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1、五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望向量的内积和正交化矩阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化 回忆回忆:1 向量的内积和正交化向量的内积和正交化推广到实数域推广到实数域R上的上的n维实向量空间维实向量空间定义定义1 1内积内积说明说明 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义内积的运算性质内积的运算性质(施瓦兹不等式）当
2、当 时上式显然成立时上式显然成立当当 时，时，证毕证毕定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量长度具有以下性质向量长度具有以下性质（1）非负性）非负性只有当只有当 时时（2）齐次性）齐次性（3）三角不等式）三角不等式证明：证明：根据内积的性质有根据内积的性质有根据施瓦兹不等式，有根据施瓦兹不等式，有从而从而即即当当 时，时，即即定义定义3 3注注：零向量与任何向量都正交零向量与任何向量都正交.定义定义4 4定义定义5 5 若一非零向量组中的向量两两正交，若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组。定理定理1 1 若若 是正交向量组，则该是正交向量组，则该向
3、量组线性无关。向量组线性无关。设设由于对于任意向量由于对于任意向量则则即即由于由于 是一正交向量组，是一正交向量组，故当故当 时，时，因此有因此有又因为又因为所以所以故故 线性无关线性无关定义定义6 6 设设n维向量维向量 是向量空间是向量空间 的一组基，如果的一组基，如果 两两两正交，且都是单位向量，则称其为标准两正交，且都是单位向量，则称其为标准正交基。正交基。例如例如 同理可知同理可知基基 正交基正交基 标准正交基标准正交基（1）正交化正交化，取，取 ，（2）单位化单位化，取，取例例1 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组标准正交化标准正交化.解解 先先正交化正交化，
4、令令施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化，得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下例例2解解把基础解系正交化，即为所求令把基础解系正交化，即为所求令定义定义7 7定理定理3 3 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列(行行)向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交由此可知由此可知A的列向量组构成的列向量组构成 的的 一个标准正交基。一个标准正交基。同样的方法，行向量组也是。同样的方法，行向量组也是。例例3 3 判别下列矩阵是否为正交矩阵判别下列矩阵是否为正交矩阵解解 （2）由于）由于所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵定理定理2 2例例3 设设都是都是阶阶正
5、交矩正交矩阵阵，且，且，求，求 提示：此法为提示：此法为 定义法，利用定理定义法，利用定理3如何证明？如何证明？解解 由由，可知，可知，于是，于是所以所以2 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量应当注意，根据定义特征向量不能是零向量应当注意，根据定义特征向量不能是零向量给定矩阵给定矩阵A，如何求，如何求A的特征值和特征向量呢？的特征值和特征向量呢？设该齐设该齐次次线线性方程性方程组组的解空的解空间为间为中的任一非零向量都是中的任一非零向量都是 的属于的的属于的 特征向量。特征向量。称为关于称为关于 的的 属于特征值属于特征值 的的特征子空间特征子空间根据齐次线性方程组有非零解的条件可知
6、，根据齐次线性方程组有非零解的条件可知，中就含有非零解向量中就含有非零解向量 的特征方程的特征方程的特征多项式的特征多项式特征多项式展开为特征多项式展开为 我们知道次复系数多项式有次复系数多项式有 个且恰有个且恰有 个个根（重根按重数根（重根按重数计计算），故算），故阶方阵有阶方阵有 个复特征个复特征值值设设 的的 个特征根（重根按重数计算）为个特征根（重根按重数计算）为 则有则有将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：将该式展开，然后与上式比较系数，即可得：从上式（）可看出：从上式（）可看出：，有特征有特征值值的充分必要条件是的充分必要条件是 另外从特征值的定义可知，另外从特征值的定义可知，
7、对角矩阵的特征值就是它的主对角线上对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的所有元素的所有元素若若 的特征值是的特征值是 ，是是 的属于的属于 的特征向量，的特征向量，则则的特征值是的特征值是是任意常数是任意常数)的特征值是的特征值是是正整数是正整数)若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于 的特征向量。的特征向量。特征值还有如下特征值还有如下特征值还有如下特征值还有如下性质：性质：？为为x的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 (5)方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。(6
8、)矩阵矩阵 和和 的特征值相同。的特征值相同。求特征值、特征向量的步骤求特征值、特征向量的步骤：求齐次线性方程组求齐次线性方程组的一个基础解系的一个基础解系即可求出特征值即可求出特征值 ;写出特征方程写出特征方程求其所有的求其所有的 根，根，所以，所以，A的特征值为的特征值为按照同样的方法：按照同样的方法：特点：特点：（1）是代数方程，复数内有个根，是代数方程，复数内有个根，有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。有实有虚。实根对应实向量，虚根对应复向量。(2)的特征向量只属于一个特征值的特征向量只属于一个特征值 ，而而 属于属于 的的 特征向量却有无数更多个。特征向量却有无数更多个。3 相
9、似矩阵相似矩阵矩阵的相似有以下关系：矩阵的相似有以下关系：1）反身性；）反身性；2）对称性；）对称性；3）传递性。）传递性。矩阵相似的性质：矩阵相似的性质：4）若）若 与与 相似，则相似，则注：注：1）定理）定理5的的 条件必要但不充分。条件必要但不充分。2）若两个矩阵特征值不）若两个矩阵特征值不 相同时，则其一定不相似。相同时，则其一定不相似。3）设）设为他们的为他们的 某个特征值，某个特征值，为为 关于关于 的特征向量，的特征向量，则则 为为 的的 关于关于 的特征向量的特征向量.利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的的多项式多项式 .证明：证明：证毕。证毕
10、。说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例1 1所以，所以，A的特征值为的特征值为所以所以 可对角化可对角化.注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应问问 为何值时，矩阵为何值时，矩阵 能对角化？能对角化？例例有有2个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量时时，矩阵矩阵 能对角化。能对角化。解解例例且且 与与 相似，求相似，求 的值。的值。因为因为 与与 相似，相似，所以它们有所以它们有 相同的相同的 特征值特
11、征值2，2，b，解解把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算把一个矩阵化为对角矩阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。简化，而且在理论和应用上都有意义。1.由特征值、特征向量求矩阵由特征值、特征向量求矩阵例例2：已知方阵：已知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是令令分析：分析：2.求方阵的幂求方阵的幂例例4：设设 求求解：解：定理定理实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.4 实对称矩阵的对角化证明证明于是于是证明证明它们的重数分别为它们的重数分别为设设 的互不相同的特征值为的互不相同的特征值为又对应于不同特征值的特征向量正交，又对应于不同特
12、征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则例例 设设求正交矩阵求正交矩阵，使，使-1为对角矩阵。为对角矩阵。解解 显然显然A=A。故一定存在正交矩阵。故一定存在正交矩阵，使，使-1A为对角矩阵。为对角矩阵。求得一基础解系为求得一基础解系为正交化，令正交化，令再单位化，令再单位化，令求得一基础解系为求得一基础解系为只有一个向量，只要单位化，得只有一个向量，只要单位化，得，则有，则有例例2设设3阶实对阶实对称矩称矩阵阵 的特征值为的特征值为 对应对应 的特征向量依次为的特征向量依次为求求与与 正交正交 单位化，单位化，得正交阵得正交阵则则解解