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1、【中考数学压轴题】-定值问题一、乘积、比值类型1（2009株洲）如图，已知ABC为直角三角形，ACB=90，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB及y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值yxQPFEDCBAO解析：（1）由可知，又ABC为等腰直角三角形，所以点A的坐标是（）. 3分（2） ，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得
2、： 解得 抛物线的解析式为 7分（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. 即，得 即，得又即FC(ACEC)为定值8. 12分二、定长、定角、定点、定值类型1（2011东营）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（及端点B、C不重合），过点D作直线y=xb交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S及b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，且tanDEO=若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1及矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积
3、；若改变，请说明理由考点：一次函数综合题。分析：（1）要表示出ODE的面积，要分两种情况讨论，如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E在AB边上，这时ODE的面积可用长方形OABC的面积减去OCD、OAE、BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化解答：解：（1）四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b=，若直线经过点B（3，
4、1）时，则b=，若直线经过点C（0，1）时，则b=1，若直线及折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图1，此时E（2b，0），S=OECO=2b1=b；若直线及折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2此时E（3，b），D（2b2，1），S=S矩（SOCD+SOAE+SDBE）=3（2b2）1+（52b）（b）+3（b）=bb2，S=；（2）如图3，设O1A1及CB相交于点M，OA及C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1及矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，MED=NED，又MDE=NED，MED=MDE
5、，MD=ME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，=，DH=1，HE=2，设菱形DNEM的边长为a，则在RtDHN中，由勾股定理知：a2=（2a）2+12，a=，S四边形DNEM=NEDH=矩形OA1B1C1及矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为2（2011遵义）如图，梯形ABCD中，ADBC，BC=20cm，AD=10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ及BD相交于点E，过E作EFBC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时
6、间为t（单位：秒，0t10）（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由考点：相似三角形的判定及性质；平行四边形的性质；梯形。分析：（1）如果四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=CP，根据P、Q两点的运动速度，结合运动时间t，求出DQ、CP的长度表达式，解方程即可；（2）PH的长度不变，根据P、Q两点的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20解答：解：（1）ADBC，BC=20cm，AD=10cm，点P、Q分别从B、D两点同时出发，
7、点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，DQ=t，PC=202t，若四边形PCDQ为平行四边形，则DQ=PC，202t=t，解得：t=；（2）线段PH的长不变，ADBH，P、Q两点的速度比为2：1，QD：BP=1：2，QE：EP=ED：BE=1：2，EFBH，ED：DB=EF：BC=1：3，BC=20，EF=，：=，PH=20cm点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式，推出DQ和PC的长度比为1：23（2011广州）已知关于x的二次函数y=ax2bxc（a0）的图象经过点C（0
8、，1），且及x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象及直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1S2为常数，并求出该常数考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根及系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线及x轴的交点；相似三角形的判定及性质。专题：计算题。分析：（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；（2）把A（1，0）代入得到0=ab1
9、，推出b=1a，求出方程ax2bx1=0，的b24ac的值即可；（3）设A（a，0），B（b，0），由根及系数的关系得：ab=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2（1a）x1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MNCD于M，交x轴于N，根据CPDBPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1S2的值即可解答：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=00c，解得：c=1，答：c的值是1（2）解：把A（1，0）代入得：0=ab1，b=1a，ax2bx1=0，b24ac=（1a）24a=a22a10，a1且a0，答：a的取值范围是a1且a0；（3）证明：
10、0a1，B在A的右边，设A（a，0），B（b，0），ax2（1a）x1=0，由根及系数的关系得：ab=，ab=，AB=ba=，把y=1代入抛物线得：ax2（1a）x1=1，解得：x1=0，x2=，CD=，过P作MNCD于M，交X轴于N，则MNX轴，CDAB，CPDBPA，=，=，PN=，PM=，S1S2=1，即不论a为何只，S1S2的值都是常数答：这个常数是1点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根及系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数及x轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行
11、计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中4（2011株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边及该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=2（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标解：（1）
12、设线段及轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点， OA=OB=2， (，) 将(，)代入抛物线y=ax2(a0)得，. （2）解法一：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)， . 又 ，易知，又， 5分设点（，）（），则， ，即点的横坐标为. 6分解法二：过点作轴于点，点的横坐标为， (1，)， 4分 ，易知， 5分设点（-，）（），则， ，即点的横坐标为. 6分（3）解法一：设（，）（），（，）（），设直线的解析式为：， 则， 7分得， 又易知， ， ， 9分.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）10分解法二：设（，）（），（，）（），直线及轴的交点为，根据，可得，化简，得. 8分又易知，
13、， ， 9分为固定值.故直线恒过其及轴的交点（,2） 10分说明：的值也可以通过以下方法求得.由前可知，由，得：，化简，得.5（2011河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，5），D （4，0）（1）求c，b （用含t的代数式表示）：（2）当4t5时，设抛物线分别及线段AB，CD交于点M，N在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S及t的函数关系式，并求t为何值时，要S=；
14、（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围考点：二次函数综合题。分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O及P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1t，求得M的坐标，则可求得AMP的度数，由S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b
15、=t；（2）不变如图6，当x=1时，y=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45；S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM=（t4）（4t16）+（4t16）+（t1）3（t1）（t1）=t2t+6解t2t+6=，得：t1=，t2=，4t5，t1=舍去，t=（3）t点评：此题考查了二次函数及点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合及方程思想的应用三、倒数和类型1（2011莆田）已知菱形ABCD边长为1ADC=60，等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB
16、的中点求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动记等边AEF的外心为点P 猜想验证：如图2猜想AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； 拓展运用：如图3，当AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。25解：（1）证明：如图I，分别连接OE、OF 四边形ABCD是菱形ABCDEFO图1 ACBD，BD平分ADCAO=DC=BC COD=COB=AOD=90 ADO=ADC=60=30 又E、F分别为DC、CB中点 OE=CD，OF=BC，AO=
17、AD OE=OF=OA 点O即为AEF的外心。 （2）猜想：外心P一定落在直线DB上。 证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，P JAD于JABCD图2EFIJPPIE=PJD=90，ADC=60IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPAPIEPJA， PI=PJ点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。为定值2.当AEDC时AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点ABCDEFP图3GMN连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为AEF的外心解法一：如图3设MN交BC于点G设DM=x，DN=y(x0yO)，则 CN=y1BCDA GBPMDPBG=DM=xCG=1xBCDA，GBPNDM=， = xy=2xy=2，即=28 / 8