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1、第十五章 机械振动15-1 已知一简谐振动的振幅,周期T=0.5s, 初相试写出振动方程;并作出该振动的-t,v-t,a-t 曲线分析 振动方程的基本形式为通过作曲线, 进一步了解v、a 表达式的意义以及x、v、a 间的相位关系解 振动方程为 v/10-2m/s 8 . . . . . . t/s . 0 0.25 0.5 -8. (b) x/10-2m . 2 . . . . . t/s . 0 0.25 0.5 . -2 (a)-t,v-t,a-t 曲线分别如图15-1(a)、(b)和(c)所示 a /10-2m/s2 322. . . . . . t/s . 0 0.25 0.5 . -
2、322 (c)图15-1 15-2 一弹簧支持的椅子构成在太空测量人体失重状态下质量的装置人体称重器飞船进入空间轨道时,宇航员坐在椅子上测出振动周期(1)如为宇航员的质量,m为人体称重器中的有效质量(如椅子等),试证明其中T是振动周期,k是弹簧的劲度系数;(2)现k=605.6 N/m,椅子空着时的振动周期T=0.9015 s, 求有效质量m;(3)在太空,宇航员坐在椅子上, 测出振动周期为2.299s, 求宇航员在失重状态下的质量分析 当宇宙飞船在空间轨道上绕地球旋转自由运行时,地球对飞船及飞船上所有物体的引力就是使它们作圆周轨道运动的向心力,于是飞船及飞船上所有物体如果处于相对静止状态,相
3、互之间就不存在作用力,就不能用地面上通常使用的质量或重量测量仪器进行测量考虑到无外力作用时,弹簧振子振动周期决定于弹簧劲度系数以及物体质量,如果已知弹簧劲度系数,通过测量振动周期可测出物体质量解 (1) 弹簧振子系统振动周期为 (1)宇航员的质量为 (2) 椅子空着时,由(1)式得(3) 15-3 一质量为0.20kg的质点作简谐振动,其振动方程为 x=0.60cos(5t-/2), 其中x以m为单位, t以s为单位求:(1)质点的初速度;(2)质点在正向位移一半处所受的力分析 物体振动速度, 物体所受恢复力,方向指向平衡位置.解 (1)据已知,得当t=0时,得 v0=3 m/s(2) 正向最
4、大位移一半处,x=0.30 m,所受的力为 方向指向平衡位置.15-4 一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s,当t=0时,位移为0.06m,且向x轴正方向运动.求(1)该物体的振动方程;(2)t=0.5s时,物体的位置、速度、加速度;(3)在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动时,物体的速度、加速度,以及物体从这一位置回到平衡位置所需的时间.分析 求解振动方程的难点是确定振动物体的初相初相取决于计时起点t=0时物体的位置和速度确定初相可用三角函数法或旋转矢量法解 (1) 已知振幅为A = 0.12 m,角频率为rad/s,t = 0时初始位置和初速度分别为 x0=Acos =
5、0.06 (1)v0= 0 (2) 从(1)式得 O x 图15-4 得 从(2)式得,所以应取此外,由t = 0时初始位置和初速度可以确定其旋转矢量如图15-4所示,即振动方程为(2) t=0.5s 时, x=0.104 mv(3) 在=-0.06 m处,物体向x轴负向运动时,设,则 m (3) v1 0 (6)从(5)式得 或 (n=1,2)从(6)式得 0应取 (n=1,2)回到平衡位置所需时间 t0 A A -0.12 O x 图15-515-5 一个质点作简谐振动,其振动方程为x=0.24cos(t/2+/3)m,其中x以m计, t以s计试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x=-
6、0.12m, v0状态所需的最短时间.分析 根据振动方程,初相为,即当=0时旋转矢量A与Ox轴夹角为,当处于x=-0.12m, v0所以图(b)的相位应取同理,对图(c) 对图(d) (a) (b) (c) (d)最大, =0,为负最大 为负最大, =0,最大图15-6 (2) 以图(b)状态为计时起点,t=0时,有 (3) (4)(3)式(4)式联立,解得 同理,对图(c) 对图(d) 对图(a) 15-7 一物块在水平面上作简谐振动,振幅为0.1m,在距平衡位置0.06m处速度为0.4m/s,(1)求振动周期;(2)当速度为0.12m/s时,位移为多少?(3)若有另一物体置于该振动物块之上
7、,当物块运动至端点时正好滑动,问摩擦系数为多大?分析 当所讨论问题涉及物体正好要滑动的条件时,由于物体尚未滑动,所受摩擦力仍为静摩擦力,静摩擦力方向与物体运动趋势方向相反解 (1)设物块的振动方程为物块位于 m时, 速度v1= 0.4m/s, 即x1=A=0.06 m (1)v1=0.4 m/s (2)以上两式平方相加, 代入A=0.1m,解得 rad/s s(2)由 v2=0.12 得 则位移为 x2=0.1=9.710-2 m Fmax Ff . O xm x 图15-7 (3)物块运动至端点时正好物体开始滑动,即最大恢复力等于最大静摩擦力,物块受力如图15-7所示,因最大静摩擦力,最大恢
8、复力,得15-8 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm, 将一物体悬挂在弹簧下端,并在它上面放一小物体,它们的总质量为4kg, 待其静止后再把物体向下拉10cm, 然后释放. 问(1)此小物体是停在振动物体上还是离开它? (2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离, 则振幅A需满足什么条件? 二者在何位置开始分离? FN x mg 图15-8分析 根据胡克定律,由弹簧在外力作用下的形变量可以求出弹簧的劲度系数当两物体脱离接触时,它们之间的正压力等于零,以此为条件可以判断小物体是否停在振动物体上解 (1) 根据胡克定律,得 由定义得弹簧、物体和小物体组成一个弹簧振子系统,把物体下拉
9、10cm后释放,故该弹簧振子的振幅为A=0.1m设小物体质量为m,小物体随系统一起运动,最大加速度为,小物体受力情况如图15-8所示,当达最高点时,所受物体的正压力有最小值,即 (1)当A=0.1m时,得 即FN 0 ,因而小物体仍停留在振动物体上(2) 两物体脱离接触条件为,代入(1)式得 即振幅大于0.196m,两物体将在平衡位置上方分离,分离的位置即在0.196m处15-9 如图15-9(a)所示,在一个倾角为的光滑斜面上,固连一原长为L,劲度系数为k,质量忽略不计的弹簧,弹簧与质量为m的重物相连,求重物作简谐振动的平衡位置和周期分析 平衡位置是系统所受合外力为零的位置. 在建立振动方程
10、时,一般都把取平衡位置为坐标原点放在斜面上的弹簧振子处于静止状态时,物体所受弹簧的弹性力与重力沿斜面向下的分量大小相等,方向相反 k FN Fm mg (a) (b)图15-9解 弹簧和物体组成一个弹簧振子系统物体受力情况如图15-9(b)所示.设在平衡位置弹簧的伸长量为,有解得即处于平衡位置时弹簧长度为.根据定义,弹簧振子系统作简谐振动的角频率为周期为15-10 如图15-10(a)所示,密度计玻璃管的直径为d,浮在密度为的液体中若在竖直方向轻轻推一下,任其自由振动,试证明:若不计液体的沾滞阻力,密度计的运动是简谐振动;设密度计的质量为m, 试求振动周期分析若物体运动为简谐振动,应该具有如下
11、特征:物体所受合外力与位移成正比而方向相反,即加速度与位移成正比而方向相反;或者位移是时间的余弦函数或正弦函数 d FB mgx(a) (b)图15-10解密度计受力分析如图15-10(b)所示设密度计截面积为S, 当处于平衡状态时,设浸入水中部分高度为h, 浮力则为,有 (1)取平衡位置为坐标原点,向下为x轴正向,当密度计向下位移为x时,有 (2)由(1)和(2)式得即加速度与位移成正比而方向相反,因此运动为简谐振动,且有15-11 如图15-11,劲度系数为k的轻弹簧上端与质量为m的平板相连,下端与地固连另一质量为的物体,从h高处自由落下,与平板发生完全非弹性碰撞后一起运动. 若以平板开始
12、运动为计时起点,取向下为坐标正向,求振动的周期,振幅和初相位分析与m发生完全非弹性碰撞后一起运动,与轻弹簧组成振动系统, 平衡位置是(+ m)所受合外力为零的位置,并选取为坐标原点以发生碰撞后平板开始运动为计时起点,此时平板m的坐标就是系统的初位移,碰后(+ m)的共同速度v0就是系统的初速度,而且可以依据碰撞中动量守恒求出解 自由下落, 以的速度与m发生完全非弹性碰撞,设碰后+ m的共同速度为v0,方向向下,应用动量守恒定律,得 m h m O x图15-11v0v0、m和弹簧组成振动系统,设+m 所受合外力为零时,弹簧的压缩量为,此位置是系统的平衡位置,则有 (1)取系统的平衡位置为坐标原
13、点,向下为x轴正向,当+m位移为x时,有 (2)由(1)和(2)式得且有 取与m 相碰的瞬间为振动的初始时刻t=0,有即 (3) (4)(3)与(4)式联立,得振动的周期和初相位分别为又因在第三象限,则 15-12 弹簧下端挂一物体后,弹簧伸长量为m, 若令物体上下振动,(1)求振动周期;(2)使其在平衡位置上方0.1m处由静止开始运动,求振幅、初相及振动方程.(3)使其在平衡位置以0.8m/s向上的初速度开始运动,求振幅、初相及振动方程. 分析 计算结果表明,同一系统在不同初始条件下的振动方程不同解 (1)设挂上物体达平衡时弹簧的伸长量为, 根据胡克定律和平衡条件有由定义得 rad/s s(
14、2)如图15-12所示,取平衡位置为坐标原点, 向上为x轴正向.初始条件为: t=0时, x0=0.1m v0=0,即 (1) (2) x 图15-12由(1)和(2)式联立解得振动方程为 m(3) 初始条件为:t=0时,x0=0 v0=0.8,即 (3) (4)由(3)和(4)式联立解得 A =0.08m从(3)式得 或 从(4)式得 所以取 振动方程为 m 15-13 如图15-13(a)所示的弹簧,其一端固定在天花板上,另一端挂着质量都是1.0kg的两个物体A和B.当物体静止时,弹簧伸长量为m, 如果物体B突然脱落掉下,不计弹簧质量,(1)求物体A的振动周期;(2)若从物体B脱落时开始计
15、时,求物体A的振幅、初相和振动方程.分析 虽然弹簧下悬挂着两物体,但由于物体B脱落,振动系统实为弹簧和 物体A组成. 据题意, 物体B脱落之时0,因此物体A的位置为系统的初始位置,且物体B从静止状态脱落,系统初速度为0.解 物体B脱落之前,两个物体A和B处于重力和弹簧的弹性力作用下的平衡状态,弹簧伸长量为,则 A A x B (a) (b)图15-13物体B脱落后,物体A和弹簧组成弹簧振子系统,设平衡位置处弹簧伸长量为,则 (1)取平衡位置为坐标原点,向下为x轴正向,如图15-13(b)所示,当物体A位移x时,应用牛顿第二定律,得 (2)由(1)和(2)式得由定义得 时,物体B脱落,有即 (3
16、) (4)(3)和(4) 式联立解得 m从(3)式,满足(4)式, 所以 振动方程为 m讨论: (1)我们现在是取向下为x轴正向,如果取向上为正,则初相为,振动方程有所不同这就是解题中强调要给出坐标取向的理由.(2)如果A、B质量不等,例如,会有不同的值,则初始条件不同,将导致振动特征参量的改变15-14如图15-14(a)所示,一质量可忽略的盘挂在劲度系数为k的轻弹簧之下,一质量为m的物体自h高处自由下落至盘中,并与盘粘在一起作简谐振动. 设m=0.1kg,k=4.9 N/m,h=0.3m,若以物体刚落至盘中时为计时起点,求系统的振动方程解 如图15-14(b), 弹簧、质量为m的物体和盘组
17、成振动系统取平衡位置为坐标原点, 向上为x轴正向平衡时弹簧伸长为,平衡方程为 (1)当盘的位移为x时,应用牛顿第二定律,得 (2) x m h m(a) (b)图15-14由(1)和(2)式,得 由定义得 rad/s质量为m的物体与盘相碰时, t=0,弹簧伸长量为相碰时,物体下落速度为,忽略盘质量,应用动量守恒定律,碰后物与盘的共同速度方向向下,大小为即 x0= =0.2 m (3) 0 (4)(3)和(2)式联立,解得 =210-2m从(3)式得,从(4)式得0,则应取所以振动方程为 15-18 已知某简谐振动的振动曲线如图15-18(a),试求此简谐振动的振动方程. x/m A(t=0)
18、A(t=1s) 2 1 2/3 0 1 t/s -2 -1 O x -1 -2(a) (b)图15-18分析 振动曲线是振动物体位移x与时间t的关系曲线从振动曲线上可得出振幅和初始条件由图15-18(a)可以看出,当t稍大于零时,物体将向x轴负向运动,所以物体初速度v0 0由旋转矢量图可以比较容易地确定振动的角频率,即旋转矢量1s内转过的角度便是角频率解由图15-18(a)看出,A = 2 m,t=1s时的位移和速度分别为 = 0 (1)v1= 0 (2)(1)式给出cos= 0,得,显然满足(2)式,即为1s时的相位.旋转矢量图如图15-18(b)所示,t=0时的旋转矢量为,可以看出,1s内
19、A沿逆时针方向转过的角度即角频率为振动方程为 m x (1) O t (2) 图15-19 15-19 (1)、(2)两个简谐振动的周期相同,振动曲线如图15-19.求(1)、(2)两个简谐振动的相位差.分析 根据振动曲线可以判断指定点的相位若两振动的相位差,通常说,振动2的相位比振动1超前或振动1的相位比振动2落后解 从图15-19知,振动(1)的初始条件是 =0 (1) v0= (2)由(1)式得 由(2)式得 则振动(1)的初相应取 振动(2)的初始条件是 =A (3)v0= =0 (4)由(3)式得,满足(4)式,即为振动(2)的初相因两振动的角频率相同, 所以振动(1)与振动(2)相
20、位差为, 且振动(1)比振动(2)相位落后15-20 一质量为0.1kg的物体作振幅为0.01m的简谐振动,最大加速度为0.04.试求(1)振动的周期;(2)总的振动能量;(3)物体在何处时,其动能和势能相等?分析 作简谐振动的弹簧振子系统机械能守恒, 动能和势能都随时间周期变化且相互转换,这是系统运动过程中只有重力、弹性力等保守力作功,外力和非保守内力不作功的条件下才成立的实际的振动系统起码要受到阻力作用, 因而必定有能量的损耗,系统机械能不守恒解 (1)由 得(2)总振动能量为(3)设动能和势能相等时, 物体距平衡位置x远, 则 又由 得 15-21 质点作简谐振动,已知振动频率为, 则振
21、动动能变化的频率为多少?当其位移为振幅的一半时,其动能为总能量的几分之几? EK O t 图15-21 分析 只要大致勾画出-t 和x-t曲线轮廓,便可得出动能变化频率与振动频率间关系.解 振动动能为所以振动动能变化频率为,-t曲线如图15-21所示当 时, 振动势能为此时振动动能为即为总能量的3/4.15-22 两同方向简谐振动,其振动方程分别为式中x以m为单位,t以s为单位.(1)求合振动的振幅和初相;(2)若另有一同方向简谐振动,问为何值时,合振动的振幅为最大; 又为何值时,合振动的振幅为最小?(3)用旋转矢量法表示(1)、(2)的结果. 分析 先体会给出的两个振动方程,哪里体现了同方向
22、?哪里体现了同频率?作两个同方向同频率振动合成,最简单的方法是旋转矢量法(不妨也尝试一下解析法),只要画出了合成矢量,简单的几何关系便给出合振动的振幅及初相.本题的另一部分是讨论振动加强减弱条件,这为后面讨论机械波、光波的干涉加强减弱作舖垫. A A1 0 A2 /4 x O 图15-22 解 (1)如图15-22,两矢量间夹角为,所以合振动振幅 合振动初相(2) 合振动A再与第三个振动合成.根据振动叠加条件, 时合振动有极大值,即 (k=0,1,2)当时合振动有极小值, 即 (k=0,1,2)15-23 有两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为0.2m,相位与第一振动的相位差为,若第一
23、振动的振幅为m,用旋转矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两个振动的相位差.分析 本题与上题相反, 为已知合振动求分振动.解 作旋转矢量如图15-23所示,由几何关系得 AA2 /6 A1 图15-23 再由解得15-24 示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用,若电子在两个方向上的位移分别为和.求在、各种情况下,电子在荧光屏上的轨道方程,并分别说明电子沿轨道的运动方向.分析 这是两个频率相同、振动方向相互垂直简谐振动的合成.解 轨道方程为 因 当时,得x=y,为一过原点的直线说明电子沿直线作往返运动.当时,得为一椭圆,且运动方程为当时,电子位于处,此后瞬间x0, y0, y0,电子位于第四象限内, 表明电子仍顺时针转动.