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1、高考冲刺数形结合的思想编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为货色、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正表达数形结合的轻便、敏锐特征的多是填空小题。从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，猜想当前可以有所加强。由于对数形结合等思想方法的调查，是对数学知识在更高层次的抽象跟归结综合才干的调查，是对老师思想品质跟数学技能的调查，是新课标高考清楚的一个命题倾向。1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者运用数量关系来研究图形的性质，是一种要紧的数学思想方法。它可以使抽象的征询题具体化，复杂的征询
2、题复杂化。“数缺形时少直不雅观，形少数时难入微，运用数形结合的思想方法可以深化提示数学征询题的本质。2数形结合的思想方法在高考中占据特不要紧的地位，考纲指出“数学科的命题，在调查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的调查，注重对数学才干的调查，敏锐运用数形结合的思想方法，可以有效提升思想品质跟数学技能。3“对数学思想方法的调查是对数学知识在更高层次的抽象跟归结综合的调查，调查时要与数学知识相结合，用好数形结合的思想方法，需求在往常深造时留心理解不雅观点的几多何意思跟图形的数量表示，为用好数形结合思想打下巩固的知识基础。4函数的图象、方程的曲线、聚拢的文氏图或数轴表示等，是“以形示数，而分析
3、几多何的方程、歪率、距离公式，向量的坐标表示那么是“以数助形，尚有导数更是数形结合的产物，这些都为我们供应了“数形结合的知识平台。5在数学深造跟解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题路途，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的结果，“数形结合千般好，数形不离万事休。【知识升华】纵不雅观多年来的高检验题，奇异运用数形结合的思想方法处置一些抽象的数学征询题，可起到事半功倍的结果，数形结合的重点是研究“以形助数。是通过“以形助数将所研究的代数征询题转化为研究其对应的几多何图形或“以数助形借助数的精确性来阐明形的某种属性，把抽象的数学语言
4、与直不雅观的图形结合起来考虑，也的确是将抽象思想与抽象思想无机地结合起来，是处置征询题的一种数学思想方法。它能使抽象征询题具体化，复杂征询题复杂化，在数学解题中存在极为独特的策略指导与调节感染。具体地说，数形结合的全然思路是：按照数的构造特色，构造出与之呼应的几多何图形，并运用图形的特色跟法那么，处置数的征询题；或将图形信息全部转化成代数信息，使处置形的征询题转化为数量关系的讨论。选择题，填空题等客不雅观性题型，由于不恳求解答过程，就某些题目而言，这给老师制作了敏锐运用数形结合思想，寻寻快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要留心辅之以严峻的逻辑推理，“形上的直不雅观是不足严密的。
5、1高检验题对数形结合的调查要紧涉及的几多个方面：1聚拢征询题中Venn图韦恩图的运用；2数轴及直角坐标系的广泛运用；3函数图象的运用；4数学不雅观点及数学表达式几多何意思的运用；5分析几多何、立体几多何中的数形结合。2.数形结合思想处置的征询题常有以下几多种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几多何意思研究函数的最值征询题跟证明不等式；(5)构建立体几多何模型研究代数征询题；(6)构建分析几多何中的歪率、截距、距离等模型研究最值征询题；(7)构建方程模
6、型，求根的个数；(8)研究图形的形状、地位关系、性质等3运用数形结合思想分析处置征询题时，要按照三个原那么：1等价性原那么。要留心由于图象不克不迭精确描述数量关系所带来的负面效应；2双方性原那么。既要停顿几多何直不雅观分析，又要停顿呼应的代数抽象探求，仅对代数征询题停顿几多何分析随便出错；3复杂性原那么。不要为了“数形结合而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行跟是否有利；二要选择好攻破口，适当设参、用参、树破关系，做好转化；三要开掘隐含条件，精确界定参变量的取值范围，特不是运用函数图象时应办法选择动直线与定二次曲线为佳。4停顿数形结合的信息转换，要紧有三个路途：1树破坐标系，引入参变数，化静
7、为动，以动求解，如分析几多何；2构构成转化为熟悉的函数模型，运用函数图象求解；3构构成转化为熟悉的几多何模型，运用图形特色求解。5.稀有的“以形助数的方法有：(1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；(2)借助于函数图象、地域(如线性方案)、向量本身的几多何背景；(3)借助于方程的曲线，由方程代数式，遥想其几多何背景，并用几多何知识处置征询题，如点，直线，歪率，距离，圆及其他曲线，直线跟曲线的地位关系等，对处置代数征询题都有要紧感染，应充分予以注重.。【模典范题】典范一、数轴、韦恩图在聚拢中的运用【例1】设聚拢A=x|1x4，聚拢B=x|-2x-30,那么A=A(1,4)B(3,4)C.(1,
8、3)D(1,2)3,4【思路点拨】先求出聚拢B，再运用数轴画图求解。【答案】B；【分析】B=x|-2x-30=，A=x|1x4=。应选B.【总结升华】不等式型聚拢的交、并集素日可以运用数轴停顿，解题时留心验证区间端点是否符合题意。举一反三：【变式1】设全集那么AB【答案】B；【分析】画出韦恩图，可知。【变式2】设立体点集，那么所表示的立体图形的面积为ABCD【答案】D；【分析】由可知或者，在一致坐标系中做出立体地域如图，由图象可知的地域为阴影部分，按照对称性可知，两部分阴影面积之跟为圆面积的一半，因而面积为，选D.典范二、运用数形结合思想处置函数征询题【例2】已经清楚，假设的最小值记为，写出的
9、表达式。【思路点拨】按照函数的对称轴与区间的地位关系，结合函数图象判定在上的增减情况，进而可以清楚在那里取最小值。【分析】由于，因而抛物线的对称轴为，开口向上，当，即时，在t，t+1上单调递增如图所示，当x=t时，最小，即。当，即时，在上递减，在上递增如图。事前，最小，即。当，即时，在t，t+1上单调递减如图。当x=t+1时，最小，即，图图图综合得。【总结升华】通过二次函数的图象判定解题思路，直不雅观、清晰，表达了数形结合的优越性。应特不留心，关于二次函数在闭区间上的最值征询题，应抓住对称轴与所给区间的相对地位关系停顿讨论处置。起首判定其对称轴与区间的地位关系，结合函数图象判定在闭区间上的增减
10、情况，然后再判定在那里取最值。举一反三：【变式1】已经清楚函数在0x1时有最大年夜值2，求a的值。【分析】，抛物线的开口向下，对称轴是，如以下列图：1231当a0时，如图1所示，当x=0时，y有最大年夜值，即。1a=2。即a=1，适宜a0。2当0a1时，如图2所示，当x=a时，y有最大年夜值，即。a2a+1=2，解得。0a1，不合题意。3当a1时，如图3所示。当x=1时，y有最大年夜值，即。a=2。综合123可知，a的值是1或2【变式2】已经清楚函数。写出的单调区间；设，求在0，a上的最大年夜值。【分析】如图：1的单调增区间：，；单调减区间：1，22当a1时，事前，当，。例3.重庆校级模拟定义
11、在R上的奇函数fx，当x0时，fx=，那么关于x的函数Fx=fxa0a1的所有零点之跟为A12aB2a1C12aD2a1【思路点拨】函数Fx=fxa0a1的零点转化为：在一致坐标系内y=fx，y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，调查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，按照奇函数fx在x0时的分析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【答案】A【分析】当x0时，fx=；即x0，1时，fx=x+11，0；x1，3时，fx=x21，1；x3，+时，fx=4x，1；画出x0时fx的图象，再运用奇函数的对称性，画出x0时fx的图象，如以下列图；那么直线y=a，与y=fx的图象有5个交点
12、，那么方程fxa=0共有五个实根，最右边两根之跟为6，最右边两根之跟为6，x1，0时，x0，1，fx=x+1，又fx=fx，fx=x+1=1x1=log21x，中间的一个根称心log21x=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的跟为12a应选A【总结升华】这类题“万变不离其宗只需操纵全然初等函数的图像及其图像变卦口诀再独特函数性质即可轻松处置.举一反三：【变式】2016渭南一模设函数fx是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有fx+2=fx当1x0时，fx=x2，假设直线y=x+m与函数y=fx的图象有两个差异的大年夜众点，那么实数m的值为A2kkZB2k+kZC2k或2kkZD2k或2
13、k+kZ【答案】D【分析】fx+2=fx函数的周期是2，假设0x1，那么1x0，那么fx=x2，函数fx是偶函数，fx=x2=fx，即fx=x2，0x1，作出函数fx的图象如图：作出直线y=x+m，在一个周期1，1内，当直线通过点1，1时，两个函数有两个交点，现在m=0，当直线与y=x2相切时，两个函数有两个交点，由x2=x+m得x2x+m=0，由判不式=0，即14m=0，得m=，函数的周期是2k，m=2k或2k+kZ，应选D【变式2】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题8图所示，那么以下结论中肯定成破的是A函数有极大年夜值跟极小值B函数有极大年夜值跟极小值C函数有极大年夜值跟极小值
14、D函数有极大年夜值跟极小值【答案】D；【分析】由图象可知事前，因而现在，函数递增.事前，因而现在，函数递减.事前，因而现在，函数递减.事前，因而现在，函数递增.因而函数有极大年夜值，极小值,选D.典范二：运用数形结合思想处置方程中的参数征询题【例4】假设关于x的方程有两个差异的实数根，务虚数m的取值范围。【思路点拨】将方程的左右双方分不看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。【分析】画出跟的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。又由当曲线与曲线相切时，二者只需一个交点，设切点，那么，即，解得切点，又直线过切点，得，事前，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
15、误区警示：作图时，图形的相对地位关系不精确，易构成结果差错。【总结升华】1处置这类征询题时要精确画出函数图象，留心函数的定义域。2用图象法讨论方程特不是含参数的方程解的个数是一种行之有效的方法，值得留心的是起首把方程双方的代数式看作是两个函数的表达式偶尔可以先作适当调解，以便于作图，然后作出两个函数的图象，由图求解。3在运用数形结合思想分析征询题跟处置征询题时，需做到以下四点：要精确理解一些不雅观点跟运算的几多何意思以及曲线的代数特色；要适当设参，公正用参，树破关系，做好转化；要精确判定参数的取值范围，以防重复跟遗漏；全心遥想“数与“形，使一些较难处置的代数征询题几多何化，几多何征询题代数化，
16、便于征询题求解。举一反三：【变式】假设关于x的方程在1，1内有1个实根，那么k的取值范围是。【分析】把方程左、右两侧看作两个函数，运用函数图象大年夜众点的个数来判定方程根的个数。设x1，1xy=k如图：当或时，关于x的方程在1，1内有1个实根。【例5】假设方程在内有唯一解，务虚数m的取值范围。【思路点拨】将方程的左右双方分不看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解。【分析】1原方程可化为设在一致坐标系中画出它们的图象如图。由原方程在0，3内有唯一解，知的图象只需一个大年夜众点，可见m的取值范围是或。举一反三：【变式1高清课程数形结合的思想ID:403936】假设不等式logaxsi
17、n2x(a0，a1)对任意x都成破，那么a的取值范围为_【分析】记y1logax，y2sin2x，原不等式相当于y1y2，作出两个函数的图象，如以下列图，知当y1logax过点A时，a，因而当ay2.【变式2】假设02，且方程有两个差异的实数根，务虚数m的取值范围及这两个实根的跟。【分析】将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个差异的交点时，求a的范围及+的值。设，在一致坐标中作出这两个函数的图象由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个差异交点，即对应方程有两个差异的实数根，假设，设原方程的一个根为，那么另一个根为.假设，设原方程的一个根为，那么另一个根为，.因而这两个实根的跟为或.且由对称性
18、可知，这两个实根的跟为或。典范三：按照式子的构造，赐与式子适当的几多何意思，数形结合解答【例6】求函数的最大年夜值跟最小值【思路点拨】可变形为，故可看作是两点跟的连线歪率的倍，只需求出范围即可；也可以运用三角函数的有界性，反解求解。方法一：数形结合可看作是单位圆上的动点，为圆外一点，如图，由图可知：，显然，设直线的方程：，解得，方法二：令，【总结升华】一些代数式所表示的几多何意思屡屡是解题的关键，故要熟练操纵一些代数式的几多何意思：1表示动点x，y与定点a，b两点间的距离；2表示动点x，y与定点a，b两点连线的歪率；3求ax+by的最值，的确是求直线ax+by=t在y轴上的截距的最值。举一反三
19、：【变式1】已经清楚圆C：(x+2)2+y2=1，Px，y为圆C上任一点。1求的最大年夜、最小值；2求的最大年夜、最小值；3求x2y的最大年夜、最小值。【分析】遥想所求代数式的几多何意思，再画出草图，结合图象求解。1表示点x，y与原点的距离，由题意知Px，y在圆C上，又C2，0，半径r=1。|OC|=2。的最大年夜值为2+r=2+1=3，的最小值为2r=21=1。2表示点x，y与定点1，2两点连线的歪率，设Q1，2，过Q点作圆C的两条切线，如图：将拾掇得kxy+2k=0。，解得，因而的最大年夜值为，最小值为。3令x2y=u，那么可视为一组平行线系，当直线与圆C有大年夜众点时，可求得u的范围，最
20、值必在直线与圆C相切时取得。这时，。x2y的最大年夜值为，最小值为。【变式2】求函数的最小值。【分析】那么y看作点Px，0到点A1，1与B3，2距离之跟xA(1,1)A(1,1)B(3,2)y0P如图，点A1，1关于x轴的对称点A1，1，那么即为P到A，B距离之跟的最小值，【例7】(2016山东高考)假设变量x，y称心那么x2+y2的最大年夜值是()(A)4(B)9(C)10(D)12【思路点拨】运用约束条件画出目标函数可行域，寻寻目标函数几多何意思求解。【答案】A；【分析】由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以A(0，-3)，B(0，2)，C(3，-1)为顶点的三角形地域，x2+y2表示点(x，y)到原点距离的平方，最大年夜值必在顶点处取到，阅历证最大年夜值为|OC|210，应选C.【总结升华】线性方案是借助立体地域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质处置征询题。举一反三：【变式】假设方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分不为椭圆、双曲线的离心率，那么的取值范围是AB或CD或【分析】如图xy1由题知方程的根，一个在0，1之间，一个在1，2之间，那么，即下面运用线性方案的知识，那么可看作可行域内的点与原点O0，0连线的歪率ab0(2,1)a+b+1=02a+b+3=0那么，选C。