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1、计算机图形学计算机图形学青岛农业大学 小结小结r介绍了图形变换和投影中的若干问题：介绍了图形变换和投影中的若干问题：q图形变换的基本描述图形变换的基本描述 q图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示 q投影变换（深度）和投影视图投影变换（深度）和投影视图 q透视变换透视变换 青岛农业大学图形变换的基本描述图形变换的基本描述r所有的变换均基于点的变换；所有的变换均基于点的变换；r采采用用向向量量、矩矩阵阵和和齐齐次次坐坐标标的的形形式式来来描描述述图图形形的的变变换换十十分方便；分方便；r一一个个普普通通坐坐标标的的点点P=(Px,Py,Pz)，有有对对应应的的一一族族齐齐次次坐标坐标(wPx,
2、wPy,wPz,w)，其中，其中w不等于零。不等于零。r把把一一个个点点从从普普通通坐坐标标变变成成齐齐次次坐坐标标，给给x,y,z乘乘上上同同一一个个非零数非零数w，然后增加第，然后增加第4个分量个分量w；r如如果果把把一一个个齐齐次次坐坐标标转转换换成成普普通通坐坐标标，把把前前三三个个坐坐标标同同时除以第时除以第4个坐标，然后去掉第个坐标，然后去掉第4个分量。个分量。青岛农业大学图形变换的基本描述图形变换的基本描述n三维齐次坐标有三维齐次坐标有_个分量。个分量。A A、2 2B B、3 3C C、4 4D D、5 5n写出下列齐次坐标表示的二维坐标。写出下列齐次坐标表示的二维坐标。（6
3、6，18 18，3 3），（），（5 5，8 8，1 1），（），（4 4，6 6，8 8）青岛农业大学二维基本变换二维基本变换5 5种二维基本变换的变换矩阵都可以用如下的种二维基本变换的变换矩阵都可以用如下的3*33*3矩阵来描述：矩阵来描述：（1 1）左上角的）左上角的2*22*2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种子块可实现比例、旋转、对称、错切四种 基本变换；基本变换；（2 2）左下角的）左下角的1*21*2子块可实现平移变换；子块可实现平移变换；（3 3）右上角的）右上角的2*12*1子块可实现投影变换；子块可实现投影变换；（4 4）右下角的）右下角的1*11*1子块可实现整体比例变
4、换。子块可实现整体比例变换。青岛农业大学二维基本变换二维基本变换青岛农业大学二维基本变换二维基本变换青岛农业大学二维基本变换二维基本变换青岛农业大学二维基本变换二维基本变换1 1、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵：、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵：（1 1）整个图形放大）整个图形放大2 2倍。倍。（2 2）x x向放大向放大3 3倍，倍，y y向放大向放大4 4倍。倍。（3 3）y y方向上移方向上移1010个单位，个单位，x x方向上右移方向上右移5 5个单位。个单位。（4 4）对称于）对称于-45-45线的坐标变换线的坐标变换（5 5）图形绕原点顺时针旋转）图形绕原点顺时针旋转90 90
5、 青岛农业大学三维基本变换三维基本变换旋转、比例、错切、对称透视投影总体比例平移青岛农业大学三维基本变换三维基本变换1、二维变换中绕原点的旋转相当于三维变换中绕_轴旋转。A、XB、YC、ZD、以上都不是青岛农业大学图形变换的几何化表示图形变换的几何化表示 根根据据仿仿射射变变换换理理论论，从从几几何何计计算算的的理理论论和和算算法法出出发发，探探索索了了图图形形变变换换的的几几何何化化表表示示机制：机制：q用用有有向向直直线线的的求求解解系系列列函函数数构构筑筑图图形形变变换换齐齐次次矩阵；矩阵；q将图形变换与基本几何有机地联系在一起；将图形变换与基本几何有机地联系在一起；q统统一一了了平平移
6、移、旋旋转转、错错切切、对对称称和和比比例例等等坐坐标标变换。变换。青岛农业大学二维组合变换二维组合变换1 1、已知三角形各顶点坐标为（、已知三角形各顶点坐标为（1010，1010），（），（1010，3030），（），（3030，1515），），试对其进行下列变换，写出变换矩阵，画出变换后的图形。试对其进行下列变换，写出变换矩阵，画出变换后的图形。（1 1）沿）沿X X向平移向平移2020，沿，沿Y Y向平移向平移1515，再绕原点旋转，再绕原点旋转9090度度（2 2）绕原点旋转）绕原点旋转9090度，再沿度，再沿X X向平移向平移2020，沿，沿Y Y轴平移轴平移15152、如下图所示三
7、角形、如下图所示三角形ABC，将其关于，将其关于A点逆时针旋转点逆时针旋转60度，写出度，写出其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。青岛农业大学二维组合变换二维组合变换3 3、已知三角形已知三角形ABC各顶点的坐标各顶点的坐标A(3,2)、B(5,5)、C(4,5)，相对，相对直线直线P1P2(线段的坐标分别为：线段的坐标分别为：P1(-3,-2)、P2(2,3)做对称做对称变换后到达变换后到达A、B、C。试计算。试计算A、B、C的坐标值。（要求用的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）4、求以直线
8、、求以直线L作为对称轴的对称变换矩阵。作为对称轴的对称变换矩阵。LPPxy0B(0,b)青岛农业大学二维组合变换二维组合变换青岛农业大学投影变换投影变换1 1、将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的、将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的 过程称为过程称为投影变换投影变换。2 2、根据、根据视点的远近视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心（观察点）与投影平面之间的距离为当投影中心（观察点）与投影平面之间的距离为无无 穷远时穷远时，为，为平行投影平行投影，否则为透视投影。，否则为透视投影。青岛农业大学轴测变换轴测变换轴向变形系数下的轴测变换矩
9、阵：轴向变形系数下的轴测变换矩阵：用轴间角表示的轴测变换矩阵：用轴间角表示的轴测变换矩阵：物物体体和和连连同同确确定定它它的的空空间间直直角角坐坐标标系系,沿沿不不平平行行于于任任一一坐坐标标面面的的方方向向,用用平平行行投投影影法法投投影影到到单单一一投投影影面面上上，在在投投影影面面上上得得到到的的立立体体感感图图形形的的过过程程称称为为轴轴测变换测变换。青岛农业大学透视变换透视变换 透透视视变变换换的的基基本本原原理理：与与画画面面成成一一角角度度的的平平行行线线簇簇经经透透视变换后交于视变换后交于灭点灭点。青岛农业大学透视变换透视变换 不不与与投投影影面面平平行行的的任任一一组组平平行
10、行线线投投影影后后收收敛敛于于一一点点，此此点称为点称为灭点灭点 一般说来，一般说来，三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点。平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为为主主灭点灭点。主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。1、透视投影中主灭点最多可以有_个。A、0B、1C、2D、3青岛农业大学灭点的求取灭点的求取1 1、灭点可以看作是无穷远点经透视变换后得到的点；、灭点可以
11、看作是无穷远点经透视变换后得到的点；2 2、齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单位矩、齐次坐标系中沿坐标轴三个方向的无穷远点是单位矩 阵阵E E的前三行构成的向量；的前三行构成的向量；3 3、对单位阵、对单位阵E E实施透视变换就可以进行灭点的求取。实施透视变换就可以进行灭点的求取。一灭点的求取一灭点的求取青岛农业大学把单位立方体绕把单位立方体绕y y轴旋转轴旋转y y角，然后进行投影变换，则角，然后进行投影变换，则平行于平行于x轴的向量将在投影面轴的向量将在投影面xoy上有灭点：上有灭点：平行于平行于z轴的向量将在投影面轴的向量将在投影面xoy上有灭点：上有灭点：二灭点的求取二灭点的求取青岛农业大学r将物体绕将物体绕x轴转轴转 x角角(Rx)，绕，绕y轴转轴转 y角角(Ry)，再施以变，再施以变换换Pz即得三灭点透视，变换为：即得三灭点透视，变换为：三灭点的求取三灭点的求取规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于规格化矩阵的前三行，即得原来分别平行于x，y，z轴的向量轴的向量经变换后的投影分别交于三个灭点：经变换后的投影分别交于三个灭点：青岛农业大学谢谢观看！谢谢观看！