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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载其次十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程学问要点：1. 只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2（二次）,等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程 . 一元二次方程概念中肯定要留意二次项系数不为 0 的条件 . 2. 一元二次方程的一般形式是 ax 2+bx+c=0 （a 0）,其中 ax 2 是二次项, a 是二次项系数；bx 是一次项, b 是一次项系数；c 是常数项 . 3. 使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根 . 一元二次方程的根是两个而不是一个专题一
2、利用一元二次方程的定义确定字母的取值1. 已知m3x2m2x1 是关于 x 的一元二次方程,就m 的取值范畴是（）A. m 3 B.m3 C.m-2 D. m-2 且 m 3 2.已知关于 x 的方程mm 1 x21m2x10,问：（ 1）m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程；（ 2）m 取何值时,它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3. 关于 x 的一元二次方程m1 x25xm210的常数项为0,求 m 的值4. 如一元二次方程2a80没有一次项,就a 的值为 . 4x23a6xa专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式）5. 已知关于 x 的方程
3、x 2+bx+a=0的一个根是a （ a 0）,就 a-b 值为（A. 1 B.0 C.1 D.2 名师归纳总结 6. 如一元二次方程ax2bxc0中, ab+c =0,就此方程必有一个根为a . 的值 . 第 1 页,共 19 页a217. 已知实数 a 是一元二次方程x 22022x+1=0 的解,求代数式a220222022- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载参考答案1. D 【解析 】m30,解得 m-2 且 m 3. . m202. 【 解】（1）当2 m12,时,它是一元二次方程. 解得： m=1m10当 m=1 时,原方
4、程可化为2x2-x-1=0 ；（2）当m20,或者当 m+1+（m-2 ） 0 且 m 2+1=1 时,它是一元一次方程m10解得： m=-1 ,m=0. 故当 m=-1 或 0 时,为一元一次方程3. 【 解】由题意,得：2 m10,解得： m=12ab+a=0. a（am10.4. -2 【解析 】由题意得3 a60, 解得 a=2. 0.2 a45. A 【解析 】关于x 的方程x 2+bx+a=0 的一个根是 - a（a 0）, a b+1）=0. a 0, 1- b+a=0. a- b=-1 6. x=1 【解析 】比较两个式子会发觉：（1）等号右边相同； （2）等号左边最终一项相同
5、；（3）第一个式子x 2 对应了其次名师归纳总结 个式子中的1,第一个式子中的x 对应了其次个式子中的-1. 故2 x1.解得 x=1. 第 2 页,共 19 页x17. 【解】实数a 是一元二次方程x22022x+1=0 的解, a22022a+1=0. a 2+1=2022a,a22022a=1. a22022aa212022- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载21.2 降次解一元二次方程学问要点：1. 解一元二次方程的基本思想降次,解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、 配方法、公式法、因式分解法 . 2. 一元二次方程的根的
6、判别式=b 2-4 ac 与一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a 0）的根的关系：当 0 时,一元二次方程有两个不相等的实数解；当 =0 时,一元二次方程有两个相等的实数解；当 0 时,一元二次方程有两个不相等的实数解；当 =0 时,一元二次方程有两个相等的实数解；当 0时, a（x+h）2+kk；当 a0 时, a（x+h）2+kk. 2 22. 如一元二次方程 ax +bx+c=0 的两个根为 x1,x2,就 ax +bx+c=a（x x1）（x x2）3. 解肯定值方程的基本思路是将肯定值符号去掉,所以要争论肯定值符号内的式子与 0 的大小关系 . 4. 解高次方程的基本思想是将高次
7、方程降次转化为关于某个式子的一元二次方程求解 . 5. 利用根与系数求解时,经常用到整体思想 .参考答案1.A 【解析 】依据题意知,k=11 或 k=-9 - （k-1 ）= 2 5 1, k- 1= 10,即 k-1=10 或 k-1=-10 ,得2. 3【解析 】据题意得, m 2=9, m= 33. 【 证明 】 2x 2+4x5=2（x 22x） 5=2（x 22x+1） 5+2=2（x1）23. （ x1）20, 2（x1）20, 2（x1）230. 无论 x 为何实数,代数式2x 2+4x-5 的值恒小于零4.A 【解析 】 =（2c）依据三角形三边关系,得2 4（a+b）（a+
8、b）=4（ a+b+c）（c a b）. c a b0,a+b+c 0 0该方程没有实数根5.A 【解析 】当 kx 2+3x+2=0 为一元一次方程时,必有实数根,此时k=0；0. 解得当 kx 2+3x+2=0 为一元二次方程且有实数根时,假如有实数根, 就2 3kk024k9且 k 0. 综上所述k9.88b24ac2bxc0（a 0）有两个相等的实数根, 6.A 【解析 】一元二次方程ax 0,又 abc0,即 bac,代入 b c）20,所以 ac24ac0 得（ ac）24ac0,化简得（ a7.13 【解析 】由题意得 x 2+y 2-5= 8. 解得 x 2+y 2=13 或者
9、 x 2+y 2= 3（舍去） . 8. 【 解】当 x+20,即 x 2 时, x 2+2（x+2） 4=0, x 2+2x=0. 解得 x1=0,x2=2；当 x+20,即 x-2 时, x22（ x+2） 4=0, x 22x8=0. 解得 x1=4（不合题设,舍去） ,x2=2（不合题设,舍去） 名师归纳总结 9.综上所述,原方程的解是x= 0 或 x=2x1,x2,就第 12 页,共 19 页1 3 1 3 4ax 2+bx+c=0 的两个根为4发觉的一般结论为：如一元二次方程ax2+bx+c=a（x x1）（x x2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
10、- - - 学习好资料 欢迎下载11.8 【解析 】 x1x2 3,x 2 2+4x23=0, 2x1 x2 2+5x23+ a =2 转化为 2x1 x2 2+4x23+ x2+ a =2. 2x1x2+a =2. 2 3+ a2. 解得 a8. 12. 【解】（1）依据题意,得=（ 2a）24 a（a6）=24a0 a0又 a6 0, a 6由根与系数关系得：x1x2=2 a,x1x2= a . a 6 a 6由 x1x1x2=4x2 得 x1x2 4=x1x2. 2 a4 =a 6 a2 a a经检验 a=24 是方程4 = 的解a 6 a 6（ 2）原式 =x1x2 x1x2 1=2
11、aa1= 6a 6 a 6 6 a 6a 为 1 或 2, 3, 6. 解得 a=7 或 8,9,1213. 【解】（1）2 1 6 a6,解得 a=24为负整数,名师归纳总结 （ 3）由 n 2+3n-2=0 可知 n 0, 1+3 n2 n 2=0. n 2 23 n 1=0. 1 2= 13 4 . 第 13 页,共 19 页又 2m 2-3 m-1=0, 且 mn 1,即 m 1 n1 n= 3 22-2 m、1 n是方程 2x2-3 x-1=0 的两根 m+1 n= 3 2, m1 n=1 2, m2+ n 1 2=m+ 1 n2-2 m- - - - - - -精选学习资料 - -
12、 - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载21.3 实际问题与一元二次方程专题一 利用一元二次方程解决面积问题1. 在高度为 2.8m 的一面墙上, 预备开凿一个矩形窗户现用 9.5m 长的铝合金条制成如图所示的窗框 问：窗户的宽和高各是多少时,其透光面积为 3m 2（铝合金条的宽度忽视不计）2. 如图：要设计一幅宽 20cm,长 30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2：3,假如要使全部彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三,触类旁通. 认真观看图形,认真摸索,解决下面的问题：名师归纳总结 （ 1）在长
13、为 a m,宽为 b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）,就余下第 14 页,共 19 页1m的弯曲小路（如图（2）,就此草坪的面积可表示为2 m ；（ 2）现为了增加美感,设计师把这条小路改为宽恒为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时余下草坪的面积为学习好资料欢迎下载2 m ；（ 3）聪慧的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题,你能解决吗？信任自己哦！（如图（ 3）,在长为 50m,宽为 30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为 xm的弯曲小路（如图3）,此时余下草坪的面积为14212 m 求小路的宽x. 专题二利用一元
14、二次方程解决变化率问题4. 据报道, 我省农作物秸杆的资源庞大,但合理利用量特别有限,2022 年的利用率只有 30%,大部分秸杆被直接焚烧了,假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使 2022 年的利用率提高到 60%,求每年的增长率 （取 2 1.41 ）5.某种电脑病毒传播特别快,假如一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的学问分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？如病毒得不到有效掌握, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台？6. 【 2022 广元 】某中心城市有一楼盘,开发商预备以每平方米7000 元的价格出售
15、,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价后,打算以每平方米5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%,再下调 15%,这样更有吸引力请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 专题三学习好资料欢迎下载利用一元二次方程解决市场经济问题7.【2022 济宁 】一学校为了绿化校内环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定：假如购买树苗不超过 60 棵,每棵售价为 120 元；假如购买树苗超过 60
16、棵,每增加 1 棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5 元,但每棵树苗最低售价不得少于 100 元该校最终向园林公司支付树苗款8800 元请问该校共购买了多少棵树苗？8. 【 2022 南京 】某汽车销售公司 6 月份销售某厂家的汽车,在肯定范畴内,每部汽车的售价与销售量有如下关系：如当月仅售出 1 部汽车,就该部汽车的进价为 27 万元 , 每多售出 1 部,全部售出的汽车的进价均降低0.1 万元 / 部；月底厂家依据销售量一次性返利给销售公司,销售10 部以内（含10 部）,每部返利0.5 万元；销售量在10 部以上,每部返利 1 万元 . 1 如该公司当月售出3 部汽车,就每部汽车的
17、进价为万元 . 2 假如汽车的售价为28 万元 / 部,该公司方案当月盈利12 万元,那么需要售出多少部汽车？（盈利 =销售利润 +返利）专题四 利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. 1经过凸 n 边形 n 3 其中一个顶点 的对角线有条. , 说明理2 一个凸多边形共有14 条对角线 , 它是几边形？, 它是几边形？假如不存在 3是否存在有21 条对角线的凸多边形？假如存在由. 10. 如图,每个正方形是由边长为 1 的小正方形组成名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（1）观看图形,请填写
18、以下表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）红色小正方形个数正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）红色小正方形个数（2）在边长为 n（n1）的正方形中,设红色小正方形的个数为 P1,白色小正方形的个数为 P2,问是否存在偶数 n,使 P2=5P1？如存在,请写出 n 的值；如不存在,请说明理由学问要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题、增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题 . 温馨提示：1. 如设每次的平均增长 或降低 率为 x,增长 或降低 前的数量为 a,就第一次增长 或降低 后的数量为 a1 x,其次次增长 或降低 后的数量为 a1 x22. 面积 体积 问题属于几何图形的应用题,解决问题的关键是将不规章图形分割或组合、平移成规章图形, 找出未知量与已知量的内在联系,依据面积 体积 公式列出一元二次方程名师归纳总结 3. 列方程解决实际问题时,方程的解必需使实际问题有意义,因此要留意检验结果的合理性. 第 17 页,共 19 页方法技巧：1.变化率问题中常用a（1 x）n=