《复变函数留数理论及其应用知识点总结.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数留数理论及其应用知识点总结.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六章 留数理论及其应用1.留数1.（定理 6.1 柯西留数定理）：?(?)?=?(?(?),?)?=?2.（定理 6.2）：设 a 为 f(z)的 m 阶极点，?(?)=?(?)(?-?)?,其中?(?)在点 a 解析，?(?)?，则?(?(?),?)=?(?-?)(?)(?-?)!3.（推论 6.3）：设 a 为 f(z)的一阶极点，?(?)=(?-?)?(?),则?(?(?),?)=?(?)4.（推论 6.4）：设 a 为 f(z)的二阶极点?(?)=(?-?)?(?)则?(?(?),?)=?(?)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：?(?(?),)=?(?)?-=
2、-?-?即，?(?(?),)等于 f(z)在点的洛朗展式中?这一项系数的反号7.（定理 6.6）如果函数 f(z)在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为?,?,?,则 f(z)在各点的留数总和为零。注：虽然 f(z)在有限可去奇点 a 处，必有?(?(?),)=?，但是，如果点 为 f(z)的可去奇点（或解析点），则?(?(?),)可以不为零。8.计算留数的另一公式：2?(?(?),)=-?(?(?)?,?)2.用留数定理计算实积分一.?(?,?)?型积分 引入?=?注：注意偶函数二.?(?)?(?)?+-型积分1.（引理 6.1 大弧引理）：?上?+?(?)=?则?+
3、?(?)?=?(?-?)?2.（定理 6.7）设?(?)=?(?)?(?)为有理分式，其中?(?)=?+?-?+?+?(?)?(?)=?+?-?+?+?(?)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m2;（2）Q(z)没有实零点于是有?(?)?=?(?(?),?)?+-注：?+?(?)?+?-?可记为?.?.?(?)?+-三.?(?)?(?)?+-型积分3.（引理 6.2 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周?:?=?(?，?充分大)上连续，且?+?(?)=?在?上一致成立。则?+?(?)?=?4.（定理 6.8）：设?(?)=?(?)?(?)，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件
4、：文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3
5、G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C
6、7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W
7、8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9
8、Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A
9、9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y
10、8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A53（1）Q 的次数比 P 高；（2）Q 无实数解；（3）m0 则有?(?)?=?(?(?)?,?)?+-特别的，上式可拆分成：?(?)?(?)+-?及?(?)?(?)+-?四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理 6.3 小弧引理）：?:?-?=?(?-?)?(
11、?)=?于?上一致成立，则有?(?)?=?(?-?)?五.杂例六.应用多值函数的积分3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数1.对数留数：?(?)?(?)?2.（引理 6.4）：（1）设 a 为 f(z)的 n 阶零点，则 a 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(?)?(?),?=?;（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(?)?(?),?=-?3.（定理 6.9 对数留数定理）：设 C是一条周线，f(z)满足条件：（1）f(z)在 C的内部是亚纯的；（2）f(z)在 C上解析且不为零。文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G
12、9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E1
13、0Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:C
14、X1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY
15、3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7
16、E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码
17、:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5
18、HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A54 则有?(?)?(?)?=?(?,?)-?(?,?)=?内零点个数-极点个数=?(?)?注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C上解析；（2）C上有 f0，有?(?,?)=?，即?(?)?(?)?=?(?,?)=?(?)?注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C有 f(z)0
19、4.（辅角原理）：?(?,?)-?(?,?)=?(?)?5.（定理 6.10 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数f(z)及?(z)满足条件：（1）它们在 C的内部均解析，且连续到C；（2）在 C上，|f(z)|?(z)|则函数 f(z)与 f(z)+?(z)在 C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即N(?+?,C)=N(f,C)6.(定理 6.11)：若函数 f(z)在区域 D 内但也解析，则在D 内 f(z)0.文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5
20、文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G
21、9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7
22、I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8
23、A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z
24、3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9
25、C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5文档编码:CX1U9Z3G9N5 HY3G9A9C7I3 ZL7E10Y8W8A5