其中0，则= .答案 1
9、08.（2009东海高级中学高三调研）定义在R上的函数f(x):当sinxcosx时，f(x)=cosx;当sinxcosx时，f(x)=sinx.给出以下结论：f(x)是周期函数f(x)的最小值为-1当且仅当x=2k (kZ)时，f(x)取最大值当且仅当2k-x(2k+1)(kZ)时，f(x)0f(x)的图象上相邻最低点的距离是2.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)答案 二、解答题9.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，试求参数m的取值范围.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函数y=cosx的图象（如图所示），由图象可得1,解得m-3.10
10、.设a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=ab.（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知常数0，若y=f(x)在区间上是增函数，求的取值范围；（3）设集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求实数m的取值范围.解 （1）f(x)=sin24sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)=4sinx+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x)的增区间是,kZ.f（x）在上是增函数，.-且,.（3）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(
11、x)-2mf(x)+2.AB，当x时，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f（x）max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.11.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是,且当x时，f（x）=sinx.（1）求当x-，0时，f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)在-，上的函数简图；（3）求当f(x)时，x的取值范围.解 （1）f(x)是偶函数，f（-x）=f（x）.而当x时，f(x)=sinx.当x时，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x时，x+，f（x）的周期为，f（x）=f
12、(+x)=sin(+x)=-sinx.当x-,0时，f(x)=-sinx.（2）如图：（3）由于f(x）的最小正周期为,因此先在-，0上来研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，当x,kZ时，f(x).12.已知a0，函数f(x)=-2asin+2a+b,当x时，-5f(x)1.（1）求常数a,b的值；(2)设g(x)=f且lg g(x)0,求g(x)的单调区间.解 （1）x，2x+.sin，-2asin-2a,a.f(x)b,3a+b,又-5f(x)1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.（2）由（1）知a=2,b=-5,f（x）=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)0得g(x)1,4sin-11,sin,2k+2x+2k+,kZ.由2k+2x+2k+(kZ),得g(x)的单调增区间为：（kZ）由2k+2x+2k+,得g(x)的单调减区间为（kZ）.