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1、第六章 留数理论及其应用1.留数1.（定理 6.1 柯西留数定理 ）： ? (? )? = ? ?(?(? ),?)?=?2.（定理 6.2）：设 a 为 f(z)的 m 阶极点，? (? ) =?(?)(? - ?)?,其中?(?) 在点 a 解析， ? (? ) ? ，则?(? (? ),? ) =?(?-? )(?)(?- ? )!3.（推论 6.3）：设 a 为 f(z)的一阶极点，? (? ) = (? - ? )? (? ),则?(? (? ),? ) = ?(?)4.（推论 6.4）：设 a 为 f(z)的二阶极点?(?)=(? - ?)?(?)则?(? (? ),? ) = ?
2、 (?)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：?(? (? ),) =? ?(?)?-= -?-?即，?(?(?),)等于 f(z)在点的洛朗展式中?这一项系数的反号7.（定理 6.6）如果函数 f(z)在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为 ?,?,?,则 f(z)在各点的留数总和为零。注：虽然 f(z)在有限可去奇点 a 处，必有 ?(? (? ),) = ? ，但是，如果点 为 f(z)的可去奇点（或解析点），则?(? (? ),)可以不为零。8.计算留数的另一公式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
3、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 ?(? (? ),) = -?(? (?)?,?)2.用留数定理计算实积分一. ?(?,?)?型积分 引入? = ?注：注意偶函数二.?(?)?(?)?+- 型积分1.（引理 6.1 大弧引理 ）：?上? +?(? ) = ?则? + ?(?)?= ?(?- ?)?2.（定理 6.7）设? (? ) =? (? )?(? )为有理分式，其中? (? ) = ?+ ?-?+ ? + ?(?)? (? ) = ?+ ?-?+ ? + ?(?)为互质多项式，且
4、符合条件：（1）n-m2; （2）Q(z)没有实零点于是有? (? )? = ? ?(?(? ),?)?+- 注：? ?+?(?)?+?-?可记为 ?. ?. ?(?)?+- 三.?(?)?(?)?+- 型积分3.（引理 6.2 若尔当引理 ）：设函数 g(z)沿半圆周 ?:? = ?(? ，? 充分大 )上连续，且? +? (? ) = ?在?上一致成立。则? + ?(?)?= ?4.（定理 6.8）：设 ? (? ) =? (? )?(? )，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
5、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 （1）Q 的次数比 P 高；（2）Q 无实数解；（3）m0 则有?(?)? = ? ?(?(?)?,?)?+- 特别的，上式可拆分成：? (? )? (? )+- ?及? (? )?(? )+- ?四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理 6.3 小弧引理 ）：?:? - ? = ? ?(? - ?)?(?)= ?于?上一致成立，则有? ? ?(?)?= ?(?- ?)?五.杂例六.应用多值函数的积分3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数1.对数留数：?(?)?(?
6、)?2.（引理 6.4）：（ 1）设 a 为 f(z)的 n 阶零点，则 a 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(? )? (? ),?= ?;（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数?(?)?(?)的一阶极点，并且?(? )? (? ),?= -?3.（定理 6.9 对数留数定理 ）：设 C是一条周线， f(z)满足条件：（1）f(z)在 C的内部是亚纯的；（2）f(z)在 C上解析且不为零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4
7、页 - - - - - - - - - 4 则有?(?)?(?)? = ? (?, ? ) - ? (?, ? ) = ? 内零点个数 - 极点个数 =?(? )?注 1：当条件更改为：（ 1）f 在 Int(C)+C上解析；（ 2）C上有 f0，有? (?, ? ) = ? ，即?(?)?(?)? = ? (?, ? ) =?(? )?注 2：条件可减弱为： f(z)连续到边界 C ，且沿 C有 f(z)0 4.（辅角原理 ）：? (?, ? ) - ? (?, ? ) =?(? )?5.（定理 6.10 鲁歇（ Rouche）定理 ）：设 C 是一条周线，函数f(z)及? (z)满足条件：（1）它们在 C的内部均解析，且连续到C；（2）在 C上，|f(z)| ? (z)| 则函数 f(z)与 f(z)+ ? (z)在 C内部有同样多（几阶算几个）的零点，即N(? + ? ,C)=N(f,C) 6.(定理 6.11)：若函数 f(z)在区域 D 内但也解析，则在D 内 f (z)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -