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1、新课标人教版中学数学九年级下册其次十六章二次函数学问点总结及精品试题第一部分 基础学问1. 定义：一般地,假如yax 2bxca,b,c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数 yax2的性质2（ 1）抛物线 yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.（ 2）函数 yax 的图像与 a 的符号关系 .当 a当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；0 时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（ 3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax 2（ a0）.3. 二次函数yax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4. 二次函数 yax
2、 2bxc 用配方法可化成：ya xh 2k的形式,其中hb4acb 2, k.222a4 a5. 二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式： yax2 ； yax 2k ； ya xh； ya xhk ； yax2bxc .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上；当a0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地, y 轴记作直线 x0.7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不
3、同 .8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法22b4acbb4acb 2b（ 1）公式法： yax2bxca x2a,顶点是（24a,2 a4 a）,对称轴是直线 x.2a（ 2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9. 抛物线 yax 2bxc 中,a,b, c 的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2
4、 中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线xb ,故： b 2a0 时,对称轴为y 轴； ba0 （即 a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧； ba0（即 a 、b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时, yc ,抛物线 yax2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）： c0 ,抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴
5、右侧,就10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标b0 .ayax2yax 2kx0 （ y 轴）（ 0,0 ）x0 （ y 轴）0,k 2ya xh2ya xh当 a0 时xhk开口向上xh h ,0 h , k yax2bxc当 a0 时bxb4acb 2开口向下2a,2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式： yax2bxc . 已知图像上三点或三对x、 y 的值,通常挑选一般式 .（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式：ya
6、 xx1xx2.12. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线 yax2bxc 得交点为 0,c .（ 2）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线 yax 2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .（ 3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、 x ,是对应一元二次方程axbxc0 的两212个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（
7、3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .（ 5 ） 一 次 函 数 ykxn k0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 yax2bxc a0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组ykxnyax2bx的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时cl 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .（ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为A x ,0 ,Bx ,0,由于x 、
8、 x 是1212方程 ax 2x1x2bxcb, x12a0 的两个根,故cx22a2b4cb24acABx1x2x1x2x1x24x1 x2aaaa其次部分 典型习题2 . 抛物线 y x 2x 2 的顶点坐标是（ D）A.（ 2, 2）B.（ 1, 2）C.（ 1, 3）D.（ 1, 3） . 已知二次函数yax2bxc的图象如下列图,就以下结论正确选项（C） ab 0, c 0 ab0, c 0 ab0, c 0 ab 0, c0AEFCBD第 , 题图第 4 题图 . 二次函数yax2bxc 的图象如下列图,就以下结论正确选项（）A a 0, b 0, c0B a 0, b 0,c 0
9、C a 0, b 0, c0D a 0, b 0,c 0 . 如图,已知ABC 中, BC=8,BC上的高 h4 , D为 BC上一点, EF / / BC ,交 AB 于点 E,交 AC于点 F（ EF 不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为 x ,就DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）y4444O24xO24O24O24ABCDEF4xEF82 x,yx24 x84 . 抛物线 yx22x3 与 x 轴分别交于 A、B 两点,就 AB 的长为 46. 已知二次函数y kx22k1x1与 x 轴交点的横坐标为x 、 x （ x x）,就对于以下结论：当x 2 时, y121
10、2 1；当xx2时, y 0；方程kx22 k1 x10 有两个不相等的实数根x1、x2 ；x11, x21 ；14k 2x2x1,其中全部正确的结论是（只需填写序号） k7. 已知直线 y2xb b0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为yx 2b10 xc .（ 1）如该抛物线过点B,且它的顶点 P 在直线y2 xb 上,试确定这条抛物线的解析式；（ 2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2 xb 的解析式 .解：（ 1） yx 210 或 yx 24x6b10b 216b100b10b 216b100将（0
11、, b 代入,得 cb . 顶点坐标为, ,由题意得2b,2424解得 b110,b26 .（2） y2x28. 有一个运算装置, 当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且 y 是 x 的二次函数, 已知输入值为2 ,0, 1 时,相应的输出值分别为 5,3 ,4 （ 1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y为正数时输入值 x 的取值范畴 .解：（ 1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc ,a 2 2就 a 02abb 2b 0cc 4c53, 即c32ababa14 , 解得b21c3故所求的解析式为 : yx 22x3.（ 2
12、函数图象如下列图.由图象可得,当输出值y 为正数时,输入值 x 的取值范畴是x1 或 x3 9. 某生物爱好小组在四天的试验争论中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情形相同 他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情形绘制成下图请依据图象回答：第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼的体温是上升的 . 它的体温从最低上升到最高需要多少时间.第三天 12 时这头骆驼的体温是多少.爱好小组又在争论中发觉,图中 10 时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式解：第一天中,从4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时第三天 12 时这
13、头骆驼的体温是3912第 9 题 yx162 x24 10x2210. 已知抛物线 yax2 43a x 34 与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数 a,使得 ABC为直角三角形如存在,恳求出a 的值；如不存在,请说明理由解：依题意,得点C 的坐标为（ 0, 4）设点 A、 B的坐标分别为（x1 , 0）,（ x2 , 0）,由 ax2 43a x430 ,解得x143, x23a点 A、B 的坐标分别为（ -3 , 0）,（4, 0）3aAB|BC43aBO23 |, ACOC2AO2|4 |23aOC25 ,42 AB 2|43a3 |21629a23491623a
14、9a89 , aAC 225 ,BC 2169a 216 当AB2AC 2BC 2 时, ACB 90由 AB 2AC 2BC 2 ,得 169 a28925a1 169a 216 解得当 aa41时,点 B 的坐标为（416 , 0）,3AB26259, AC 225 ,BC 240092于是 AB22ACBC当 a1时, ABC为直角三角形4当AC 2AB 2BC 2 时, ABC 902由 AC2216ABBC,得 2529a81692a9 a16 解得a4 9444当 a时,93a3493 ,点 B（-3 , 0）与点 A 重合,不合题意2当 BC22ACAB 时, BAC 90由 B
15、C 2AC 2AB 2 ,得169a 21625 169a 289 a解得a4不合题意9综合、,当 a1时, ABC为直角三角形411. 已知抛物线 y x 2 mx m 2.（ 1）如抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧,并且AB 5 ,试求 m的值；（ 2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积等于 27,试求 m的值 .解: 1（ x1,0） ,Bx 2, 0 .就 x1 , x 2 是方程 x2 mx m 2 0 的两根 . x 1 x2 m , x 1x2 =m 2 0 即 m 2 ;2又 AB x 1 x 2（
16、x +x ） 4x x5, m2 4m 3=0 .121 2解得： m=1或 m=3舍去 , m的值为 1 .yC（2） Ma,b ,就 N a, b .M、N 是抛物线上的两点,Ma 2mam22amam2b,xb.ON得： 2a2 2m4 0 . a2 m 2 .当 m 2 时,才存在满意条件中的两点M、N. a2m .这时 M、 N到 y 轴的距离均为2m ,又点 C 坐标为（ 0, 2 m） , 而 S M N C = 27 , 2 12（ 2 m）2m=27 .解得 m= 7 .12. 已知：抛物线yax24axt 与 x 轴的一个交点为 A（ 1,0）（ 1）求抛物线与 x 轴的另
17、一个交点 B 的坐标；（ 2） D 是抛物线与y 轴的交点, C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的梯形 ABCD的面积为 9, 求此抛物线的解析式；（ 3） E 是其次象限内到x 轴、 y 轴的距离的比为 5 2 的点,假如点 E 在（ 2）中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 APE的周长最小 .如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由解法一：（1） 依题意,抛物线的对称轴为x 2抛物线与 x 轴的一个交点为 A（ 1, 0）,由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3,0）（2） 抛物线y ax24
18、ax t 与 x 轴的一个交点为 A（ 1, 0 ）,a1 24a1 t0 t3ayax24ax3a D （ 0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C 在抛物线yax24ax3a上, C （ 4, 3a） AB 2, CD 4 梯形 ABCD的面积为 9,2 a 11 AB2CD OD9 1 24 3a9 2 所求抛物线的解析式为y x24x3或 y x4ax3 （3） 设点 E 坐标为（x0 ,y0 ） . 依题意,x00 ,y00 ,y05且 x02y05x0 2设点 E 在抛物线yx24x3 上, y x24x 3 0解方程组005y02x0,x0得16, x0 2 ,2y0x
19、04x03y015；5y0 4 点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧,点 E 坐标为（1 , 5 ）24设在抛物线的对称轴x 2 上存在一点 P,使 APE的周长最小 AE 长为定值,要使 APE的周长最小,只须PAPE最小 点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是 B（ 3, 0）, 由几何学问可知,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为y mx n ,15m 1 ,mn ,243m n0.解得2n 3 .2 直线 BE的解析式为 点 P 坐标为（ 2,y 121 ）x22x 32把 x 2 代入上式,得y 1 2设点 E 在抛物线 yx 24x3 上,
20、y004x03 y 5 x ,x02解方程组0y02x204x03.消去 y0 ,得 03x 030 2 0 . 此方程无实数根综上,在抛物线的对称轴上存在点P（ 2, 解法二：1 ）,使 APE的周长最小2（ 1）抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0）,a124a1t0 t 3ayax24ax3a 令 y 0,即ax2 4ax3a0 解得x1, x 3 12 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（ 3, 0）（ 2）由y ax24ax3a ,得 D（ 0,3a） 梯形 ABCD中, AB CD,且点 C 在抛物线yax24ax3a 上, C （ 4, 3a） AB
21、 2, CD 4 梯形 ABCD的面积为 9,1 AB CD 2OD 9 解得 OD 33a 3 a 1 所求抛物线的解析式为y x24x3或y x24x3 （ 3）同解法一得, P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点 如图,过点 E 作 EQ x 轴于点 Q设对称轴与x 轴的交点为 F由 PF EQ,可得BF PF 1 PF PF 1 BQEQ55224 点 P 坐标为（ 2,以下同解法一1 ）213. 已知二次函数的图象如下列图（ 1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（ 2）如点 N为线段 BM上的一点,过点 N 作 x 轴的垂线,垂足为点Q当点 N在线段 BM上运动时（点N 不与
22、点 B,点 M重合）,设 NQ的长为 l ,四边形 NQAC的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范畴；（ 3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使 PAC为直角三角形 .如存在,求出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在,请说明理由；（ 4）将 OAC补成矩形,使 OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要运算过程）解：（ 1）设抛物线的解析式yax1 x2 ,2a1 2 a1 yx 2x2其顶点 M的坐标是1 , 924（ 2）设线段 BM所在的直线的解析式为ykxb ,点 N 的坐标为 N（t
23、 , h）,02kb,391 k42解得 k, b3 b.2 线段 BM所在的直线的解析式为y3 x3 2h3 t 23 ,其中 1t22 s11221 222 t3t33 t 241 t12 s与 t 间的函数关系式是S3 t 241 t1 ,自变量 t 的取值范畴是 1t2 225735（ 3）存在符合条件的点P,且坐标是 P1, P2,2424设点 P 的坐标为 Pm, n ,就 nm2m2 PA2 m1 2n2 , PC 2m2n22,AC 25 分以下几种情形争论：i ）如 PAC 90,就PC2PA2AC2 nm 22mn5m2,222 m12n5.P57解得： m1, m21（舍
24、去） 点 1, 2ii ）如 PCA 90,就24PA2PC2AC 2 nm22m1m2,222nm n25.解得： m33 , m420 （舍去）点 P23 , 524iii ）由图象观看得,当点P 在对称轴右侧时,PAAC ,所以边 AC的对角 APC不行能是直角（ 4）以点 O,点 A（或点 O,点 C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA（或边 OC）的对边上,如图 a,此时未知顶点坐标是点D（ 1, 2）,以点 A,点 C为矩形的两个顶点, 第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图 b,此时未知顶点坐标是E125 5F4 , 85514. 已知二次函数图 a图 byax22
25、 的图象经过点（ 1, 1）求这个二次函数的解析式,并判定该函数图象与x 轴的交点的个数解：依据题意,得a 2 1. a 1 这个二次函数解析式是yx22 由于这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是（0, 2）,所以该函数图象与x 轴有两个交点15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 1 11000 的比例图上,跨度 AB 5 cm,拱高 OC 0. 9 cm,线段 DE表示大桥拱内桥长, DE AB,如图（ 1）在比例图上,以直线 AB 为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（ 2）（ 1）求出图（ 2）上以这一部分抛
26、物线为图象的函数解析式,写出函数定义域；（ 2）假如 DE与 AB 的距离 OM 0. 45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4 ,运算结果精确到1 米）解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ax2 9 10由于点 A（5, 0）（或 B（25 , 0）在抛物线上,所以20 a 5 2 9210,得 a18 125因此所求函数解析式为y18125x 2 9 5102x5 2（ 2）由于点 D、E 的纵坐标为9 , 所以 9 2020 18125x2 9 ,得 x 52 104所以点 D 的坐标为（ 542 , 9 ）,点 E 的坐标为
27、（ 52042 , 9 ）20所以 DE 542542 52 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为521100020.012752385 （米）16. 已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点, A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点A 在点 B 的左侧,如图二次函数y ax2 bxc （ a0）的图象经过点 A、 B,与 y 轴相交于点 C（ 1） a、 c 的符号之间有何关系 .（ 2）假如线段 OC的长度是线段 OA、 OB长度的比例中项,试证a、 c 互为倒数；（ 3）在（ 2）的条件下,假如b 4,AB43 ,求 a、c 的值解:（ 1） a、c 同号 或当 a 0 时, c 0；当 a 0 时
28、, c 0（ 2）证明：设点A 的坐标为（x1,0）,点 B 的坐标为（x2 , 0）,就0 x1 x2 OAx1 , OBx2 , OCc 据题意,x 、 x 是方程ax2 bxc0a0 的两个根 xxc 1由题意,得 OA2OBOC 2 ,即12ac c 2c2 a所以当线段 OC长是线段 OA、OB长的比例中项时,a、c 互为倒数（ 3）当 b4 时,由（ 2）知,x x b4 0 , a 0解法一： AB OB OA121x x2a12 x x 2a124 x x,AB 4 2a4 c a164ac23a2aAB43 , 23 4a3 得 a1 c 2.2解法二：由求根公式,x 416
29、4ac 4 2a164 23 ,2aa1x 23 , x 23 2aa2ABOB OAx2 x1a3 2a3 23 aAB43 ,23 4a3 ,得a 12 c 217. 如图,直线 y3 x3 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B, E 经过原点 O及 A、B 两点3（ 1）C 是 E 上一点,连结 BC交 OA于点 D,如 COD CBO,求点 A、B、C的坐标；（ 2）求经过 O、C、 A 三点的抛物线的解析式：（ 3）如延长 BC到 P,使 DP 2,连结 AP,试判定直线 PA 与 E 的位置关系,并说明理由解：（1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图） A 、B 是直线 y3 x
30、3 分别与 x 轴、 y 轴的交点 A （ 3,0）, B 0,33 又 COD CBO CBO ABC C 是的中点 EC OA ON1 OA23 , ENOB3 222连结 OE ECOE3 NCECEN33 C 点的坐标为（, 2232）（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为yax x3 C （ 3 ,3）3a3 33 a23 22 y23 x29222923 x 为所求8（3）tanBAO3, BAO30, ABO 503由（ 1）知 OBD ABDOBD1ABO 2160230 OD OB tan30 1 DA 2 ADC BDO 60, PD AD 2 ADP是等边三角形 DAP 60 BAP BAO DAP 30 60 90即PA AB即直线 PA是 E 的切线