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1、物理学中的极值征询题与极端法编稿：李传安审稿：张金虎【高考展望】物理学中的临界跟极值征询题牵涉到肯定条件下寻求最精确结果或讨论其物理过程范围的征询题，此类征询题素日难度较大年夜技艺性强，所涉及的内容屡屡与运动学、动力学、电磁学亲热相关，综合性强。在高考命题中常常以压轴题的办法出现，临界跟极值征询题是每年高考必考的内容之一。【知识升华】物理极值征询题，的确是求某物理量在某过程中的极大年夜值或极小值。物理极值征询题是物理学中的一个要紧内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学范围中，数学由于其众所周知的精确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。假设在处理这些征询题时能与数学知识敏锐地整合，使用适合的办法
2、，将会拓展处理物理征询题的思路，提高使用数学知识处理物理征询题的才能。所谓临界征询题是指当某种物理现象或物理形状变为另一种物理现象或另一物理形状的转折形状叫临界形状可理解成“偏偏出现或“偏偏不出现某种物理现象转化为另一种物理现象的转折形状称为临界形状。至因而“出现仍然“不出现，需视具体征询题而定。临界征询题屡屡是跟极值征询题联系在一起的。【办法点拨】求解极值征询题的办法可分为物理办法跟数学办法物理办法包括：1使用临界条件求极值；2使用征询题的界线条件求极值；3使用矢量图求极值；4用图像法求极值。数学办法包括：1用三角函数求极值；2用二次方程的判不式求极值；3用不等式的性质求极值；4使用二次函数
3、极值公式求极值。一般而言，物理办法直不雅观、笼统，对构建模型及静态分析等才能恳求较高，而用数学办法求极值思路严谨，对数学才能恳求较高。多数极值征询题，并不直截了本地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，恳求老师在对物理不雅观点、法那么单方面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析征询题，将隐含的题设条件极值开掘出来，把极值征询题变成解题的中间环节。【模典范题】典范一、使用二次函数极值公式或配办法求极值二次函数有如下知识：1假设、时，y有极小值；2假设、时，y有极大年夜值。例1、A、B两车停在一致点，某时刻A车以2m/s2的加速率匀加速开出，3s后B车同向以3m/s2的加速率开出。征询
4、：B车追上A车之前，在启动后多长时刻两车相距最远，距离是多少多？【思路点拨】速率相当是追及征询题的临界点，速率相当两车相距最远。这里使用二次函数极值公式求最大年夜距离，分不写出两车的位移公式，相减即为所求A车在前，A车的位移减B车的位移。【答案】27米【分析】设A启动t秒两车相距最远，A车的位移：，B车的位移：两车间距离为由数学知识可知，事前，两车间有最大年夜距离：【总结升华】在追及征询题中，常常恳求最远距离或最小距离，常用的办法有物理办法跟数学办法，使用物理办法时，应分析物体的详粗运动情况，两物体运动速率相当时，两物体间有相对距离的极大年夜值跟极小值。使用数学的办法时，应先列出函数表达式，再
5、求表达式的极大年夜值或极小值。举一反三【变式1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s2的加速率开始行驶。恰在这时，一辆自行车以6m/s的速率同向匀速驶来，从后边逾越汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前通过多长时刻两车相距最远？现在距离是多少多？【答案】2秒；6米【分析】设汽车开始运动时开始计时，t时刻汽车跟自行车的位移分不为：汽车追上自行车之前，t时刻两车的距离为：由二次函数求极值的公式知：事前，有最大年夜值【变式2】如以下列图的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5，外阻R1=2，R2=3，滑动变阻器R35求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的
6、示数有最大年夜值？最大年夜值是多少多？【答案】R3的中点2.5处；10V【分析】设aP间电阻为，外电路总电阻为R，电阻与电阻并联，那么，电压表示数最大年夜，的确是外电路电阻最大年夜，即求事前，外电路电阻最大年夜值为电路中的最小电流为伏特计的最大年夜示数为即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处，伏特计有最大年夜值，最大年夜值为10V典范二、使用极限思维办法求极值有一类征询题存在如斯的特征，假设从题中给出的条件出发，需通过较复杂的打算才能掉掉落结果的一般办法，同时条件大年夜概缺少，使得结果难以判定，但假设我们采用极限思维的办法，将其变卦过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，
7、从而有助于结论的矫捷取得。例2、如以下列图，细线的一端系一质量为m的小球，另一端结实在倾角为的光滑歪面体顶端，细线与歪面平行。在歪面体以加速率a水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球不时运动在歪面上，小球受到细线的拉力T跟歪面的支持力为FN分不为重力加速率为g)ATmgsinacosFNmgcosasinBTmgcosasinFNmgsinacosCTmacosgsinFNmgcosasinDTmasingcosFNmgsinacos【思路点拨】用极限思维办法求解时，假设选项为三角函数表达式，一般先设时即水平，停顿分析，打扫差错选项，再设竖直时，停顿分析，即可得出精确选项。【答案】A【分析】解
8、法一：用极限思维办法求解。事前即水平，对选项A，符合题意；对选项B，不符合题意，B错；对选项C，符合题意；对选项D，不符合题意，D错。再分析AC，事前，C中，这是不克不迭够的，C错。应选项A精确。解法二：对小球在受力分析如以下列图，树破坐标系，使用分析加速率的办法要复杂一些。在轴倾向上：在轴倾向上：解得：因而选项A精确。【总结升华】使用极限思维办法求解，并不是对所有的三角函数表达式都有用。关于条件大年夜概缺少，使得结果难以判定的征询题，极限思维办法就表示出它特有的下风如下题。举一反三【变式1】如以下列图，在光滑的水平面上有以质量为M、倾角为的光滑歪面体，歪面上有一质量为m的物块沿歪面下滑。关于
9、物块下滑过程中对歪面压力大小的解答，有如下四个表达式要揣摸这四个表达式是否公正，你可以不必停顿复杂的打算，而是按照所学的物理知识跟物理办法停顿分析，从而揣摸解的合理性或精确性。按照你的揣摸，下述表达式中可以精确的选项是A.B.C.D.【答案】D【分析】事前，AB选项，压力为零，C、D选项，压力等于重力，那么A、B均错，C、D可以对；事前，C、D选项压力都为零，不克不迭揣摸；事前，压力等于，压力小于重力，C选项分母小于M，压力大年夜于，C错；D选项分母大年夜于M，压力小于，故只要D选项精确。【变式2】图示为一个内、外半径分不为R1跟R2的圆环状均匀带电破体，其单位面积带电量为。取环面中心O为原点
10、，以垂直于环面的轴线为轴。设轴上任意点P到O点的的距离为，P点电场强度的大小为E。上面给出E的四个表达式式中k为静电力常量，其中只要一个是公正的。你可以不会求解此处的场强E，但是你可以通过肯定的物理分析，对以下表达式的合理性做出揣摸。按照你的揣摸，E的公正表达式应为ABCD【答案】B【分析】场强的单位为N/C，k为静电力常量，单位为Nm2/C2，为单位面积的带电量，单位为C/m2，那么2k表达式的单位即为N/C，故各表达式中不的部分应无单位，故可知A、C确信差错；当=0时，现在恳求的场强为O点的场强，由对称性可知EO=0，关于C项而言，=0时E为肯定值，故C项差错。当时E0，而D项中E定值4k
11、，故D项差错；因而精确选项只能为B；应选B。典范三、使用三角函数求极值设三角函数可作如下变卦：令，那么有：，因而有：事前，有极大年夜值解物理题时屡屡遇到的办法是：素日习惯处理办法是：令那么例3、如以下列图，一质量m0.4kg的小物块，以2m/s的初速率，在与歪面成某一夹角的拉力F感染下，沿歪面向上做匀加速运动，经t2s的时刻物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L10m。已经清楚歪面倾角30o，物块与歪面之间的动摩擦因数，重力加速率g取10m/s2。1求物块加速率的大小及到达B点时速率的大小。2拉力F与歪面的夹角多大年夜时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少多？【思路点拨】1按照运动学求解；2设
12、拉力F与歪面的夹角为，作受力图停顿正交分析，按照牛顿第二定律列出方程：沿歪面、垂直于歪面，使用滑动摩擦力与正压力的关系，停顿代数运算，写出拉力F的数学表达式，再使用三角函数求极值的办法求出拉力F的最小值。【答案】13m/s28m/s230【分析】1设物块加速率的大小为，到达B点时速率的大小为，由运动学公式得联破式，代入数据得3m/s28m/s2设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为，拉力与歪面间的夹角为，受力分析如以下列图，由牛顿第二定律得又联破式得由数学知识，令，得，那么由式可知对应F最小的夹角30联破式，代入数据得F的最小值为【总结升华】关于这类求解极值征询题，使用三角函数求解是特不有效的办
13、法，也是解题的关键。但我们只要按照物理办法解出数学表达式以后，就会觉察可以使用三角函数求出极值。举一反三【变式】一质量为m的木块放在水平面上，以一个大小为F的拉力拉着它在水平空中上运动，Fmg。已经清楚木块与空中间的动摩擦因数为，拉力F沿什么倾向拉物体时，物体的加速率最大年夜，此最大年夜值为多少多？【答案】【分析】木块运动中受到如以下列图的四个力的感染设拉力F与水平倾向成角，由牛顿第二定律有：同时由式可解得令，那么有：，因而有：加速率便可写成：显然当，即拉力与水平面夹角时，木块运动的加速率最大年夜，加速率最大年夜值为：.典范四、使用图像法求极值要理解图像中的“点、“线、“歪率、“截距、“面积的
14、物理意思。通过分析物理过程按照的物理法那么，寻到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。矢量是物理中常用的数学货色，矢量既有大小又无倾向，分析与分析时按照“平行四边形定那么。使用矢量求极值征询题时，要留心分析反响矢量间关系的物理法那么，理论上所表示的该当是这些矢量间大小关系跟倾向关系融合而构成的某种多少多何关联，做出矢量图，最后按照多少多何关联、三角函数关系求解。例4、一质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，如以下列图，物体做匀速直线运动求拉力F的最小值跟倾向角【思路点拨】此题可以用上面介绍的“典范三、使用三角函数求极值办法求解，这里用图像法求极值。物体做匀速直线运
15、动，仍然是平衡征询题。应将四力平衡转化为三力平衡，立即支持力与摩擦力分析为一个力R，由于物体处于平衡形状，R、F、G的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F垂直于R时，F最小。【答案】，30【分析】物体受力如以下列图。物体做匀速直线运动，仍然是平衡征询题，但这是四力平衡，我们素日处理的是三力平衡，假设将某两个力分析为一个力，的确是三力平衡征询题了。应将哪两个力分析呢？按照摩擦力与正压力的关系，已经清楚，因而将摩擦力与支持力分析，如图甲，支持力N与合力R的夹角为。由多少多何关联，可见，N变卦会引起f变卦、R变卦，但R的倾向是波动的，由于物体处于平衡形状，R、F、mg的合力必为0，三个力构成一
16、个封闭三角形，如图乙，由图可知，当F垂直于R时，F最小。现在，因而拉力F的最小值.【总结升华】解题的关键是按照摩擦力与正压力的关系，将摩擦力与支持力分析为一个力，立即四力平衡转化为三力平衡，三力的合力必为0，三个力构成一个封闭三角形，当F垂直于R时，F最小。举一反三【变式1】从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时刻后，突然觉察有乘客未上车，因而破刻制动做匀加速运动，结果汽车从开动到停上去共用时20s，前进了50m，求这过程中汽车到达的最大年夜速率。【答案】5m/s【分析】设最大年夜速率为，即加速阶段的末速率为，画出其速率时刻图像如以下列图，图线与t轴围成的面积等于位移。位移因而最大年夜速率
17、【变式2】某物体从运动开始沿直线运动，当停顿运动时，位移为L，假设运动中加速率大小只能是a或是零，那么此过程的最大年夜速率是多大年夜？最短时刻为多少多？【答案】；【分析】按照题意，只要称心如以下列图的图像OAt2所围的面积等于位移的值，才有最大年夜速率跟最短时刻。从图像可知，在L必定时，即，因而，解得，又由于因而，典范五、使用不等式求极值使用不等式求极值可以归纳为以下三种情况：1、按照判不式法求极值：关于一元二次方程，假设在实属范围内有解，那么其判不式；一元二次不等式，假设取任何实数时均成破，那么其判不式。2、按照均值不等式求极值：1，时，最小值为；2关于两个大年夜于零的变量、，假设其跟为肯定
18、值，那么事前，其积取得极大年夜值；3关于三个大年夜于零的变量、，假设其跟为肯定值，那么事前，其积取得极大年夜值例5、如以下列图，一平直的通报带以速率做匀速运动，通报带把A处的工件运输到B处。A、B相距L=10m。从A处把工件无初速地放到通报带上，通过时刻t=6s，能通报到B处。欲用最短的时刻把工件从A处通报到B处，求通报带的运行速率至少多大年夜？最短时刻是多少多？【思路点拨】1假设要把工件以最短时刻通报到B，那么应使工件不时加速直至B处，求出最小运行速率；2按照运动学知识制作一个关于速率含偶尔辰t的一元二次方程，使用判不式求解最短时刻。【答案】1；2【分析】对工件受力分析如图工件可以不时加速运
19、动，也可以先加速后匀速运动。1设通过时刻t1后两者共速，对工件：解得，即两秒后共速。由公式解得假设要把工件以最短时刻通报到B，那么应使工件不时加速直至B处，工件加速率仍为，设通报带最小速率为由公式通报带的运行速率至少为2设至少用t秒送到。对工件：解得为关于速率的一元二次方程有解的条件：判不式，即解得【总结升华】由或者制作一个一元二次方程，使用判不式求解最短时刻。例6、新课标卷一带有乒乓球发射机的乒乓球台如以下列图。水平台面的长跟宽分不为L1、L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以差异速率向右侧差异倾向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计气氛的感染，重力加速率大小为
20、g。假设乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择适合的倾向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，那么v的最大年夜取值范围是A.B.C.D.【答案】D【分析】发射机不论向哪个倾向水平发射，乒乓球根本上平抛运动，竖直高度决定了运动时刻水平倾向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线倾向水平发射偏偏过球网，现在从发射点到球网，着落高度为3h-h=2h，水平位移大小为L1/2，可得运动时刻对应的最小初速率水平位移最大年夜即歪向对方台面的两个角发射，按照多少多何关联现在的位移大小为因而平抛的初速率比照选项可知D对。举一反三【变式】分不必判不式法、均值不等式求解上面例1变式2。如以下列图的电路中，电源的电动势E=12
21、V，内阻r=0.5，外阻R1=2，R2=3，滑动变阻器R35求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大年夜值？最大年夜值是多少多？【答案】R3的中点2.5处；10V【分析】设aP间电阻为，外电路总电阻为R，电阻与电阻并联，那么，用判不式法求最大年夜电阻：将上式拾掇得判不式解得，即用均值不等式求最大年夜电阻：上面求得设；，事前，即，即时，电压表示数最大年夜，的确是外电路电阻最大年夜，即求电路中的最小电流为伏特计的最大年夜示数为即变阻器的滑动头P滑到R3的中点2.5处，伏特计有最大年夜值，最大年夜值为10V典范六、使用征询题的界线条件求极值以带电粒子在有界磁场中的运动征询题为例
22、：1按照切线的性质判定圆心跟半径：从已给的圆弧上寻两条不平行的切线跟对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径。2按照垂径定理垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧跟订交弦定理假设弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项来判定半径等。例7、江苏卷一台质谱仪的义务情理如以下列图，电荷量均为+q、质量差异的离子飘入电压为的加速电场，其初速率多少乎为零，这些离子通过加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的倾向进入磁觉得强度为B的匀强磁场，最后打在底片上，已经清楚放置底片地域已经清楚放置底片的地域MN=L，且OM=L。某次测量觉察MN中左侧地域MQ毁
23、坏，检测不到离子，但右侧地域QN仍能畸形检测到离子.在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到。1求原本打在MN中点P的离子质量m；2为使原本打在P的离子能打在QN地域，求加速电压U的调节范围；3为了在QN地域将原本打在MQ地域的所有离子检测残缺，求需要调节U的最少次数。取lg2=0.301，lg3=0.477，lg5=0.699【答案】1233次【解答】1离子在电场中加速在磁场中做匀速圆周运动，解得代入，解得2由1得，离子打在Q点，解得；离子打在N点，解得，那么电压的范围3由1可知，由题意知，第一次调节电压到，使原本打到点的离子打到点，现在，设原本半径为的打在的离子打在上，那么
24、，解得第二次调节电压到，使原本打到点的离子打到点，现在，设原本半径为的打在的离子打在上，那么，解得同理，第次调节电压，有,检测残缺，有，解得，最少次数为3次。举一反三【变式】2016河南模拟如以下列图，小车靠着左侧竖直墙壁静置在光滑水平面上，其左端结实有一半径为R=0.2m的光滑四分之一圆弧轨道，右端有一竖直挡板，通过轻质弹簧拴接一质量为m1=100g的小滑块A，小车、轨道跟挡板的总质量为M=1.1kg，初始时弹簧处于原长形状，现从圆弧轨道上的最高点O处运动释放一质量为m2=400g的小滑块B，B通过小车内表面的光滑水平轨道后，与A发生碰撞并粘在一起。已经清楚重力加速率g=10m/s2，求弹簧的最大年夜弹性势能。【答案】弹簧的最大年夜弹性势能为0.44J。【分析】滑块B从运动释放至与A碰撞前，由呆板能守恒定律有：得A、B碰撞过程，取向右为正倾向。由动量守恒定律得：m2v0=(m2+m1)v1解得v1=1.6m/s当弹簧压缩至最短时滑块A、B与小车速率一样，设共同速率为v2。由动量守恒定律得：(m2+m1)v1=(M+m2+m1)v2解得v2=0.5m/s由能量守恒定律可知，弹簧的最大年夜势能：解得Epm=0.44J.