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1、8 年级数学（上）专题复习三数学思想方法选讲数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识；数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段；数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。抓住数学思想方法，善于运用数学思想方法，是提高解题能力根本之所在。因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识初中数学的主要数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化的思想、函数与方程的思想、数学建模的思想等一、分类讨论思想当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，
2、广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。【要点梳理】数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在期末考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的
3、能力都是十分重要的。【典型例题】1.在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O 为坐标原点.请你在坐标上确定点P，使得AOP 成为等腰三角形，在给出坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，P3（不必写出画法）。2.一次函数 y=kx+b 的自变量取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y2。则这个一次函数的解析式为.3.直线 y=x-1 与坐标轴交于A、B 两点，点 C 在坐标轴上，ABC为等腰三角形，则满足条件的点 C 最多有（）个。A4 B5 C7 D8 4.已知等边 ABC 所在平面上有点P，使 PAB，PBC，PAC 都是等腰三角形，问具有这样性质
4、的点P有多少个？请你分别画出来。二、数形结合思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。【要点梳理】数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需
5、要建立方程(组)或建立函数关系式等。【典型例题】1两个二元一次方程中的x 和 y 项的系数均不为零，它们组成的方程组的解是3,1yx试写出一个这样的方程组 .2如图，数轴上A、B两点表示的数分别为1 和3，点 B关于点 A的对称点为C，则点 C 所表示的数为（）A 23 B 13 C 23 D 13 3某村办工厂今年前5 个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）。A.1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月生产总量逐月减少B.1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4、5 两月生产总量与3 月持平C.1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4
6、、5 两月均停止生产D.1 月至3 月每月生产总量不变，4、5 两月均停止生产4某人从 A 地向 B 地打长途电话6 分钟，按通话时间收费，3 分钟以内收费2.4 元每加 1 分钟加收 1 元，则表示电话费y（元）与通话时间(分)之间的关系的图象如图所示，正确的是（）5.如图 3110，把一个面积为1 的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把面积为12的矩形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去试利用图形揭示的规律计算：11111111+=_248163264128256.6.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂
7、量服用,那么 2 个小时时血液中含药最高,达每毫升 6 微克(1 微克=10-3 毫克),接着逐步衰减,10 小时时血液中含药量为每毫升3 微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间 x(小时)的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.(1)分别求出 x2 和 x2 时 y 与 x 的函数解析式;(2)如果每毫升血液中含量为4 微克或 4 微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?三、转化的思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等
8、，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。【要点梳理】所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等。将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归与转
9、化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，多元向一元转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。【典型例题】1.函数 y=21xx中自变量 x 的取值范围是。2.一次函数y=kxb 的图象经过点A（0，2）和 B（3，6）两点，那么该函数的表达式是（）。8.26 .23A yxB yx8.86 .23C yxD yx3.设一个三角形的三边长为3，l 2m，8，则 m的取值范围是（）。A 0m 12 B.5m 2 C2m 5 D72m l 4.求直线 y=3x1 与
10、y=15x 的交点坐标是。5.已知点(3,0)(0,3)(1,)ABCm，在同一条直线上，则m=_。6.如图,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点 A在第二象限内.点 B、点 C 在 x 轴的负半轴上,CAO=30 ,OA=4.(1)求点 C 的坐标;(2)如图,将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转30 到 ACB的位置,其中 AC 交知线 OA与点 E,AB分别交直线OA,CA 与点 F,G,则除 ABC AOC 外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案(不再另外添加辅助线)。四、函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，
11、通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。1初中函数知识网络yxAOyxO23610函数定义解析式三种函数一次函数二次函数反比例函数平 面 直角 坐标 系坐 标特 征函数图象综合运用C A O B yxO11ABAyxEFGI
12、BO11A解模、分析、运算解决问题类比、转化、抽象审题解答数学问题实际问题结论建立数学模型实际问题2平面直角坐标系知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。（2）特殊位置上点的坐标特点：点 P(x，y)在 x 轴上y=0；点 P(x，y)在 y 轴上x=0；点 P(x，y)在第一、三象限角平分线上x=y；点 P(x，y)在第二、四象限角平分线上x+y=0;点 P(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标是(x，y)；点 P(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标是(x，y)；点 P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(x，y)；3一次函数知识要点：（1）一般地
13、，如果y=kx+b（k、b 是常数，k0），那么，y 叫做 x 的一次函数。k、b 是常数的含义是，对于一个特定的函数式，k 和 b 的值是固定的。k0 这个条件不能省略不写，若 k=0，则 y=kx+b 变形为 y=b，b 是关于 x 的 0 次式，因此不是一次函数。特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b 就成为 y=kx（k 是常数，k0），这时 y 叫做 x 的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。画正比例函数y=kx 的图象，通常取（0，0
14、）和（1，k）两点连成直线。画一次函数y=kx+b（k、b 是常数，k0）的图象，通常选取)0(b，和)0,(bk两点连成直线。通常，我们把一次函数y=kx+b 的图象叫做直线 y=kx+b。直线的倾斜形态与k 的关系如下：（1）k0 时，直线的倾斜形态“/”；（2）k0 时，直线的倾斜形态“”。要树立“数形结合”的数学思想方法。由k 的数值（正、负）决定出直线的倾斜形态，反之，由直线的倾斜形态能确定k 的正、负。ykxb（k0）与 ykx（k0）的图象是两直平行线。直线所经过的象限与k、b 的关系：示意图k、b 的符号k0 k0 b0 b0 b0 b0 ykxb 所经过的象限一、二、三一、三
15、、四一、二、四二、三、四ykxb 不经过的象限四三二一（3）一次函数的性质：一般地，正比例函数y=kx 和一次函数y=kx+b 都有下列性质：（1）当 k0 时，y随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而减小。（4）一次函数解析式的确定：在正比例函数y=kx（k0）中，只要求出k 的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求 y=kx（k0）所需条件是一个点坐标。由于一次函数y=kx+b（k0）中需要求出k 与 b 的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k 与 b 的二元一次方程组，通过解方程组求出k 与 b 的数值。要注意掌握由坐标
16、求线段长度，由线段长度求坐标的转换方法。掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标，求直线解析式的方法。掌握求两直线交点坐标的方法。4中考函数新颖试题分析中考数学试题里，有关函数的试题覆盖了函数的主要考点，且出现了一些体现新课程理念，具有强烈的时代气息的新颖试题，下面结合一些事例作简单分析。4.1 网格与坐标系例 1.如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（）上。A.（-1，1）B.（-1，2）C.（-2，1）D.（-2，2）例 2.如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋的坐标为(7,4),白棋的坐标为(6,8),那么黑棋的坐标应该
17、是.评注：这两个题充分利用方格纸的特点及坐标的有关知识，将方格纸与平面直角坐标系以及学生熟悉的象棋、围棋联系在一起，新颖而有趣味性。4.2 阅读函数图象，解决实际问题。例 3.某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示.（1）当 0 x200，且 x 为整数时，y 关于 x 的函数解析式为；当 200 x300，且 x 为整数时，y关于 x 的函数解析式为.（2）要使游乐场一天的赢利超过1000 元，试问该天至少应售出多少张门票？（3）请思考并解释图像与y 轴交点（0，1000）的实际意义.（4）根据图像，请你再提供2 条信息。4.3 函数探索性试题例 4.如图，P
18、 是 y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线 xt，使它与直线yx 和直线122yx分别交于点D、E（E 在 D 的上方），且 PDE为等腰直角三角形。若存在，求 t 的值及点 P 的坐标；若不存在，请说明原因。分析：对存在性探索试题，其一般解题思路是：先对作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的推理或计算，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。顺着这种思路，对该题，我们很容易得到以下两种解法。评注：所谓探索型试题，是指缺少一定的题设和结论，需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。由于这类考题形式新颖、思考方向不确定
19、，因此，综合性和逻辑性较强，它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质，培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。其具体形式多样，其中，存在性探索题是最常见的一类。五、数学建模的思想简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。这需要考生具备阅读理解材料、获取有用信息、建立数学模型、解决实际问题的能力。【要点梳理】1.新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）
20、注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.2.解答应用题的主要步骤有：(1)建模，它是解答应用解题的最关键的步骤，即在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题；(2)解模，即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论其解答的基本程序可表示如下。3.常见的数学模型及相关问题归类如下：建模相关内容方程工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、调配、面积等函数方案优化、风
21、险估算、成本最低、利润最大不等式最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算【典型例题】1.某公司为了扩大经营，决定购进6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34 万元。按该公司要求可以有几种购买方案？若该公司购进的6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种方案？2.某园林门票每张10 元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年八
22、年票分A、B、C 三类；A 类年票每张120 元，持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张60 元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2 元几类年票每张 440 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3 元 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80 元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进人该园林的次数最多的购票方式；求一年中进人该园林至少超过多少次时，购买A 类票比较合算3.如图所示，大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及 n 千米，设两条小路相距l 千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短抽水站应
23、建在哪里？O x y y=x 122yxx y 0 第一象限（+，+）第二象限（，+）第四象限（+，）第三象限（，）1 1-1-1 图 1 文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10P5O8 ZM2I2H1J1M8文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10P5O8 ZM2I2H1J1M8文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10P5O8 ZM2I2H1J1M8文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10P5O8 ZM2I2H1J1M8文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10P5O8 ZM2I2H1J1M8文档编码:CT2Z4V9O5G5 HY3T5R10
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