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1、第8讲立体几何中的向量方法(二) 求空间角,最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,知 识 梳 理,1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,|cosa，n|,3.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).,|cosn1，n2|,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”
2、) 精彩PPT展示 (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.() (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.() (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(),答案(1)(2)(3)(4),2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为() A.45 B.135 C.45或135 D.90,答案C,答案C,答案30,5.(2017郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.,解析如图，建立空间直角坐标系，设AB
3、PA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0， 0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，,答案45,解(1)因为PA底面ABCD，CD平面ABCD， 所以PACD.又ADCD，PAADA， 所以CD平面PAD，,图1,图2,考点二利用空间向量求直线与平面所成的角 【例2】 (2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,规律方法利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在
4、平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,【训练2】 (2017福州质检)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160. (1)证明：ABB1C； (2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.,又ABC为等腰直角三角形，且ABAC， ACAB，ACAB1A， AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，ABB1C.,考点三利用空间向量求二面角(易错警示) 【例3】 (2017商丘模拟)如图
5、，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为AC的中点，ABB1D. (1)求证：平面ABB1A1平面ABC； (2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值； (3)求二面角BB1DC的余弦值.,(1)证明取AB中点为O，连接OD，OB1， B1BB1A，OB1AB. 又ABB1D，OB1B1DB1， AB平面B1OD，OD平面B1OD，ABOD. B1BC90，即BCBB1， 又ODBC，ODBB1，又ABBB1B， OD平面ABB1A1，又OD平面ABC， 平面ABC平面ABB1A1.,规律方法利用向量计算二面角大小的常用方法： (1)找法向量法：分别求出
6、二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,易错警示对于：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交； 对于：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；,对于：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法： 1通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负； 2当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面
7、角的位置关系来确定.,【训练3】 (2016兰州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC. (1)求证：OCPD； (2)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值.,(1)证明如图，连接OP. PAPB，O为AB的中点， OPAB. 侧面PAB底面ABCD， OP平面ABCD，OPOD，OPOC.,ODPC，OD平面OPC， ODOC，又OPOC，OPODO， OC平面OPD，OCPD.,法二取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD
8、中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2. 侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，,DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB， DPA为直线PD与平面PAB所成的角，,思想方法 1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.,(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时
9、，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.,易错防范 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|. 3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.,