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1、高考总复习：双数编稿：孙永钊审稿：张林娟【考大年夜纲求】1.理解双数的全然不雅念，理解双数相当的充要条件；2.理解双数的代数表示方法及其几多何意思；能将代数方法的双数在复破体上用点或向量表示，并能将复破体上的点或向量所对的双数用代数方法表示。3.会停顿双数代数方法的四那么运算，理解两个具体相加、相减的几多何意思.【知识搜集】【考点梳理】考点一、双数的有关不雅念1.虚数单位:1它的平方等于，即；2与1的关系:的确是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；3实数可以与它停顿四那么运算，停顿四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成破；4的周期性：，.2.不雅念形如的数叫双数，叫双数的实部，叫双
2、数的虚部。说明：这里随便疏忽但却是列方程求双数的要紧依照。3.双数集全体双数所成的聚拢叫做双数集，用字母表示；双数集与不的数集之间的关系：4.双数与实数、虚数、纯虚、0的关系：关于双数，当且仅事前，双数是实数；当且仅事前，双数叫做虚数；当且仅当且时，双数叫做纯虚数；当且仅事前，双数的确是实数0.因而双数的分类如下:5.双数相当的充要条件两个双数相当的定义：假设两个双数的实部跟虚部分不相当，那么我们就说这两个双数相当。即：假设，那么.特不地:.应当理解:1一个双数一旦实部、虚部判定，那么谁人双数就唯一判定；反之一样.2双数相当的充要条件是将双数转化为实数处置征询题的基础.一般地，两个双数只能说相
3、当或不相当，而不克不迭比较大小。假设两个双数全然上实数，就可以比较大小；也只需当两个双数全是实数时才能比较大小。6.共轭双数：两个双数的实部相当，同时虚部相反，那么这两个双数叫做共轭双数。即：双数跟互为共轭双数。考点二：双数的代数表示法及其四那么运算1.双数的代数方法:双数素日用字母表示，即，把双数表示成的方法，叫做双数的代数方法。2.四那么运算；双数除法素日上下同乘分母的共轭双数：。考点三：双数的几多何意思1.复破体、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，双数可用点表示，谁人树破了直角坐标系来表示双数的破体叫做复破体，也叫高斯破体，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表理想数。关于虚轴上的点原
4、点对应的有序实数对为，它所判定的双数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。双数集C跟复破体内所有的点所成的聚拢是逐一对应关系，即双数复破体内的点这是因为，每一个双数有复破体内唯一的一个点跟它对应；反过来，复破体内的每一个点，有唯一的一个双数跟它对应，这的确是双数的一种几多何意思，也的确是双数的另一种表示方法，即几多何表示方法。2.双数的几多何表示1坐标表示:在复破体内以点表示双数；2向量表示:以原点为起点，点为起点的向量表示双数.向量的长度叫做双数的模，记作.即.要点说明:1向量与点以及双数有逐一对应；2两个双数不全是实数时不克不迭比较大小，但它们的模可以比较大小。3.双数加法的
5、几多何意思：假设双数、分错误应于向量、，那么以、为单方作平行四边形，对角线表示的向量的确是的跟所对应的向量。4.双数减法的几多何意思：两个双数的差与连接这两个向量起点并指向被减数的向量对应。要点说明:1.双数的加、减、乘、除运算一般用代数方法停顿；2.求解打算时，要充分使用i的性质打算征询题；3.在双数的求解过程中，要留心双数全体思想的控制跟使用；4.双数征询题实数化是处置双数征询题的最全然也是最要紧的思想方法，其依照是双数的有关不雅念跟两个双数相当的充要条件。【模典范题】典范一：双数的有关不雅念【例1】设双数，试务虚数取何值时，双数分不称心：(1)是纯虚数；(2)对应的点位于复破体的第二象限
6、。【思路点拨】使用双数的有关不雅念易求得。【答案】(1)破即时，双数是纯虚数；(2)破即或时，双数对应的点位于复破体的第二象限.【总结升华】复习中，不雅念肯定要结合意思落实到位，对双数的分类条件要留心其充要性，对双数相当、共轭双数的不雅念的使用也是如斯；对一些不雅念的等价表达式要熟知。比如：()；是纯虚数；举一反三：【变式1高清视频例题1】双数为纯虚数，那么实数a为()A2B2CD.【答案】A【分析】，由纯虚数的不雅念知：0，a2.【变式2】求当实数取何值时，双数分不是：1实数；2虚数；3纯虚数。【分析】1破即或时，双数为实数；2破即且时，双数为虚数；3破即时，双数为纯虚数.【变式2】已经清楚
7、双数称心且,那么双数A.必为纯虚数B.是虚数但不用定是纯虚数C.必为实数D.可以是实数也可以是虚数【答案】法1设，有,.那么，故应选C。法2,.法3，.典范二：双数相当【例2】已经清楚聚拢M=a+3+b2-1i,8,聚拢N=3，a2-1+(b+2)同时称心MNM，MN，求整数a,b【思路点拨】先揣摸两聚拢元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。【
8、总结升华】1、a+bi=c+di.2、使用双数相当可实现双数征询题实数征询题的转化。解题时要把等号单方的双数化为标准的代数方法。注：关于双数z，假设不给出代数方法，可设z=a+bi(a,bR)。举一反三：【变式】已经清楚双数z1称心(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，双数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.【分析】设z2=a+2i(aR)，由已经清楚双数z1称心(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已经清楚z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，那么虚部4-a=0，即a=4，那么双数z2=4+2i.典范三：双数的代数方法的四那么运算【例
9、3】打算：【思路点拨】双数除法素日上下同乘分母的共轭双数。【分析】【总结升华】双数除法关键是把分母实数化，素日上下同乘分母的共轭双数，使用停顿运算。举一反三：【变式1】【答案】：原式=【变式2】双数().B.C.D.【分析】选C解法一：解法二：验证法验证每个选项与1-2i的积，恰恰等于5i的的确是答案.【例4】已经清楚z1，z2为双数，(3i)z1为实数，且|z2|求z2.【思路点拨】可不设代数方法使用全体代换的思想求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|z2(55i)|50，z2(55i)50，【总结升华】1、(1)双数的加法、减法、乘法运算可以类比
10、多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭双数，留心要把i的幂写成最简方法.(2)记取以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN).2、双数的四那么运算类似于多项式的四那么运算，现在含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分不吞并即可，但要留心把i的幂写成最庞杂的方法，在运算过程中，要熟透i的特征及熟练使用运算技艺。举一反三：【变式1】设，为虚数单位，那么的值为【分析】因为，因而【答案】8【变式2】设i为虚数单位，那么双数A.B.C.D.【分析】选D.典范三：双数的几多何意思例5.(春江苏校级其中)已经
11、清楚双数，在复破体内对应的点分不为.(1) 假设是纯虚数，求m值；(2) 假设在复破体内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.【思路点拨】在复破体内以点表示双数，所对应的点在第四象限等价于的实部大年夜于零而虚部小于零。【分析】(1)双数是纯虚数，解得m=0.(2)双数在复破体内对应的点位于第四象限解之得【总结升华】每一个双数有复破体内唯一的一个点跟它对应；反过来，复破体内的每一个点，有唯一的一个双数跟它对应。举一反三：【变式1】(春徐州期末)已经清楚是虚数单位，双数称心(1)求；(2)假设双数在复破体内对应的点在第一象限，务虚数x的取值范围.【分析】(1)由得(2)对应的点在第一象限解得实数的
12、取值范围是.【变式2高清视频双数例题2】在复破体内，双数65i，23i对应的点分不为A，B，假设C为线段AB的中点，那么点C对应的双数是()A48iB82iC24iD4i【答案】C【分析】双数65i对应的点为A(6,5)，双数23i对应的点为B(2,3)使用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的双数为24i.典范四：化双数征询题为实数征询题【例6】已经清楚互为共轭双数，且,求.【思路点拨】设代入条件，把双数征询题转化为实数征询题，易得、的两个方程。【分析】设，那么,代入原等式得：，解得：或或或，或或或。【总结升华】双数定义：“形如的数叫双数就意味凡是双数都能写成如斯，求一个双数
13、，使用一个双数都可通过这一方法将征询题化虚为实；设出双数的代数方法，把双数征询题转化为实数征询题来研究是处置双数征询题的常用方法。举一反三：【变式1】已经清楚双数，务虚数使【答案】：,，解得或【变式2】令,求使方程成破的双数.【答案】：令()，那么原方程化为:即，解之有或(舍去事前，双数.【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.【思路点拨】根的判不式只有用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两双数相当，化虚为实。【分析】设为方程的一个实根，那么有即，解得.【总结升华】设出实根，化虚为实，再使用两双数相当。举一反三：【变式】已经清楚方程有实根，务虚数.【答案】：设实根为,那么,即，解得为所求.【变式2】已经清楚，方程的两根为、，求.【答案】：，方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。(1)当，即时，方程的根、为实数根，由韦达定理又事前，,事前，.(2)当,即时，方程的根、为虚根。