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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 新课标人教版中学数学九年级下册其次十六章二次函数学问点总结及精品试题第一部分 基础学问1. 定义：一般地,假如yax2bxc a,b ,c是常数,a0,那么y叫做 x 的二次函数 . k；2. 二次函数yax2的性质（ 1）抛物线y2 ax的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. （ 2）函数yax2的图像与 a 的符号关系 . 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （ 3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3. 二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴
2、的抛物线 . 4. 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中hb,k4 acab2. 2 a45. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2yax 2bxc. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0时,开口向上；当a0时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同. 平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh. 特殊地, y 轴记作直线x0. 7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8
3、. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y2 axbxcaxb24acb2,顶点是（kb,4 ac4ab2）,对称轴是直线xb. 2 a4 ay2a2aaxh2的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为xh. 第 1 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. y 轴左侧；b0（即 a 、用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,
4、才能做到万无一失. 9. 抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为y 轴；b0（即 a 、b 同号）时,对称轴在2aaab 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . 0. （3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结
5、论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就ba10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标b2 yax2x0（ y 轴）（0,0 ）0, k yax2x0（y轴）yaxh2当a0xh h ,0 xh h , k h2开口向上yaxyax2bxc当a0时xbb4,aca开口向下2a2a411. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x、 y 的值,通常挑选一般式. x 2. x（2）顶点式：yaxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. x 轴的交点坐标x 、2x ,通常选用交点式：yaxx
6、 1（3）交点式：已知图像与12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线y2 axbxc得交点为 0, c . 第 2 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与 y 轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点 h ,ah2bhc. （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x
7、轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . （ 5 ） 一 次 函 数 y kx n k 0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 y ax 2bx c a 0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组y kx n2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时y ax bx cl 与 G 只有一个交点；
8、方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,由于 1x 、x 是方程 ax 2bx c 0 的两个根,故b cx 1 x 2 , x 1 x 2a a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a a其次部分 典型习题 . 抛物线 y x 22x2 的顶点坐标是（ D ）A.（2, 2） B.（1, 2） C.（1, 3） D.（ 1, 3） . 已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下列图,就以下结论正
9、确选项（ C ） ab0,c0 ab0,c 0 ab0, c0 ab0,c0 A名师归纳总结 第 , 题图BEF第 3 页,共 14 页DC第 4 题图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 二次函数y2 axbxc的图象如下列图,就以下结论正确选项（）Aa0,b 0,c0 Ba0,b0, c0 Ca0,b 0,c0 Da0,b0, c0 . 如图,已知 ABC 中,BC=8,BC上的高 h 4 ,D为 BC上一点, EF / / BC,交 AB于点 E,交 AC于点 F（EF 不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为 x ,就 DEF 的面积 y 关于
10、 x 的函数的图象大致为（ ）y4 4 4 4O 2 4 x O 2 4 O 2 4 O 2 4A B C DEF 4 x 2EF 8 2 , y x 4 x8 4 . 抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 轴分别交于 A、B两点,就 AB的长为 4 6. 已知二次函数 ykx 22k1 x1 与 x 轴交点的横坐标为 1x 、2x （xx 2）,就对于以下结论：当 x 2 时, y1；当 xx 2 时, y0；方程 kx 22 k1 x 10 有两个不相等的实数根 1x 、2x ； x 11,x 21；x 2 14k 2,其中全部正确的结论是（只需填写序号）k27. 已知直线 y 2 x
11、b b 0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为 y x b 10 x c . （1）如该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y 2 x b 上,试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BCAB交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过 C点,试确定直线 y 2 x b 的解析式 . 解：（1）y x 2 10 或 y x 24 x 62 2将 0（ ,b 代入,得 c b . 顶点坐标为 b 10, b 16 b 100,由题意得 2 b 10b b 16 b 100,2 4 2 4解得 b 1 10, b 2 6 . （2）y 2x 28. 有一个
12、运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数, 已知输入值为 2,0,1时, 相应的输出值分别为 5, 3 , 4 （ 1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范畴 . 名师归纳总结 第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,a2 2b 2c5c34, 解得a12就a02b0c3, 即2abbabc4ab1c3故所求的解析式为:yx22x3. （2 函数图象如下列图. 由图象可得
13、,当输出值y为正数时,输入值 x 的取值范畴是x1或x39. 某生物爱好小组在四天的试验争论中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情形相同 他们将一头骆驼前两昼 图请依据图象回答：夜的体温变化情形绘制成下第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼第 9 题的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要多少时间. 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少. 爱好小组又在争论中发觉,图中 10 时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式解：第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时 3922与 x 轴交于 A、a,使得
14、 a 的值；如不第三天12 时这头骆驼的体温是y1x22x2410x1610. 已知抛物线yax243 ax43B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数 ABC为直角三角形如存在,恳求出存在,请说明理由解：依题意,得点C的坐标为（ 0,4）x 24第 5 页,共 14 页设点 A、 B的坐标分别为（1x ,0）,（x ,0）,由ax243a x40,解得1x3,33a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 A、B 的坐标分别为（-3 ,0）,（4,0）27,试求 m的值 .第 6 页,共 14 页3aAB|43|,ACAO2OC25,3a
15、BCBO2OC2|4|2423 aAB2|432 |1623491689,3 a9 a23 a9a2aAC225,BC216169a2当AB2AC2BC2时, ACB 90 由AB2AC2BC2,得16892516169a2a9a2解得a14当a1时,点 B的坐标为（16 ,0）,3AB2625,AC225,BC2400499于是AB2AC2BC2当a1时, ABC为直角三角形4当AC2AB2BC2时, ABC 90 由AC2AB2BC2,得25168916169a2a9a2解得a49当a4时,43443,点 B（-3 , 0）与点 A 重合,不合题意93 a9当BC2AC2AB2时, BAC
16、 90 由BC2AC2AB2,得16162516899a29a2a解得a4不合题意9综合、,当a1时, ABC为直角三角形411. 已知抛物线y x2mxm2. （1）如抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧,并且AB5 ,试求 m的值；（2）设 C为抛物线与y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解: 1（ x1,0）,Bx 2,0 . 就 x1,x2 是方程 x2mxm2 0 的两根 . x 1 x 2m , x 1x 2=m2 0 即 m2 ; 又
17、AB x 1x 2 （x 1 + ）24 x x 2 5 , m 2 4m3=0 . 解得： m=1或 m=3舍去 , m的值为 1 . y C （2）Ma,b ,就 Na, b . M、N是抛物线上的两点, M O x a2mam2b,a2mam2b .N 得： 2a22m40 . a2 m2 . 当 m 2 时,才存在满意条件中的两点M、N. a2m . 这时 M、 N到 y 轴的距离均为2m , 又点 C坐标为（ 0,2m） , 而 S M N C = 27 , 21 2 （ 2m）2m=27 . 解得 m=7 . 12. 已知：抛物线yax 24 axt与 x 轴的一个交点为A（ 1,
18、0）一底的梯形ABCD的面积为 9,（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点, C 是抛物线上的一点,且以AB 为求此抛物线的解析式；（3）E 是其次象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 52 的点,假如 点 E 在（ 2）中的抛物线上,且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧,问：在抛物线的对称轴上 是否存在点 P,使 APE的周长最小 .如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由解法一：（1）依题意,抛物线的对称轴为x 2第 7 页,共 14 页抛物线与x 轴的一个交点为A（ 1,0）,由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（
19、 3,0）（2）抛物线yax 24 axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0 ）,a 124 a1 t0 t 3ayax 24 ax3 a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D（0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线yax24 ax3 a上, C（ 4,3a） AB2,CD 4梯形 ABCD的面积为 9,1ABCDOD9124 3a922 a 1所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24 ax3第 8 页,共 14 页（3）设点 E 坐标为（0x ,0y ）. 依题意,x 00,y 00,且y 0 x 05y 5 x
20、202设点 E 在抛物线yx 24x3上,y0x 0 24x 03解方程组y 05 2x 0,得x06,x051 2,4 x 03y015；y0y 02 x 04点 E 与点 A在对称轴 x 2 的同侧,点 E坐标为（1,5 ）42设在抛物线的对称轴x 2 上存在一点P,使 APE的周长最小 AE长为定值,要使 APE的周长最小,只须PAPE最小点 A 关于对称轴x 2 的对称点是B（ 3,0）,由几何学问可知,P是直线 BE与对称轴 x 2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为ymxn,1mn5,解得m1,224n3.3 mn0 .2直线 BE的解析式为y1 23把 x 2 代入上式,得y
21、122点 P 坐标为（ 2,1 ）2设点 E 在抛物线yx24x3上,y 2 x 04 x 03名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解方程组y 05x 0,x 03 .消去0y ,得x2 03x0302y 0422 x 0 0 . 此方程无实数根P（ 2,1 ）,使 APE的周长最小2综上,在抛物线的对称轴上存在点解法二：（1）抛物线 yax 24 axt 与 x 轴的一个交点为 A（ 1,0）,a 1 24 a 1 t0 t 3ayax 24 ax3 a令 y 0,即 ax 24 ax3 a0解得 x 11,x 23抛物线与 x 轴的另一
22、个交点 B 的坐标为（ 3,0）（2）由 yax 24 ax3 a,得 D（ 0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线yax 24 ax3 a 上, C（ 4,3a） AB2,CD 4梯形 ABCD的面积为 9,1 ABCD OD9解得 OD323 3 a 1所求抛物线的解析式为 yx 24 x3 或 yx 24 x3（ 3）同解法一得,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点如图,过点E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与x 轴的交点为F由 PF EQ,可得BF BQPF1PFPF1EQ55224点 P 坐标为（ 2,1 ）2以下同解法一13. 已知二次函数的图象如下列图（1
23、）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标Q当点 N在线段 BM上运动时（点N不与点 B,点 M（2）如点 N为线段 BM上的一点,过点N作 x 轴的垂线,垂足为点名师归纳总结 第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 重合）,设 NQ的长为 l ,四边形 NQAC的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范畴；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使 PAC为直角三角形 .如存在,求出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由；（4）将 OAC补成矩形,使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶
24、点落在矩 程）形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要运算过解：（1）设抛物线的解析式yax1 x2 ,2a12a1yx2x2其顶点 M的坐标是1,294（2）设线段 BM所在的直线的解析式为ykxb,点 N的坐标为 N（t ,h）,092 kb,解得k3,b31kb .242线段 BM所在的直线的解析式为y3 x 23h3 t 23,其中1t2s112122t3 t3t21t1222342 s 与 t 间的函数关系式是S3t21t1,自变量 t 的取值范畴是1t2422（3）存在符合条件的点P,且坐标是P 15,72 4,P 23,524设点 P 的坐标为 Pm,n,就n2
25、mm2PA 2m12n 2,PC2m 2n2 2,AC25分以下几种情形争论：i ）如 PAC90 ,就PC22 PAAC2点P 15,74第 10 页,共 14 页n2m2m22,m1 2mn2 n25.解得：m 15,m 21（舍去）22ii ）如 PCA90 ,就2 PAPC2AC2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - nm22m22,n225.m1 n2 m解得：m 33,m 40（舍去）点P 23,5a,此224iii）由图象观看得,当点P 在对称轴右侧时,PAAC,所以边 AC的对角 APC不行能是直角（4）以点 O,点 A（或点
26、 O,点 C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA（或边 OC）的对边上,如图时未知顶点坐标是点D（ 1, 2）,1,25 5,以点 A,点 C为矩形的两个顶点, 第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图 b,此时未知顶点坐标是EF4,585图 a 图 b 14. 已知二次函数yax22的图象经过点（1, 1）求这个二次函数的解析式,并判定该函数图象与x 轴的交点的个数解：依据题意,得 a2 1.a 1 这个二次函数解析式是 yx 22由于这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是（0, 2）,所以该函数图象与 x 轴有两个交点15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 1
27、11000 的比例图上,跨度 AB5 cm,拱高 OC0. 9 cm,线段 DE表示大桥拱内桥长,DE AB,如图（ 1）在比例图上,以直线 AB为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（2）（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）假如 DE与 AB的距离 OM0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2.14,运算结果精确到1 米）解：（1）由于顶点C在 y 轴上,所以设以这
28、部分抛物线为图象的函数解析式为,得a18y ax2910由于点 A（5,0）（或 B（5 ,0）在抛物线上,2所以0a5292210125因此所求函数解析式为y18x295x51251022A 在点 B 的左侧,如图二次函数（2）由于点 D、E 的纵坐标为9 , 所以 20918x29,得x5220125104所以点 D的坐标为（52,9 ）,点 E的坐标为（2052,9 ）2044所以DE525252442因此卢浦大桥拱内实际桥长为522110000. 012752385（米）16. 已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点yax 2bxc（a 0）的图象
29、经过点A、 B,与 y 轴相交于点C（1）a、 c 的符号之间有何关系. （2）假如线段OC的长度是线段OA、 OB长度的比例中项,试证a、 c 互为倒数；（3）在（ 2）的条件下,假如b 4,AB43,求 a、c 的值解 : （ 1）a、c 同号或当 a0 时, c0；当 a0 时, c0xx 2第 12 页,共 14 页（ 2）证明：设点A 的坐标为（x ,0）,点 B的坐标为（x ,0）,就0OA1x,OBx2,OCc2c据题意,1x 、x 是方程ax 2bxc0 a0 的两个根x 1xa由题意,得OAOBOC2,即cc2c2a所以当线段OC长是线段 OA、OB长的比例中项时,a、c 互
30、为倒数（ 3）当b4时,由（ 2）知,x 1x2b40, a0aa解法一： AB OBOAx2x 1x 1x224x 1x2,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB424 c16a4 ac2a3aa2AB 4 3,2 34 3得 a 1 c2.a 2解法二：由求根公式,x4 16 4 ac4 16 42 3,2 a 2 a ax 12 3,x 22 3a aABOBOAx 2x 12 3232 3a a aAB4 3,2 34 3,得 a1 c2a 217. 如图,直线 y 3 x 3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B, E 经过原
31、点 O及 A、B 两点3（1）C是 E上一点,连结 BC交 OA于点 D,如 COD CBO,求点 A、B、C的坐标；（2）求经过 O、C、 A三点的抛物线的解析式：（3）如延长 BC到 P,使 DP 2,连结 AP,试判定直线解：（1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图）PA与 E 的位置关系,并说明理由 A 、B 是直线y3 x 33分别与 x 轴、 y 轴的交点 A （3,0）,B,03第 13 页,共 14 页又 COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOAON1OA3,ENOB322223）连结 OEECOE3NCECEN3 C 点的坐标为（3,222（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为yaxx3 C（3,3）3a333a23222229y293x2283x为所求名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）tanBAO3, BAO 30 , ABO50 3由（ 1）知 OBD ABDOBD1ABO1603022 ODOBtan30 1 DA2 ADC BDO60 , PDAD2 ADP是等边三角形DAP60 BAP BAO DAP30 60 90 即 PAAB即直线 PA是 E 的切线