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1、第1讲 相似三角形讲义 学习目标 解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：，如图，D为ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC 例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种根本图形：（1） 如图：称为“平行线型的相似三角形(2)如图：其中1=2，那么ADEABC称为“相交线型的相似三角形。(3)
2、如图：1=2，B=D，那么ADEABC，称为“旋转型的相似三角形。观察此题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型的相似三角形，及EAF与ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE 例4：如图，在ABC中，BAC=900，M是BC的中点，DMBC于点E，交BA的延长线于点D。求证：1MA2=MDME；2 三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例5：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD例6、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC
3、于F，FGAC交AB于G，求证：FC=FG 例7、RtABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF 目标训练一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 第3题图OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB图22、 如图2，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 3、如图，点在射线上，点在射线上，且，假设，的面积分别为1，4，那么图中三个阴影三角形面积之和为 4. ABC中，DEFGBC，且AD：DF：FB=3：2：1，那么SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG= 二、选择题1.
4、ABCDEF，且AB：DE=1：2，那么ABC的面积与DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值 A只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是，为尽可能到达好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A4cmB6cmC8cmD10cm4、如图，ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，那么图中阴影局部的面积是AB
5、C的面积的 EHFGCBA第4题图 ADBCEFM(第5题图)5、 如图，直角梯形ABCD中，BCD90，ADBC，BCCD，E为梯形内一点，且BEC90，将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD于MBC5，CF3，那么DM:MC的值为 A.5:3:5:3:46、 如图，在RtABC内有边长分别为的三个正方形，那么满足的关系式是 A、 B、 C、 D、7、如图,RtABAC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PEAB于E,PDAC于D,设BP=x,那么PD+PE= A. B. C. D. 三、解答题1、如图5，在ABC中，BCAC， 点D在BC上，且D
6、CAC,ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.1求证：EFBC.2假设四边形BDFE的面积为6，求ABD的面积.2、 本小题总分值10分如图：在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1) 证明：CAE=CBF;(2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG点E与点F重合于点G，记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG,如果存在点P,能使得SABC=SABG,求C的取之范围。FCABPEH3、如图，四边形ABCD中，ADCD，DABACB90，过点D作
7、DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E.1求证：ABAFCBCD2AB15cm，BC9cm，P是射线DE上的动点.设DPxcmx0，四边形BCDP的面积为ycm2.求y关于x的函数关系式；当x为何值时，PBC的周长最小，并求出此时y的值. 4、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：1；25、 如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，假设ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C
8、重合),设BE=m，CD=n.1请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进展证明.2求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. 3以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BDCE=DE. 4在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCE=DE是否始终成立,假设成立,请证明,假设不成立,请说明理由.GyxOFEDCBA GFEDCBA 6、 为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表在一次课题学习课上，小明向全班
9、同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙1甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由2乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处3丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视力表如果大视力表中“的长是3.5cm，那么小视力表中相应“的长是多少cm？HH图1图2图3第6题3.5ACF3mB5mD7、将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
10、AB重合，直角边不重合，AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形不含全等三角形.(3)如图10，假设以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ABD不动，将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.DCBAE图9EDCHFGBAPyx图1010.8、如图1，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶
11、点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，(1)如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.(2)如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.(3)根据你对1、2的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论，不必证明)【探究二】假设，AC30cm，连续PQ，设EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：(1)S是否存在最大值或最小值？假设存在，求出最大值或最小值，假设不存在，说明理由.(2)随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围. 图1 图2 图39.如图，在RtABC中，A=90，AB=3，AC=4，以斜边BC上距离B点3的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF，那么旋转前后两个直角三角形重叠局部的面积是多少？