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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【2022 考研必备资料】高等数学学问点归纳第一讲 : 极限与连续 一. 数列函数 : 1. 类型 : 1数列: *anf n ;*a n1f annF x f x , x xx 0;* 2初等函数 : 3分段函数 : *F x f1 ,xx 0; *f2 xx 0ax 0 4复合 含 函数: yf u ,u ,x 5隐式 方程: F x y , 0参式 数一, 二: xx t 6yy t 7变限积分函数 : F x xf x t dta 8级数和函数 数一 , 三: S x a xn0 2. 特点 几何 : 1 单调性与有界性 判别 ; f
2、x 单调x 0, xx 0f x f x 0定号 2 奇偶性与周期性 应用 . 3. 反函数与直接函数 : yf x xf1 yf1 二. 极限性质 : 1. 类型 : *lim na ;*lim xf x 含x;*x lim xf x 含 0xx0 2. 无穷小与无穷大 注: 无穷量 : 3. 未定型 : 0 , 0, 1 , 00 , 0 ,0 4. 性质 : *有界性 , *保号性 , *归并性三. 常用结论 : n11, a1a01, anbnn c1max , , a b c , ana00nnnn.1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 -
3、 - - - - - - - - 1 xx0, lim x 0x x1, x limxn0, x limlnnx0, exxlim x 0xlnnx0,e x0 ,xx四. 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当u x 0时, u2 ; ; sinu x :u x ; tan :u x ;1cos :12u x e1:u x ; ln1u x :u x ; 1u x 1:u x arcsinu x :u x ; arctan :u x 2. 泰勒公式 : 1ex1x1x2o x2; , 00 , 0 ,0; 2变量代换2. 2ln1xx1x2o x2; 23sinxx1x3o x4; 3. 4
4、cosx112 x1x4o x5; 2.4.51x 1x2.1x2o x2. 五. 常规方法 : 前提: 1精确判定0 , 0,1 ,M 其它如 : 如:1 xt 1,x x , , maxf x 1. 抓大弃小 , 2. 无穷小与有界量乘积 M 注:sin1x 3. 处理 其它如 :0 0 ,0 分段函数 : 4. 左右极限 包括 x: 11 xx0; 2exx;1x0; 3e x 5. 无穷小等价替换 因式中的无穷小 注: 非零因子 6. 洛必达法就2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 先” 处理”, 后法
5、就 0 0最终方法 ; 留意对比 : lim x 1xlnx与lim x 0xlnx 1x1x2 幂指型处理 : u x v xev x lnu x 如: e1111e x1111 xe xexx3 含变限积分 ; 4 不能用与不便用 7. 泰勒公式 皮亚诺余项 : 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f x limn F x n 分段函数 六. 特别手段 1. 收敛准就 : 1anf n lim xf x a.f 0. 2双边夹 : *b nanc n., *b cn 3单边挤 : an1f an*a 2a 1. *a nM. *f, 2. 导数定义 洛必达 .:V lim x0Vffx
6、01 0f x dxV x 3. 积分和 :lim n1f1 nf2Lfnnnn 4. 中值定理 : lim xfxaf x alim x 5. 级数和 数一三 : 1ana 收敛a nlim na n0, 如lim n2nn.2lim na 1a2Lann1a n, nnn13 与an1同敛散n1七. 常见应用 : 1. 无穷小比较 等价 , 阶: *f x :kxn,x0.axnxn:axn1f0f0Lfn10f x 0,f 0an.n. 2xf t dt:xn kt dt002. 渐近线 含斜 : 1 a lim x f x x , b lim x f x ax f x : ax b2
7、f x ax b ,1 0 x 3. 连续性 : 1 间断点判别 个数 ; 2 分段函数连续性 附: 极限函数 , f x 连续性 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 八. , a b 上连续函数性质 1. 连通性 :f , m M 注:01, “ 平均”f b 值:f a 1fx 0 2. 介值定理 : 附: 达布定理 1零点存在定理 : f a f b 00f x 00 根的个数 ; f x dx . f x 0x 2a其次讲 : 导数及应用 一元 含中值定理 一. 基本概念 : 1. 差商与导数 : f V
8、 lim x 0 f x VV xx f x ; f x 0 lim x x 0 f x x x f x0 0 1 f 0 lim x 0 f x x f 0 注: lim x 0 f x x A f 连续 f 0 0, f 0 A 2 左右导 : f x 0 , f x 0 ; 3 可导与连续 ; 在 x 0 处, x 连续不行导 ; x x 可导 2. 微分与导数 : V f f x V x f x f V x o V x df f x dx 1 可微可导 ; 2 比较 f , df 与 0 的大小比较 图示 ; 二. 求导预备 : 1. 基本初等函数求导公式 ; 注: f x 反函数dx
9、12. 法就 : 1四就运算 ; 2复合法就 ; 3dyy三. 各类求导 方法步骤 : 1. 定义导 : 1f a 与f x a; 2f分段函数左右导 ; 3lim h 0f xh hf xh, 求:fx 0, x 及f x 的连续性 xx 0 注: f x F x ,axx 0 2. 初等导 公式加法就 : 1uf g x , 求:u x0 图形题 ; 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2F x xf t dt , 求:F x 注: axf x t dt, bf x t dt, bf t dt 及fx0 待定
10、系数 aaa 3yf1 , xx 0, 求fx0,fx 0f2xx 03. 隐式 f x y0 导:dy,2 d ydxdx21 存在定理 ; 2 微分法 一阶微分的形式不变性 . 3 对数求导法 . 4. 参式导 数一, 二: xx t , 求:dy,2 d ycosax2n anfn 0yy t dx2dx 5. 高阶导fn x 公式 : eaxnn axa e;a1 an b n.n1; bxbxansinax ansinax2n ; cosax uv unv1 C un1v2 C un2vLa x 2La xnL注: f 0与泰勒展式 : f x a 0a xn.四. 各类应用 : 1
11、. 斜率与切线 法线; 区分: yf x 上点和过点的切线 2. 物理 : 相对 变化率速度 ; 3. 曲率 数一二 : 1f 3 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 f2 4. 边际与弹性 数三 : 附: 需求, 收益, 成本, 利润 五. 单调性与极值 必求导 1. 判别 驻点fx 00: f 0f x ; 1f 0f x Z ; f 0 2分段函数的单调性驻点唯独 必为极值 , 最值 . 3f 0零点唯独 ; 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 极值点 : 1表格 f x 变号; 由lim x x 0
12、f 0, lim x x0f 0, lim x x 0f 0x0xxx2的特点 2二阶导 fx 00 0注1 与f,f的匹配 图形中包含的信息 ; 2实例: 由f x f x g x 确定点“xx ” 的特点 . 3 闭域上最值 应用例 : 与定积分几何应用相结合, 求最优 3. 不等式证明 f x 0 1区分 : *单变量与双变量 . *x , a b 与x ,x,. 2类型 : *f0,f a 0; *f0,f b 0 *f0,f a ,f b 0; *f 0,fx 00,f x 0 3留意 : 单调性端点值极值凹凸性. 如: f x Mfmax M 4. 函数的零点个数 : 单调介值六.
13、 凹凸与拐点 必求导 .: 1. y表格;fx 00 单调 ; 3凹凸 . 2. 应用 : 1泰勒估量 ; 2七. 罗尔定理与帮助函数 : 注: 最值点必为驻点 1. 结论 : F b F a F f 0 2. 帮助函数构造实例 : 1f F x xf t dt0F x ef x g x a2f f g f g 0F x f x 3fg x 4f f 01F x x dxf x ; 0f x 有n3. f个零点fn1 x 有个零点6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 特例 : 证明f a 的常规方法 : 令F
14、 x f x P n x 有n1个零点P n x 待定 cf ,f , , a b , 5. 注: 含1,2时, 分家 . 柯西定理 6. 附 达布定理 : f x 在 , a b 可导 ,使:f c八. 拉格朗日中值定理 1. 结论 : f b f a f ba ; x02,f 0 03; 2. 估量 : Vff Vxx1 xx九. 泰勒公式 连接f,f,f之间的桥梁 fx0xx01fx 01. 结论 : f x fx 02.3.2. 应用 : 在已知f a 或f b 值时进行积分估量十. 积分中值定理 附: 广义 : 第三讲 : 一元积分学 一. 基本概念 : 1. 原函数 F x : 注
15、: 有定积分 不含变限 条件时使用 1F f x ; 2f x dxdF x ; 3f x dxF x c注1F x xf t dt 连续不肯定可导 ; a2xxt f t dtxf t dtf x f x 连续 aa 2. 不定积分性质 : 1 ff x dxf x ; df x dx f x dx2 x dxf x c ;df f x c二. 不定积分常规方法 1. 熟识基本积分公式 2. 基本方法 : 拆 线性性 k f x k g x dxk 1f x dxk21g x dx2 cosx 3. 凑微法 基础: 要求巧 , 简, 活sin2x7 名师归纳总结 - - - - - - -第
16、 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如: dx1d axb,xdx1dx2,dxdlnx,dx2dxa2xx1xx2dxd1x2,1lnx dxd x lnx 4. 变量代换 : 1 常用 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 : xxsin ,axbt,1t,ex1tx2 作用与引伸 化简: x21t 5. 分部积分 巧用: 1 含需求导的被积函数 如 ln ,arctan ,xf t dt ; f F x a 2 “ 反对幂三指”: n axx e dx,xnlnxdx,3 特殊 : xf x dx * 已知f x 的原函数为F x ; *已知6. 特例
17、: 1a 1sinxb 1 cos xdxb cos x; 2kx p x e dx,p x sinaxdx 快速法 ; asinx3v x dx nu 三. 定积分 : 1. 概念性质 : 1 积分和式 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 2 几何意义 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 *0 aax x dx a 208 a; * a b x a2 b dx 0b b b 3 附: af x dx M b a , a f x g x dx M a g x dx 4 定积分与变限积分 , 反常积分的区分联系与侧重x2: 变限积分 a f t dt 的处理 重点 1 可积
18、 连续 , 连续 可导x x x 2 af t dt f x ; a x t f t dt a f t dt ; xaf x dt x a f x x 3 由函数 F x a f t dt 参加的求导 , 极限 , 极值, 积分 方程 问题b3. N L 公式: af x dx F b F a F x 在 , a b 上必需连续 . 注: 1 分段积分 , 对称性 奇偶, 周期性8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 有理式 , 三角式 , 根式 3含b af t dt 的方程 . 41xdx 4. 变量代换 :
19、b af x dxf u t u t dt1af x dxaf ax dx xat , 00 2af x dxafx dx xtaf x fx dx 如:aa041 sin 3In02sinnxdxnn1In2, sin x dx, 42fsin x dx2fcos x dx ; 0fsin x dx22f000 50xfsinx dx20fsinx dx , 5. 分部积分 1预备时“ 凑常数”2 已知f x 或f x x时, 求b af x dxa 6. 附: 三角函数系的正交性 : 2sinnxdx2cos nxdx2sinnxcosmxdx00002sinnxsinmxdx2cos n
20、xcos mxdx nm 0002sin2nxdx22 cosnxdx00四. 反常积分 : a 1. 类型 : 1 a f x dx , f x dx , f x dx f x 连续 b 2 af x dx : f x 在 x a , x b , x c a c b 处为无穷间断 2. 敛散 ; 3. 运算 : 积分法 N L 公式极限 可换元与分部 4. 特例 : 1 1 x 1pdx ; 2 0 1x 1pdx五. 应用 : 柱体侧面积除外 1. 面积 , 1Sbf x g x dx 2Sdf1 y dy ; f x 1f2 x dxac 3S1r2 d; 4侧面积 :Sb22a 2.
21、体积 : 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1V xbf2 g2 x dx; 2Vydf1 2dy2bxf x dxaca 3V x x 0与Vy y 0dx 2dy2b21xf2 x dxd 3. 弧长 : ds 1yf x ,x , sa 2x yx t ,y t tt t 2sts 2y 2 t dtt 1,: r2 r2 3rr , 4. 物理 数一 , 二 功, 引力 , 水压力 , 质心 , 5. 平均值 中值定理 : 1f a b , b1bf x dx; fTf t dt aa 2f0x lim
22、x 0f t dt, 以为周期 :0xT第四讲 : 微分方程 一. 基本概念 1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 注: 应用题中的隐含条件 2. 变换方程 : 1令xux t yDy 如欧拉方程 令u x yy 2y x u , y 如伯努利方程 3. 建立方程 应用题 的才能 二. 一阶方程 : 1. 形式 : 1yf x y ; 2M x y dxN x y dy0; 3y 0y a b 2. 变量分别型 : yf x g y C 1解法 : dyf x dxG y F x g y 2 “ 偏” 微分方程 : zf x y; x1xM x q x dx 3. 一阶线性 重点: yp
23、x yq x 1 解法 积分因子法 : M x exp x dxyx0M x x 010 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2变化 : xp y xq y ; 3 推广 : 伯努利 数一 yp x yq x y0dxNMxdu 4. 齐次方程 : yyx 1解法 : uyuxu ,x ux2 特例 : dya xb yc 1dxa xb yc2N x y dy且 5. 全微分方程 数一 : M x y dxxydUMdxNdyUC0y xcax 6. 一阶差分方程 数三 : yx1ayxx b p x * y x
24、n x Q x b三. 二阶降阶方程 1. yf x : yF x c xc 2ydp dxf x p 2. yf x y: 令yp x 3. yf , y y: 令yp y ypdpf y pdy四. 高阶线性方程 : a x y b x yc x yf x 1. 通解结构 : 1齐次解 : y0 c y 1 c y2 f x ax ke 的算子法 2非齐次特解 :y x c y 1 c y2 y*x 2. 常系数方程 : aybycyf x 1特点方程与特点根 : a2bc0 2非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; 附: 3由已知解反求方程 . 3. 欧拉方程 数一 : 2 ax ybxy
25、cyf x , 令11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - xetx y 2 D D1 , y xyDy五. 应用 留意初始条件 : 1. 几何应用 斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积; 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程 含变限积分 ; 可设x af x dxF x F a 03. 导数定义立方程 : 含双变量条件f xyL 的方程 4. 变化率 速度 5. Fmadv2 d xQPdtdt26. 路径无关得方程 数一 : xy7. 级数与方程 : 1 幂级数求和 ; 2方程的幂级数解y0法:ya 0
26、a xa x2L,a0y0,a 18. 弹性问题 数三 第五讲 : 多元微分与二重积分 一. 二元微分学概念 1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导, 全微分 , 偏导连续 必要条件与充分条件, 1ff x 0V x y 0Vy,xff x0Vx y0,yff x 0,y 0Vy 2limf,fxlimxf,fylimyfyx 3fxVxfyVy df, limVf2dfy 2 判别可微性 x V注: 0,0 点处的偏导数与全微分的极限定义: fx0,0lim x 0f x ,0xf0,0,fy0,0lim y 0f0,yyf0,02. 特例 : 1f x y , x2xy2,0,0:
27、 0,0 点处可导不连续 ; y00,012 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2f x y , xxyy20,0: 0,0 点处连续可导不行微 ; 20,0,0二. 偏导数与全微分的运算 : 1. 显函数一 , 二阶偏导 : z f x y , 注: 1 型; 2 z x x 0 , y 0 ; 3 含变限积分 2. 复合函数的一 , 二阶偏导 重点 : z f u x y , , , 娴熟把握记号 f 1 , f 2 , f 11 , f 12 , f 22 的精确使用 3. 隐函数 由方程或方程组确定 : 1 形式 : *F x y z