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1、面向量数量积的坐标表示 学习内容 1两个向量数量积的坐标表示： 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则ab=x1x2+y1y2 2向量的模： 若a=（x，y），则|a|2=aa=x2+y2，|a|= 3两点间的距离公式： 设A（x1，y1）、B（x2，y2）则=（x2-x1，y2-y1），|= 4两向量垂直的坐标条件： 设两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则abx1x2+y1y2=0 5设A、B、C是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A（x1，y2），B（x2，y2），C（x3，y3），则（x3-x1）（x2-x1）+（y3-y1）（y2-y1）=0 学习重点 1向量有
2、坐标表示，向量的数量积也有坐标表示，即为：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=x1x2+y1y2于是与ab=|a|b|cos（是a，b的夹角）相对照，a，b夹角的余弦也可以用坐标表示: cos= ，这样求两个向量（已知坐标）间的夹角就十分方便了 2两非零向量a=（x1，y1）、b=（x2，y2）垂直的充要条件是ab=0，即x1x2+y1y2=0它为我们证明几何中的垂直问题提供了强有力的工具 3两向量a，b共线的充要条件是存在R，使a=b这里应用向量的坐标表示可以得到a，b共线的充要条件是：|x1x2+y1y2|= 学习难点：利用向量的数量积解决具体问题。 内容讲解： 上一节我们学
3、习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。 我们给出两个非零向量 （用坐标给出），我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 则有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的单位向量为 ， 则有 ， 是互相垂直的单位向量， ， ， 则 也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即 ， 若 则 ， ， ， 上图中A(x1,y1),B(x2,y2), 则 则 。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。 上图中若设AOB=， 则 ， 即
4、 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地，当=90时，cos=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知： 垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例题分析第一阶梯 例1. 判断题 1若A，B，C是坐标平面上不同的三点，则ABBC的充要条件是=0（ ） 2设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|+|=（ ） 3已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），且a，b的夹角为，则sin=（ ） 例2已知M（a，0），N（0，b）则|等于（ C ） A|a|+|b| B C D 例3. 已知a=（2m-1，2+m），若|
5、a|，则m的取值范围为（ B ） A（-1，1） B-1，1 C， D（-，-1）1，+ 例4. 已知A（1，3），B（2，4），C（5，6），则= 7 ，= 18 例5. 已知A（1+ a2，0），B（0，1- a2），则|= 第二阶梯 例1在下列各命题中为真命题的是 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则ab= x1y1+ x2y2 若A=（x1，y1）、B=（x2，y2）， 则|= 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则ab=0x1x2+y1y2=0 若a=（x1，y1）、b=（x2，y2），则abx1x2+y1y2=0 A B C D 解：根据向量数量积的坐标表示：若a=（
6、x1，y1）、b=（x2，y2），则ab=x1x2+ y1y2，对照命题（1）的结论可知，它是一个假命题 于是对照选择项的结论可以排除（A）与（D），而在（B）与（C）中均含有（3）故不必对（3）进行判定，它一定是正确的对命题（2）而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题这样就可以排除（C），应选择（B） 反思回顾：对于命题（3）而言，由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题而对于命题（4）来讲，ab x1x2+y1y2=0但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即a=0，而教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y
7、2推不出ab，所以命题（4）是个假命题 例2已知a=（2，1），b=（-1，3），若存在向量c使得：ac=4，bc=-9试求向量c的坐标 分析：这里应利用方程思想进行求解，我们可根向量数量积的坐标表示建立向量c的纵横坐标的二元一次方程组，解该方程组即可求得C的坐标 解：设c=（x， y），则由ac=4可得： 2x+y=4；又由bc=-9可得：-x+3y=-9 于是有：2x+y=4 （1） -x+3y=-9 （2） 由（1）+2（2）得7y=-14y=-2，将它代入（1）可得：x=3 c =（3，-2） 反思回顾：已知两向量a，b可以求出它们的数量积ab，但是反过来，若已知向量a及数量积ab，却
8、不能确定b需要象本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的数量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量 例3. 已知A、B、C、D是坐标平面上不共线的四点，则与共线是=0的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 分析：这里要选出正确结论，需要判定下列两个命题，（1）若与与共线，则=；（2）若=0，则与共线对上述两个命题的真假情况判断清楚了，本例也就解决了 解：由与共线可知：四边形的边与互相平行，但未必有所以=0与=0不能成立即命题（1）不真；但是反过来，由=0，可知：及，所以/，即与共线，故命题（2）是真命题，从而应选
9、择（B） 反思回顾：（1）对于四边形ABCD而言，若与共线，同时，与也共线，则该四边形为平行四边行，若这里的两个共线条件改成一个共线，而另一个不共线，则该四边形是梯形（2）若在四边形ABCD中，有=0，则该四边形，或者是直角梯形，或者是矩形第三阶梯 例1. 设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值 分析：这里我们应引进向量的坐标表示，这样所求的值及各条件都可用引进的坐标表示，再通过代数运算可求出|3a+b|的值 解：设a=（x1，y1）、b=（x2，y2） |a|=|b|=1 x21+ y21=1， x22+ y22=1 3a-2b=3（x1，y1）-2（x2
10、，y2） =（3x1-2x2，3y1-2y2） |3a-2b|= 9 x21-12 x1x2+4 x22+9 y21-12 y1y2+4 y22=9 13-12（x1x2+ y1y2）=9 x1x2+ y1y2= 3a+b=3（x1，y1）+（x2，y2）=（3x1+x2，3y1+y2） |3a+b|= = = 反思回顾：（1）如果我们在上述解题过程，根据|a|=|b|=1，设a=（cos，sin），b=（cos，sin），则上述运算过程可得到简化 （2）利用本例的解法可解决下面的一般性问题：若向量a、b满足|a|=|b|=r1，及|1a+u1b|= r2，求|2a+u2b|的值 例2在ABC
11、D中，已知A（m1，n1）， B（m2，n2）， C（m3，n3），试求的值 分析：要求与的数量积，可利用数量积的坐标表示因此需要用坐标表示与，由于条件中已知ABCD三顶点A、B、C的坐标，利用中点公式求出另一顶点D的坐标，这样我们就可以得到与的坐标表示，进一步可求得的值 解： 在ABCD中，对角线AC与BD互相平分，AC的中点与BD的中点重合，（m1，n1）+（m3，n3）=（m2，n2）+D点的坐标，D点的坐标为（m1+m3-m2，n1+n3-n2） 于是=（m3，n3）- （m1，n1）=（m3-m1，n3-n1） 而=（m1+m3-m2，n1+n3-n2）-（m2，n2）=（m1+m3
12、-2m2，n1+n3-2n2） =（m3-m1）（m1+m3-2m2）+（n3-n1）（n1+n3-2n2） 反思回顾：已知两向量的坐标，求它们的数量积时，一定要注意向量积是横坐标之积与纵坐标之积的和，不能出现搭配上的错误 例3设向量a、b满足：|a|=|b|=1，且a+b=（1，0），求a，b 分析：这里由于向量a与b都是单位向量，所以在假设a，b的坐标时，可以考虑选用三角表示（即用正弦、余弦表示），再通过已知条件建立简单三角方程，求出正弦与余弦的值，就求出了a，b 解： |a|=|b|=1， 可设a=（cos，sin），b=（cos，sin） a+b=（cos+ cos，sin+sin）=
13、（1，0） cos+ cos=1（1） sin+sin=0（2） 由（1）得：cos=1- cos（3） 由（2）得：sin=-sin（4） 由（3）2+（4）2得：cos= cos=1- cos= sin=，sin= a=（ ，），b=（ ，-） 或a=（ ，-），b=（ ，） 反思回顾：在上述求解过程中，当我们求出了cos=与cos=后，可分别得到：sin=与sin=但是这里要注意到它们需满足（2）式所以cos与sin的值之间有一个对应关系，这就是决定了a，b只有两组解，而没有四组解 例4如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，PECF是矩形，试用向量法证明 （1）|=|；
14、（2） 分析：如果我们能用坐标来表示与则要证明的两结论，就只要分别用两点间的距离公式和两向量垂直的充要条件进行验证即可，因此只要建立适当的坐标系，得到点A，B，E，F的坐标后，就可进行论证 解：以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为1，|=， 则A（0，1），P，E，F 于是 = = （1）|= = |= = |=| （2） =0 反思回顾：把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算从而使问题得到解决这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁 例5设A，B，C，
15、D是坐标平面上的四点，它们的坐标分别为：A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）且任意三点不共线，试证四边形ABCD为正方形的充要条件是（xB-xA，yB-yA）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0 分析：因为四边形ABCD为正方形的充要条件是该四边形既是矩形又是菱形，而一四边形为矩形的充要条件是该四边形为平行四边行且有一个角为直角，一四边形为菱形的充要条件是该四边形为平行四边形且对角线互相垂直，这样就得到了四边形ABCD为正方形的充要条件：四边
16、形ABCD是有一内角为直角且对角线互相垂直的平行四边形，于是我们找到了证明的途径 证明： =（xB-xA，yB-yA）， =（xC-xD，yC-yD），=（xC-xB，yC-yB）， =（xC-xA，yC-yA），=（xD-xB，yD-yB）（xB-xA，yB-yA）=（xC-xD，yC-yD）且（xB-xA）（xC-yB）+（yB-yA）（yC-yB）=0且（xC-xA）（xD-xB）+（yC-yA）（yD-yB）=0 且=0且=0 ABCD且ABBC且ACBD 四边形ABCD既是矩形又是菱形 四边形为正方形 例6如图：ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为E
17、F，若正方形面积为64，求AEM的面积。 解：如图，建立直角坐标系， 显然EF是AM的中垂线， N是AM的中点，又正方形边长为8 M(8,4), N(4,2) 设点E(e,0)，则=(8,4)，=(4,2)，=(e,0)，=(4-e,2)，由得：=0 即：(8,4)(4-e,2) = 0 解之：e = 5 即| = 5 SAEM =| =54 = 10 第四阶梯例1已知： 。 （1）求： ； （2）求： ； （3）求： ， （4）求： 解：（1） 由此可见证 。（严格证明需要把 的坐标一般化，但方法是一样的。） （2） （3） 。 由此可证： （4） 由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即
18、不一定相等。 例2试判断满足下列条件的三角形的形状。 （1）ABC中，A（1，-2），B（-3，-1），C（5，-1） （2）ABC中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5） （3）ABC中，A（0，3），B（4，0），C（7，4） 解：（1） 由此可知ABC为等腰三角形。 （2） 或： ， ABC为直角三角形。 （3） ， ABBC， ， ABC为等腰直角三角形。 例3已知：向量 满足 ，求：向量 与向量 的夹角。 解：设 ， 则 即 ， ， 则： ， 0， 。 例4求证：非零向量 垂直的充要条件是 。 证明：设 （1）充分性： 即x1x2+y1y2=0, . （2）必要性： ， x1x
19、2+y1y2=0, 例5已知：RtABC中， ，求m的值。 解： ， 。 （1）当A=90时， （2）当B=90时， （3）当C=90时， 即 ， 由（1）（2）（3）知： 。 例6已知： （1）求证： 垂直； （2）若 ，求-的值。 （1）证明： = = 垂直。 又证： 垂直。 （2） 2kcoscos+2ksinsin=-2kcoscos-2ksinsin 2kcos(-)=0 k0, cos(-)=0 0, . 课后练习： 1若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则 =（ ）。 A、-1B、0 C、1D、2 2若 的夹角为（ ）。 A、30 B、45 C、60 D、90 3若
20、垂直，则实数k=（ ）。 A、1 B、-1 C、1或-1 D、非以上答案 4若A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6），则四边形ABCD为（ ）。 A、正方形 B、菱形 C、梯形 D、矩形 5若ABC中，A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则ABC是（ ）。 A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 6若 的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）。 A、 B、（2，+） C、 D、 7若 的向量 =_。 8与 垂直的单位向量是（ ）。 9若A(cos, sin), B(cos, sin), ，则| |的取值范围是_。 10已知，以原点和A（5，2
21、）为顶点的等腰直角三角形OAB中，B=90，求：点B及向量 的坐标。 练习答案： 1. B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7. (2,-3) 8. 9. (0,2 10. 测试选择题1已知a=(3,0), b=(k,5),且a与b的夹角为 ，求k的值（ ）. A、3 B、4 C、-5 D、-3 2已知 ，则 上的投影为（ ）. A、 B、 C、 D、 3已知ABC的顶点 ,则角A等于（ ）. A、 B、 C、 D、 4有下列命题： ； ；若 ，则 的充要条件是 ；若 的起点为A（2，1），终点为B（-2，4），则 与x轴正向所夹角的余弦值是 ，其中正确命题的序号是（）. A、 B、
22、C、 D、 5已知三点A（2，-2）、B（5，1），C（1，4），求BAC的余弦值（ ）. A、 B、 C、12 D、 答案与解析答案：1、C 2、C 3、D 4、C 5、A解析：1、答案：C. a b=3k, |a|=3, |b|= , , k=-5. 2、答案：C. .3、答案：D. . 解决本题的关键在于将角A看作向量 的夹角，运用向量的夹角公式求解.4、答案：C. 是数量积的分配律.应为 .的充要条件是 . 5、答案：A. ， 又 ， ， . 平面向量数量积的坐标表示知识要点： 向量的数量积它可以解决有关长度、角度、垂直的问题，向量数量积的坐标表示即向量数量积的代数化，可以将数量积运算
23、转化为代数运算，进而解决有关长度、角度、垂直的问题. 要求将向量数量积的性质在坐标形式下准确记忆，特别地，根据定义还可推出向量夹角的坐标公式：向量 的夹角 满足 .向量垂直的充要条件的坐标式是重点. 向量 互相垂直等价于x1x2+y1y2=0，它与向量共线的充要条件的坐标式x1y2-x2y1=0容易发生混淆. 典型题目： 例1三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：（1）BC边上的中线AM的长；（2）CAB的平分线AD的长；（3）ABC的余弦. 解：（1）M的坐标为 . ， . （2） ， D点分 的比为2, ， . （3）ABC是 的夹角，而 . . 点评：
24、向量的数量积运算常用来解决有关长度和角度问题，反映在坐标上应用两点间距离公式和夹角公式. 例2ABC的三个顶点是A（4，8），B（0，0），C（6，-4）.求： （1）ABC的三边的长；（2）ABC的AB边上的中线CD的长；（3）ABC的重心G的坐标. 解：（1） ， ， . （2）设D点的坐标是(x, y)，则由中点坐标公式，得 D（2，4）, . （3）设G点的坐标是(x,y),则 . 由定比分点坐标公式，得 即重点 . 例3（1）已知a=(6,2),b=(-3,9),判断a与b是否垂直？ （2）判断以O(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)为顶点的三角形的形状. 解：（1）由向
25、量的数量积的坐标表示，得ab=6(-3)+29=0, 向量a与b垂直. （2）由向量的坐标表示，得 . 所以， 这个三角形的三条边长分别为： 所以，OAB的三边满足下列关系: ，且 ， 因此，以O、A、B三点为顶点的三角形是等腰直角三角形（其中，A=90，O=B=45）. 例4、以原点O和点A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标和 . 解： 如图，设点B的坐标是(x ,y)，则 . B=90， ，x(x-4)+y(y-2)=0, 即x2+y2=4x+2y. 再设OA的中点为D，则D的坐标是（2，1）. 连结BD，则 . 4(2-x)+2(1-y)=0.即 2x+y
26、=5 解、联立的方程组，得 点B的坐标是（1，3）或（3，-1）. 当点B的坐标为（1，3）时， ； 当点B的坐标为（3，-1）时， . 例5、已知点A（1，2）和B（4，-1），问能否在y轴上找到一点C，使ACB=90，若不能，说明理由；若能，求C点坐标. 解：设C点坐标为(0,y)，由ACB=90知 ， ，即(-1)(-4)+(y-2)(y+1)=0, y2-y+2=0无解.故不能找到满足条件的点. 课外练习： 1、已知O是直角坐标系的原点， ，在x轴上有一点P，使 取最小值，求P点的坐标及此时的APB的大小. 2、已知两点A(-2,0),B(4,0),点C在直线 上，点C的横坐标为m，若
27、ABC为直角三角形，求实数m的值. 3、已知 ，当a,bR且ab，求证：|f(a)-f(b)|=|a-b|. 参考答案： 1、设P（x,0), 则 =x2-6x+10=(x-3)2+1. 当x=3时取得最小值，此时P点的坐标为P(3,0), . . 说明：通过坐标运算将数量积的最值转化为二次函数的最值是解答本题的关键. 2、设C点坐标为 ，当C为直角时， ，即 ， ，解得 .当A为直角时， ，即 (6,0)=0, 6(m+2)=0,解得m=-2.当B为直角时， ，即 ，解得m=4. 说明：分类讨论是本题的难点，容易被忽略. 3、 ， 设A(a,0), B(b,0), C(0,1),则|f(a)
28、-f(b)|表示 表示 ，在ABC中，根据三角形两边之差小于第三边这一性质可知 ，故 . 说明：本题根据向量有关模长的运算，若A(xa,ya), B(xb,yb)， 则 这一结论将条件转化为几何形式. 课后检测 1已知向量a、b满足|a|=|b|=1，|a+b|=1，则|a-b|等于（ B ） A1 B C D 2 2已知a=（-2，-1），b=（，1），若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是（ A ） A（- ，2）（2，+） B（2，+） C（- ，+） D（-，- ） 3已知a与b的夹角的余弦-，则a，b的坐标可以为（ C ） A（4，3），（-12，5） B（3，4），（5，12） C（-3，4），（5，-12） D（-3，4），（-5，12） 4已知|a|=k（k0），b=（2，3），若a/b，则a的坐标为 5已知A（cos，sin），B（cos，sin），则|的最大值为 2 6已知：a=（-3，-2），b=（-4，k），若（5a-b）（b-3a）=-55，试求k的值 解： a=（-3，-2），b=（-4，k）， 5a-b=（-11，-10-k），b-3a=（5，k+6）， （-11，-10-k）（5，k+6）=-55-（k+10）（k+6）=-55， （k+10）（k+6）=0， k=-10或k=-6