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1、准确把握课程标准内涵 切实提高课堂教学整体效益一修订数学课程标准的背景我们原来使用的是数学课程标准（实验稿），是于2001年7月颁布的。今天要学习的是数学课程标准（2011年版），是于2011年12月颁布的。经历了10年的过程，其影响总体上是积极的，也是富有成效的。新课程的实施给课堂带来巨大的变化：（一）课程标准（实验稿）实施取得的成效一是教育教学理念的变化课程改革走到今天，越来越清楚的表明，其基本出发点是以学生发展为本。所倡导的面向全体学生，是对一个个独特生命的尊重。在“不同的人在数学上得到不同的发展”理念的影响下，教师能够用赏识的心态去对待一个个成长中的孩子们。构建的“三维目标”体系，促进
2、教师们在引导学生理解和掌握知识技能的同时，更注重学生的学习过程，提高学生学习数学的兴趣和信心，真正把学生看成是“等待点燃的火把”，而不是“剩放知识的容器”。二是教与学的方式的变化在组织教学活动时，越来越多的教师试图改变单一的教学方式，结合具体的教学内容，探索和运用启发式、探索式的教学方式，让学生在问题情境中探索，在解决问题的过程中合作交流。使得学生的学习过程更加生动活泼，更好的发挥学生的主动性和创造性。三是评价方式的变化以往的以甄别和选拔为主要目的的评价方式正在逐步改变。许多教师尝试运用课堂观察、成长记录等方式，评价学生的学习过程，了解学生的数学学习过程中表现的创造性、思维能力和情感态度。同时
3、，对传统的纸笔测验进行改造，测验题目的选择注重现实性和问题情境，也增加了一定开放性的题目，使得评价更加灵活多样，与课程改革的多元目标相适应。四是教材与课程资源的变化在教学活动中，创造性的使用教材，充分利用教材以外的各种课程资源，已经成为多数教师的共识。用教材教，而不是教教材成为广大教师接受并实践的观念。（二）课程标准（实验稿）实施过程中反映的问题通过几次大规模调研，反映了问题主要有：一是某些核心概念的认识与理解困难比如数感、符号感、合情推理，在实际教学中许多教师不了解为什么提出这些概念，理解上也存在一定的困难，特别是在操作层面缺少实用的案例。二是设计的新内容的教学遇到的问题增加的一些新的内容，
4、如简单的概率内容，图形的位置与变化，实践与综合应用，这些内容对于教师来说是全新的，他们缺少这方面的知识准备和教学经验，在设计和实施出现对这些内容理解和把握方面问题。还有一些同样的内容在不同年级出现如何处理它们之间的差异。有些内容通过实践来看学生接受起来也存在一定困难。比如第一学段中安排的可能性的问题；第二学段中的中位数与众数难度几乎与初中相同。三是对于过程性目标的理解与落实“经历过程”这些过程性目标如何在教学过程中与具体的学习内容结合起来，如何以有效的方式呈现和表达，并组织有效的教学活动落实。四是对提倡的教学方式的运用与把握课程标准（实验稿）指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重
5、要方式。”这里涉及两方面的问题：是不是所有的教学内容都适合用这些方式？如何正确用好新的教学方式？ 五是在评价改革上遇到的困难如何进行过程性评价，如何把握情感态度价值观的评价仍然是教师反映最多的问题。为了探索解决各方面提出的问题，增强课程标准的可操作性，贯彻落实课程标准的理念，深入推进数学课程改革，2005年6月，教育部成立数学课程标准修订组，2011年12月完成，历时六年多。二.2011年版数学课程标准与实验稿对比分析（一）体例与结构的调整1.增加了两个附录附录1介绍的是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语以及描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语的基本
6、含义及同义词解释。附录2将原来分散到课程内容和实施建议中的实例集中展现，增加了详细的说明，能够帮助教师更好的理解，如：课程标准（实验稿）例1 对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用或表示它们的大小关系。课程标准（2011年版）例2 将数50，98，38，10，51排序，用“”或“”表示。用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步描述它们之间关系。 说明 符号“”或“”表述的是数量间大小关系，希望学生能够理解符号的含义并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感。让学生将这些数排序，学生可能会有不同的排序方法。例如，先找到最小
7、（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将五个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数（如50），拿第二个数（98）与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将五个数排序。无论学生的出发点如何，只要思路清晰、排序正确即可。对于用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。例如，可以说51比50大一些，98比10大很多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应当出现逻辑上的混乱，例如，“50比10大一些，50比38大得多”。这段说明，分别阐述了实例的教育价值、操作办法及注意事项，增强了实例的可操作性。2
8、.整合了三个学段的“实施建议”课程标准（实验稿）的实施建议中分三个学段分别阐述了教学建议、评价建议、教材编写建议。为了避免行文的重复，进一步体现义务教育阶段数学教育的完整性。课程标准（2011年版）进行整合，统一撰写了教学建议、评价建议和教材编写建议，并对原来的课程资源开发与利用建议进行了整合。（二）关于前言的修改1.关于数学的定义、意义和数学教育的作用（1）数学的定义课程标准（实验稿）：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。课程标准（2011年版）：数学是研究数量关系和空间形式的科学。纵观数学的全部历史，尽管经过由古至今的漫长发展，现代数
9、学已是一个分支众多的庞大的知识系统，但整个数学始终是围绕着“数”与“形”这两个基本概念进行的。（2）数学的意义课程标准（实验稿）：20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。课程标准（2011年版）：数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学
10、更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。现代数学空前广泛的应用与更高的抽象化趋势共轭发展着，这恰恰提示了数学理论在极其抽象的外表下与客观现实世界之间的深刻、复杂而又奇妙的联系；说明现代数学理论前沿的推进蕴涵着比以往更为丰富多彩的、难以遇见的应用机遇。数学越来越成为一种普遍的科学语言与工具。（3）数学教育课程标准（2011年版）：数学是人类文化的重要组成部分，
11、数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。数学抽象的外表常常引起为公众对这门科学的误解，造成数学抽象难学，只有聪明、有天赋的人才能学好的假象，或者忽视数学对于社会进步和个人发展的作用和意义，从而使相当一部分学生在基础教育阶段就对数学产生了疏远的态度甚至惧怕的心理。这对于保障良好的数学教育是极为不利的，这一切需要我们数学教师去改变。通过以上三处的修改，可以看出课程标准（2011年版）将数学学科的重要性和数学教育对于人的发展的重要
12、性又进一步提高了。2.关于数学课程的“基本理念”（1）培养目标课程标准（实验稿）：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。课程标准（2011年版）：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。修订后与过去的提法相比：一方面，避免了关于数学课程有价值与无价值、必须与不须的争议，另一方面把单纯对于数学教学内容的取舍上升到数学教育理念的改变，这也是“育人为本”教育理念的具体体现。良好的数学教育是什么样的？良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育长期以来，我们习惯以应考来左右数学教学，在课程实施中往往形成一些非良性的数学教学现象。如：不
13、求数学本质的理解、靠量的堆砌来追求技能强化训练的教学，不问知识的来龙去脉、掐头去尾“烧中段”的教学，追求某种“噱头”去编制偏题、怪题而故弄玄虚的教学，远离数学现实、自我封闭的教学，板着面孔教育人，故意居高临下、让学生望而生畏或敬而远之的教学凡此种种，不一而足。这样的数学教学不但不能从正面产生数学教育的价值，反而可能从反面产生诸多负面影响。如，形成错误的数学观，形成刻板的数学思维方式，产生对数学的厌恶情绪，丧失数学学习的自信心等。义务教育阶段的数学教育对于每一个人具有数学启蒙和初步熏陶的作用，这一阶段的数学教育不是选拔适合数学教育的学生，而是提供适合每一个学生发展的课程条件。良好的数学教育是全面
14、实现育人目标的教育今天的数学教育是一个对学生发展全面体现其育人价值的教育，不仅关注数学知识、技能的传授，也关注思想的感悟及经验的积累，不仅关注数学能力的培养，也关注学生的情感态度与价值观的培养，即关注学生作为一个“全人”的智力与人格的全面协调的发展。良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育教育公平是社会公平的重要基础。一是为所有学生提供机会均等的数学教育。二是教师应给予所有学生平等的关注与帮助，特别对于在数学学习方面处于弱势的学生应给予更多的关照与辅导。三是在数学学习评价中，对学生的学习状况和结果应给予科学、公正的评价，特别应改变“仅凭一纸试卷就将学生划分成三六九等”的做法。四是使每个学生都能
15、获得相对均衡的结果，每个人达到数学课程的基本质量要求，其潜能能得到激发，能获得成长与进步。良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育可持续发展的数学教育要遵从儿童心理发展应有的阶段性规律，循序渐进，逐步提高。尤其要处理好学生的可接受性与数学的严谨性、抽象性之间的关系，处理好各学科的不同要求与学段间的衔接及整体贯通的关系，处理好近期目标达成和中长期目标“渐成”的关系。急功近利、拔苗助长的做法可能消解学生的学习兴趣，丧失学习信心，不利于学生的发展。（2）课程内容课程标准（2011年版）：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的
16、数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。课程内容的选择决不仅仅是教材编写者的事，对于课程实施者教师同样重要。课程专家编写的教材经过教师的个性处理变成“实施的教材”，课程标准（2011年版）在课程内容方法强调重视过程、直观、直接经验三个方面，要处理好三对关系：关于过程与结果新课程改革以来，关于过程与结果的争论一直是热点话题。我们认为，数学教学不能没有结果，没有结果学生无法后续学习，对家长、
17、对社会没法交待，教师自身难以立足。同时我们也能够清醒的认识到，如果忽视过程，学生的学习兴趣、探索精神、成功体验不能得到培养，我们注重的结果也不可能实现更大的质的提高，同时对于学生的长远发展是极为不利的。所以要求我们在过程与结果之间寻求一种平衡，这对我们数学教师是一个艰巨的挑战，这也是今后数学教学中需要深入研究的课题。关于直观与抽象直观与抽象不是对立的，它们从来就是数学的两翼。数学知识的形成依赖于直观，许多重大的发现来源于直观；数学知识的确立依赖于推理，数学学科的发展就是不断抽象的过程。张奠宙教授曾经指出：“数学教育的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态，让数学冰冷的美术焕发学生火热的
18、思考”。考虑到学生学习数学的可接受性和心理适应性，因此，采用恰当的直观性手段就显得很有必要。当然也需要在重视直观的同时，也要加强学生数学抽象思维的培养。比如一年级讲认识10一课时，通过学生动手摆小棒，直观的得出9种分解方法，然后引导学生思考“这9对小朋友哪些是一样的呢？”，从而培养学生抓住本质进行概括的能力。关于直接经验与间接经验在数学课程中直接经验和间接经验不是对立的，它们应该是相互关联，相互协调的。一方面，学生的数学认识不是被动地接受而建立的，而是通过自己的经验主动地建构起来的。表现为书本知识的数学间接经验只有通过学生联系自己的生活实际，在多样化的数学活动中积累自己的经验才能真正理解其数学
19、意义，比如：二分之一和三分之一哪个大，如果只靠规律“分子相同的分数，分母小的比较大”去记忆，学生掌握的不见得牢固，如果借助生活经验“一块饼平均分给两个人与一块饼平均分给三个人相比，平均分给两个人时每个人得到的多”学生轻松理解，不容易出错。另一方面，也要看到，在学习数学间接经验的同时，学生也在发展自己的直接经验，特别是通过打好知识基础，掌握学习方法，学生具有了主动面对生活和社会去拓展自我直接经验的能力。比如，我们上中学时学习的华罗庚写的关于烧水泡茶原理的统筹方法一课，我们原来可能没有这样的深刻的体会，但自从学了这种方法后，我们在生活中就可能改变我们生活中的一些事，比如：到办公室后先打开电脑，在电
20、脑启动过程中打扫一下办公室卫生等等。（3）数学教学课程标准（实验稿）：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。课程标准（2
21、011年版）：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师
22、要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。修订后，关于数学教学分别从教学活动、数学教学活动、学生学习、教师教学四个方面进行了阐述，应该说读了感觉是返朴归真，非常解渴。首先，关于教与学的关系新课程实施以来，改变了以往过分注重教师的讲授，忽视学生自主建构的问题，但也出现了过分注重学生的学，而忽视教师的教学的突出问题，甚至规定教师讲授不能超过多少分钟的限制。要么教师中心，要么学生中心，这个问题出在我们对教与学这个关系采取了二元对立的思维方式，正所谓“物极必反”。而修订后的课程标准
23、定位为：“有效的教学活动是学生学与教师教的统一”，数学自身的逻辑顺序、学生的认知发展顺序与课堂教学流程在师生双方的积极参与，沟通对话，交流互动中得到适时调整而最终趋于协调，教学的有效性也就得到了保障。其次，关于数学教学活动一是激发学生的兴趣；二是引发学生的思考；三是培养学生的良好的数学学习习惯；四是使学生掌握恰当的数学学习方法。这些提法真正抓住了数学教学的本质：兴趣、思考、习惯、方法。再次，关于学生学习在原有的重要的学习方式“动手实践、自主探索、合作交流”的前面增加了“认真听讲”和“积极思考”。这表明，对多年来形成的一些数学学习方式采取简单肯定或否定的态度是不科学的。课程改革的实践表明，我们不
24、仅应倡导数学学习方式的多样化，更应根据学生水平和内容的实际，采取恰当的学习方式，以获得最佳的学习效果。最后，关于教师教学的阐述真正是一种回归：一是教师要发挥主导，在前面已经介绍了教与学的统一关系。二是注重启发，因材施教是中国古往今来很重要的教育思想，也是在长期的数学教学实践中极具成效的教学经验，老祖宗的宝贵经验和传统我们应该予以继承和发扬。三是处理好讲授与学生自主学习的关系。长期的实践表明，在数学课堂教学中，讲授法是一种在概念、命题教学中很有效的教学方法，当然必须是能启发学生思维，引导学生探索的讲授；而实践同样也证明，那些形式上的“合作”、那些无序的、无目的的“自主”只能带来数学课堂的低效甚至
25、无效。我们需要的是二者的整合与互补教师讲授给学生自主以启发、动力、灵感、方向，学生自主给教师讲授以反馈、分享、调控、反思。追求的仍然是教与学的统一。（4）关于学习评价，没有太大变化。课程标准（实验稿）：对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度。课程标准（2011年版）将原来的两个“更要”改成“也要”，意在强调结果与过程，学习水平与情感态度是同等重要的，两者不可偏废，要辩证地处理好这两个关系。（5）关于信息技术的运用课程标准（实验稿）：数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术。课程标准（2011年版）
26、：数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。这也是针对目前多媒体教学存在的突出问题的矫正。有的课堂上，多媒体屏幕仅仅起到代替板书的作用；更有甚者，一些教师使自己的教学完全受控于鼠标，不注意观察学生的课堂反应，不去对课堂教学作适时调整，原本应该是生动活泼、多变的课堂都在所谓的信息技术主宰下失去了人文环境和交往空间，这样的“鼠标教学”显然是一种低效甚至无效的教学。在教学中一要正确把握它运用于特定内容教学中的长处和短处，二是要更好地解决教学上的难点，有利于学生更好地理解与思考。3.关于课程设计思路（1）学段划分：不变（2）课程目标：仍然分为总
27、目标和学段目标，分别从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。补充一句，这四方面目标是课程改革三维目标在数学学科中的具体化，其中知识技能对应的是三维目标中的知识与技能，它是结果目标，使用 “了解、理解、掌握、运用”等行为动词表述；数学思考、问题解决对应的是三维目标中的过程与方法；情感态度对应的是三维目标中的情感态度价值观，数学思考、问题解决、情感态度这三方面是过程目标，使用“经历、体验、探索”等行为动词表述。（3）课程内容：名称有所变化课程标准（实验稿）四个学习领域：“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”课程标准（2011年版）将“空间与图形”修改为“图形
28、与几何”，原因是空间和图形在本质上都是表述一种存在，而所谓的几何是基于这种存在抽象出概念。比如点、线、面；得出概念之间的关系，比如两点确定一条直线；建立基于概念的命题，比如等腰三角形底角相等。这样把存在上升到理性，进而可以更加一般地描述存在，解释存在所表现出来的那些规律性的东西。这是数学本质之所在，也是数学教育本质之所在。将“实践与综合应用”改为“综合与实践”，是因为对于义务教育阶段的学生，能够知道概念与概念之间的关系、能够掌握所学过的知识之间的关联是第一步的，也是最为重要的，这就是所谓的综合。在这个基础上，提出把所学过的知识应用于实践这个更高的要求。课程标准（2011年版）对这四个学习领域的
29、具体内容进行了介绍，特别是对于“综合与实践”领域做如下表述：“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。（4）提出10个核心概念对原有的6个核心概念调整为10个，课程标准（实验稿）：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力课程标准（2011年版）：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新能力核心概念的意义在哪里？第一，这些核心概念是学生
30、通过义务教育阶段数学课程教育后具有的特征，是最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。第二，这些核心概念是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的，是完全可以实现的。第三，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。所以说，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。数感数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感是真实存在的。比如2010年2月25日，国家统计局公布的2009年国民经济和社会发展统计公报显示，我国70个大中城市房屋销售价格
31、同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。将一张纸对折32次，其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。这些说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。数感定位为一种感悟。“感”是外界刺激作用于主体而产生的，“悟”是主体自身通过大脑思维而产生的。“感悟”是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。数感包括数与数量、数量关系、运算结果估计三个方面。如何培养学生的数感第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。第一学
32、段是培养数感的重点。比如，刚入学的儿童在认识10以内的数的时候，应该通过实物、图片等，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。如1200张纸有多厚？1200步有多长？1200名学生做操需要多大的场地？第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮政编码、汽车牌照号、身份证号的规律和意义。第三，让学生多经历有关
33、数的活动过程，逐步积累数感经验。比如，组织学生参加调查活动：从你家到学校有多远？你到学校大约要多长时间？教室面积有多大？全县人口有多少？如何测量一张纸的厚度？讨论某一期报纸上出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题。符号意识符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它
34、也是一种积极的心理倾向。符号意识所包含的内容：第一，理解符号的意义。如“，”表示特定的运算意义，“=，”表示数学对象之间的某种关系。由于数学符号具有概括性，理解“”的意义时，可以联系生活，爸爸的年龄大于儿子年龄，爸爸的身高大于儿子身高，爸爸的体重大于儿子的体重。等等，从而实现对于符号全面、完整的认识。第二，运用符号表达。学生用数学符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程。数学符号表达不仅是高年级的事，从认识数学“1”开始就是认识符号的开始，同时数学符号的表达是多样化的。比如一年级小学生学完10的认识后，教师举出一个实例，一个笼子里有鸡和兔，共10只，鸡和兔可能各有多少只？
35、学生可能不会写鸡和兔这两个字，教师可以引导学生用自己喜欢的方式分别表示鸡和兔，学生介绍自己的表示方法，共同评选最简单的表示方法，渗透符号表达的意识。第三，使用符号进行运算的推理。包含的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解法等。比如，天平显示，两个苹果与三个桃子同样重，三个桃子比两个梨轻，这样可以得出两个苹果比两个梨轻。第四，理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。关于学生符号意识的培养第一，在各学段紧密结合概念、命题、公
36、式的教学，培养学生的符号意识。比如在一年级教学“加法”时，一只红纸鹤和两只蓝纸鹤放在一起，列出1+2=3后，可以引导学生比较，题目用了很多汉字，解答时只需要很简洁的式子就完成了，这些符号太方便了，同学们以后可要运用好这些符号哦！从而渗透符号的简洁美。第二，结合现实情境培养学生的符号意识。还以上面的例子为例，列出1+2=3后，还可以引导学生说一说1+2=3在生活中还可以表示什么，这就实现了现实情境与符号化之间的双向表达，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。第三，在数学问题解决过程中发展学生的符号意识。符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果
37、的。引导学生经历发现问题、提出问题时体会需要运用符号抽象和表达问题，在分析问题和解决问题中使用符号进行运算、推理和数学思考，从而积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质，逐步促进学生符号意识得到提高。 空间观念空间观念：主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间观念的意义：一方面，空间与人类的生存密切相关，了解、探索和把握我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间；另一方面，空间观念是创新精神所需的基本要求，没有空间观念和想象力，几乎很难谈发明与创
38、造。空间观念所包含的内容：第一，根据物体抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径，这是一个充满观察、想象、比较、推理和抽象的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的对空间与平面相互关系的理解与把握。第二，想象出物体的方位和相互之间的位置关系。第三，描述图形的运动和变化。第四，依据语言的描述画出图形。促进空间观念发展的教学策略第一，现实情境和学生经验是发展空间观察的基础。第二，利用多种途径发展学生的空间观念。包括生活经验的回忆与再现、实际观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理。第三，在学生的思考、想象过程中发展
39、空间观念。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高层次的空间观念的表现。在组织实际观察活动中，教师先让学生想一想，尝试着做出判断，然后再实际去看一看，把实际看到的和想象的进行比较，得出正确的结论。这样将有助于培养学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生的空间观念。几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。发展几何直观的领域：几何教学是发展学生几何直观的主阵地，面对一个几何图形，不仅是看到了什么，
40、几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象、猜想得到一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。同时数与代数、统计与概率领域中的许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征，比如：分数的概念，路程问题。数形结合是认识数学的基本角度。如何培养几何直观第一，在教学中使学生逐步养成画图习惯。第二，重视变换让图形动起来。第三，学会从“数”与“形”两个角度认识数学。第四，掌握、运用一些基本图形解决问题。基本图形在第三学段的重要性更为突出，在小学阶段，在平面图形的面积计算以及立体图形的体积计算时注意将其转化为规则图形去计算。数据分析观念数据分析观念包
41、括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。数据分析观念，绝非等同于计算、作图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的对一组数据的“领悟”，由一组数据所想到的、所推测到的，以及在此基础上，对于统计与概率独特的思维方式和应用价值的认识。对数据分析观念要求的分析第一，体会数据中蕴涵着信息。比如，新年联欢会准备买水果这个问题，学
42、生在收集数据、整理数据、分析数据，从而作出决策和推断。通过这样的活动使学生体会数据中蕴涵着信息，体会数据分析的价值。第二，根据问题的背景选择合适的方法。可以选择条形统计图、扇形统计图、折线统计图，统计学对结果的判断标准是“好”、“坏”，而不是“对”、“错”。第三，通过数据分析体验随机性。这里包括两层含义，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，比如袋子中有一些红球和一些白球，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，从摸到球的颜色的数据中就能发现一些规律，如哪种颜色的球多，比例有多大等。数据分析观念的培养第一，最有效的方法是让学生投入到数
43、据分析的全过程中去。让学生经验收集数据、整理数据、描述数据和分析数据的过程。比如，数学课程标准（2011年版）在三个学段都安排了“对全班同学的身高进行调查分析”的活动第二，切忌将统计的学习处理成单纯数学计算和绘图技能。比如，平均数教学，计算难度不大，但对于一个实际问题让学生体会到平均数的价值，获得运用平均数分析实际问题的观念。第三，组织学生对于数据进行多角度分析。比如观察几年间学龄儿童人数和入学人数的折线统计图。分析其中的信息，包括社会经济的快速发展，国家对教育的重视，国家的计划生育政策，家长对于孩子教育的重视等，从而体会数据中蕴涵的丰富信息。第四，注重结果判断原则的不同。统计学对结果的判断标
44、准是“好坏”，而不是“对错”比如：课堂上老师要求根据两个同学的平时练习的数据，选择一名学生代表参加比赛。这两个同学，甲同学的成绩不稳定，但有一个最好的成绩，而乙同学，成绩比较稳定，平均成绩高。应该选哪一个同学参加。其实选择甲、乙都有道理。如果是射击比赛，需要计算每一轮射击成绩的总和，可能选择乙参加。如果是跳远比赛，需要选择成绩最好的一次作为最终成绩，那么就可能选择甲参加。运算能力运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力的重要性课程改革以来，课堂上自主探究的时间多了，训练量少了，导致学生的运算能力下降
45、了。这应该引起我们数学教师的注意，在考试中会做的题由于计算错误失分太可惜了，这是今后数学教学中必须加强的方面。运算能力并非单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。可见，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。 运算能力对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。运算能力的培养第一，保证运算的正确。必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。第二，深入研读课标，准确把握标准要求。以公倍数和公因数为例，课
46、标要求，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。在1100的自然数中，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。但练习册中的题目大大超出了这个要求。教师在布置练习任务和命制测试卷时要把握好难度要求。第三，科学合理把握训练量。运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成。在这个过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；而题量过多，搞成题海战术，反而适得其反，会使学生产生厌学情绪。第四，注重解题前，解题中，解题后的三段思考。解题前，分析运算条件，确定运算方向；解题中，每一步要步步有据，符合算理；解题后，反思总结经验和教训。从而
47、逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免失误。第五，重视估算能力的培养。推理能力推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。这方面放在后面进行分析。模型思想模型思想的建
48、立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型思想在小学阶段重要吗？第一，模式思想不是与小学阶段意义不大。在小学阶段，本次修订的课标中就增加了两个典型的模型“路程速度时间”、“总价单价数量”，这代表的是一个量等于另两个量的乘积的基本模型，有了这些模型，就可以解决许多现实生活中的实际问题。第二，从上小学第一节课就涉及到模型思想。比如见到一面红旗，就可以用数学1表示，这就代表着，将物体的数量用数学来表示，这是一种模型，见到一只红纸鹤和两只蓝纸鹤，一共有多少只纸鹤这样的问题，就可以列出1+2这样的算式，