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1、第四章 解析函数的幂级数表示法 1. 复级数的基本性质1. （定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛；2. （定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的0,存在正整数 N , 当nN且p为任何正整数时,注1：收敛级数通项必趋近于零； 注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不转变敛散性；3. （定理）收敛4. （定理）（1） ）肯定收敛的复级数可任意重排,不转变收敛性,不转变和；（2） ）两个肯定收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数,也肯定收敛于；5. 一样收敛的定义：对任给的0以及给定的,存在正整数 N=N,z ,当nN时,有式中6. 不一样收敛的定义7. （定
2、理 柯西一样收敛准就 ）：级数收敛的充要条件是：任给0,存在正整数 N=N ,使当 nN时,对一切,均有8. （定理 不一样收敛准就 ）：9. （优级数准就 ）：假如有正数列,使对一切,有| ,且正项级数收敛复级数在集E上肯定收敛且一样收敛；10. 优级数定义：称为的优级数；11. （ 定理）级数各项在点集 E上连续,且一样收敛于 fz,就和函数也在E上连续；12. （ 定理 积分求和符号可交换 ）级数的各项在曲线 C上连续,且一样收敛于fz ,就沿 C可逐项积分13. 内闭一样收敛：有界闭集上一样收敛14. （ 定理）在圆K： |z-a|R 内闭一样收敛的充要条件：对任意正整数,只要R,级数
3、在闭圆上一样收敛；15. （ 定理 魏尔斯特拉斯定理 ）：设（ 1）函数在区域 D内解析；（ 2）在D内内闭一样收敛于函数 fz:就：（ 1） fz 在D内解析；（ 2）（3） ）在D内内闭一样收敛于2. 幂级数1. （定理 阿贝尔定理 ）：幂级数在某点 a 收敛它必在圆K： |z-a|-a| （以a为圆心,圆周通过的圆）内肯定收敛且内闭一样收敛；2. （ 推论）：幂级数在某点 a 发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散；3. 收敛半径：圆周内部肯定收敛,圆周外部发散；4. （定理 收敛半径 R的求法 柯西- 阿达马公式 ）：（不能缺项）假如幂级数的系数 满意：或或就幂级数的收敛半径：注：上极
4、限：收敛子数列的极限值的上确界值；5. 例：（ 4）（缺项幂级数）6. （定理）：（1） ）幂级数的和函数 fz 在其收敛圆 K：|z-a|R （ 0R）内解析；（2） ）在K内,幂级数可逐项求导至任意阶,且收敛半径相同；（ 3）（ p=0,1,2, ）,即3. 解析函数的泰勒绽开式1. （定理 泰勒定理 ）：设fz在区域 D内解析, aD,只要圆 K：|z-a|R 含于D, 就fz 在K内能展成幂级数其中系数：|-a|=,02. （定理）函数fz 在区域 D内解析的充要条件： D内任一点 a的邻域内可绽开成 z-a 的幂级数,即泰勒级数3. 柯西不等式：泰勒系数满意：（00,且在收敛圆周C：
5、|z-a|R 上至少有一奇点（不行能到处解析）注：找收敛半径 =找最近奇点5. 一些初等函数的泰勒展式：（ 1）（2） ） cosz（3） ） sinz（4） ）多值函数（5） ）例题：（1） ）将在z=0展成泰勒级数（2） ）求的展式 4. 解析函数零点的孤立性及唯独性定理阶零点定义：, m=1称为单零点；注：泰勒绽开第一项即为 m阶导2. （定理）：不恒为零的解析函数 fz以a为m阶零点的充要条件为：在a的邻域内解析,且 03. （定理）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的4. （推论）：设（1） ）函数 fz在邻域K:|z-a|R内解析；（2） ） K内有fz的一列零点 a 收敛于a, fz在K内必恒为零5. （定理 唯独性定理 ）：（1） ）函数在区域D内解析；（2） ） D内有一个收敛于的点列 a ,其上等值在D内恒等6. （推论）设在区域内解析的函数在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等在D内恒等7. （推论）一切在实轴上成立的恒等式,只要等式两边在z平面上都是解析的等式在z平面上也成立8. （定理 最大模原理 等价于最小模原理 ）：函数 fz在D内解析|fz|在D内任何点都不能达到最大值,除非在 D内fz 恒等于常数9. （推论）：设：（ 1）fz在有界区域 D内解析,在闭域上连续；（ 2）就除fz为常数的情形外,即：最大值肯定在边界上取到,除非是常值函数；