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1、-学生-第1讲-相似三角形培优讲义1!-第 8 页第1讲 相似三角形讲义学习目标 解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为内一点连结、，以为边在外作，求证：例2、矩形中，3，E、F，是边的三等分点，连结、，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中1=2，则称为“相交线型”的相似三角形。(3)如图：1=2，D，则，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的
2、图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及与二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、中，在上截取，在延长线上截取，使，求证：例4：已知：如图，在中，900，M是的中点，于点E，交的延长线于点D。求证：（1）2；（2）三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例5：已知：如图E、F分别是正方形的边和上的点，且。求证：例6、直角三角形中，90，是正方形，交于F，交于G，求证：例7、锐角C的平分线交于E，交斜边上的高于O，过O引的平行线交于F，求证：目标训练一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S12与它们对应高之比h12之间的关系为 （第3题图）OA1A2A3A4ABB1B2
3、B314ECDAFB图22、 如图2，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 3、如图，点在射线上，点在射线上，且，若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 4. 中，且：3：2：1，则S：S四边形：S四边形 二、选择题1.已知，且：1：2，则的面积与的面积之比为（ ） (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1个 B可以有2个 C有2个以上但有限 D有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感如图，某女士身高16
4、5，下半身长x与身高l的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A4B6C8D104、如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的 （ ） EHFGCBA（第4题图） ADBCEFM(第5题图)5、 如图，直角梯形中，90，E为梯形内一点，且90，将绕C点旋转90使与重合，得到，连交于M已知5，3，则的值为 （）A.5:3:5:3:46、 如图，在内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）A、 B、 C、 D、7、如图中34是边上一点,作于于D,设,则（ ）A. B. C. D. 三、解答题1、如图5，在中， 点D在上，且
5、,的平分线交于F，点E是的中点，连结.（1）求证：.（2）若四边形的面积为6，求的面积.2、 （本小题满分10分）如图：在等腰中，是底边上的高线，点P是线段上不与端点重合的任意一点，连接交于点E,连接交于点F.(1) 证明：;(2) 证明：;(3) 以线段，和为边构成一个新的三角形（点E与点F重合于点G），记和的面积分别为S和S,如果存在点P,能使得S,求C的取之范围。FCABPEH3、如图，四边形中，90，过点D作，垂足为F，与相交于点E.（1）求证：（2）已知15，9，P是射线上的动点.设（x0），四边形的面积为2.求y关于x的函数关系式；当x为何值时，的周长最小，并求出此时y的值. 4、
6、如图10，四边形、都是正方形，连接、与相交于点M，与相交于点N求证：（1）；（2）5、 如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，90，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点A旋转，、与边的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设，.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以的斜边所在的直线为x轴，边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边上找一点D，使，求出D点的坐标，并通过计算验证. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系是否始终成立
7、,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.GyxOFEDCBA GFEDCBA6、 为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作
8、一个测试距 为3m的小视力表如果大视力表中“”的长是3.5，那么小视力表中相应“”的长是多少？HH（图1）（图2）（图3）（第6题）3.5ACF3mB5mD7、将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边重合，直角边不重合，已知8，4，与相交于点E，连结(1)填空：如图9， ， ；四边形是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以所在直线为轴，过点A垂直于的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持不动，将向轴的正方向平移到的位置，与相交于点P，设，面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.DCBAE图9EDCHFGBA
9、Pyx图10108、如图1，一副直角三角板满足，90，30【操作】将三角板的直角顶点E放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点E旋转，并使边与边交于点P，边与边于点Q【探究一】在旋转过程中，(1)如图2，当时，与满足怎样的数量关系？并给出证明.(2)如图3，当时与满足怎样的数量关系？，并说明理由.(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为,其中的取值范围是(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，30，连续，设的面积为S(2)，在旋转过程中：(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.(2)随着S取不同的值，对应的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.（图1） （图2） （图3）9.如图，在中，90，3，4，以斜边上距离B点3的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是多少？