数学问题及提出.优秀PPT.ppt

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1、数学问题及其提出数学问题及其提出全美数学老师理事会(全美数学老师理事会(NCTMNCTM)在其颁布的)在其颁布的学校数学课程与评价标准(学校数学课程与评价标准(19891989)、)、数学教学的专业标准(数学教学的专业标准(19911991)以及)以及学校数学的原则与标准(学校数学的原则与标准(20002000)等文)等文件中,对老师提出了增加提出问题活动的件中,对老师提出了增加提出问题活动的教学要求,即不仅应让学生解决预先提出教学要求,即不仅应让学生解决预先提出的数学问题,而且,还应重视学生提出数的数学问题,而且,还应重视学生提出数学问题的活动。学问题的活动。澳大利亚(澳大利亚(199419

2、94)的一些地方教化部门也)的一些地方教化部门也提出,应把提出问题看作是学生提出,应把提出问题看作是学生“做做”数数学的一种重要表现。学的一种重要表现。全日制义务教化数学课程标准全日制义务教化数学课程标准(试验稿试验稿):总体目标分为了四个方面:学问与技能、总体目标分为了四个方面:学问与技能、数学思索、解决问题、情感与看法。数学思索、解决问题、情感与看法。在学问与技能中:在学问与技能中:“经验提出问题、收集经验提出问题、收集和处理数据、作出决策和预料的过程,驾和处理数据、作出决策和预料的过程,驾驭统计与概率的基础学问和基本技能,并驭统计与概率的基础学问和基本技能,并能解决简洁的问题。能解决简洁

3、的问题。”在解决问题中:在解决问题中:“初步学会从数学的角度初步学会从数学的角度提出数学问题、理解数学问题,并能综合提出数学问题、理解数学问题,并能综合运用所学的学问和技能解决问题,发展应运用所学的学问和技能解决问题,发展应用意识用意识 。”全日制义务教化数学课程标准(修改稿):全日制义务教化数学课程标准(修改稿):总体目标2:体会数学学问之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思索,增加发觉和提出问题的实力、分析和解决问题的实力。一般中学数学课程标准(试验稿):一般中学数学课程标准(试验稿):课程目标课程目标3 3:提高数学地提出、分析和解:提高数学地提出、分析

4、和解决问题(包括简洁的实际问题)的实力,决问题(包括简洁的实际问题)的实力,数学地表达和沟通的实力,发展独立获得数学地表达和沟通的实力,发展独立获得数学学问的实力。数学学问的实力。通过通过“数学探究数学探究”和和“数学建模数学建模”等课程等课程内容的实施,把学生内容的实施,把学生“提出问题提出问题”实力的实力的培育贯穿于中学数学教学过程。培育贯穿于中学数学教学过程。数学问题及其提出数学问题及其提出1数学数学问题和提出数学和提出数学问题解析解析2数学数学问题提出的教化功能提出的教化功能3数学数学问题提出的策略提出的策略4引引导学生提出数学学生提出数学问题的方法及策略的方法及策略5提出数学提出数学

5、问题实力的力的评价价6数学数学问题提出与提出与课堂提堂提问的区分的区分一、数学问题和提出数学问题解析一、数学问题和提出数学问题解析1.问题问题2.数学问题数学问题3.提出数学问题提出数学问题1 1、问题、问题问题是一种特殊的情境,是个风光问题是一种特殊的情境,是个风光临一个临一个不易达到的目标或困难课题时的情境。不易达到的目标或困难课题时的情境。心理学家梅耶(心理学家梅耶(R.E.MayerR.E.Mayer)认为:)认为:“当问题解当问题解决者想让某种情境从一种状态转变为另一种不决者想让某种情境从一种状态转变为另一种不同的状态,而且问题解决者不知道如何扫除同的状态,而且问题解决者不知道如何扫

6、除2 2种状态之间的障碍时,就产生了问题。种状态之间的障碍时,就产生了问题。”他还他还指出,一个问题由指出,一个问题由3 3种成分构成:给定状态、种成分构成:给定状态、目标状态以及阻挡给定状态转变为目标状态的目标状态以及阻挡给定状态转变为目标状态的障碍。障碍。问题的存在与否是相对于问题解决者而言的,问题的存在与否是相对于问题解决者而言的,因此,问题具有目标性、障碍性和相对性。因此,问题具有目标性、障碍性和相对性。显现型问题(由老师或教科书上提出的问显现型问题(由老师或教科书上提出的问显现型问题(由老师或教科书上提出的问显现型问题(由老师或教科书上提出的问题),答案、求解思路均是现成的,学生题)

7、,答案、求解思路均是现成的,学生题),答案、求解思路均是现成的,学生题),答案、求解思路均是现成的,学生只须照章办事,按序求解就能获得与标准只须照章办事,按序求解就能获得与标准只须照章办事,按序求解就能获得与标准只须照章办事,按序求解就能获得与标准答案相同的结果,无需想象与创建;答案相同的结果,无需想象与创建;答案相同的结果,无需想象与创建;答案相同的结果,无需想象与创建;发觉型问题,它们有的虽有已知答案,但发觉型问题,它们有的虽有已知答案,但发觉型问题,它们有的虽有已知答案,但发觉型问题,它们有的虽有已知答案,但问题是由学生提出或发觉,而不是老师或问题是由学生提出或发觉,而不是老师或问题是由

8、学生提出或发觉,而不是老师或问题是由学生提出或发觉,而不是老师或教科书给定的。对学生个体而言,却是一教科书给定的。对学生个体而言,却是一教科书给定的。对学生个体而言,却是一教科书给定的。对学生个体而言,却是一种探究、独立的发觉;种探究、独立的发觉;种探究、独立的发觉;种探究、独立的发觉;创建型问题,这类问题是人们从未提出过创建型问题,这类问题是人们从未提出过创建型问题,这类问题是人们从未提出过创建型问题,这类问题是人们从未提出过的,属原创性问题。的,属原创性问题。的,属原创性问题。的,属原创性问题。学生遇到的问题多属于学生遇到的问题多属于“再发觉再发觉”的问的问题。美国芝加哥高校心理学家题。美

9、国芝加哥高校心理学家J.W盖泽与斯盖泽与斯曾把学生的问题大致分为曾把学生的问题大致分为3类:类:2 2、数学问题、数学问题数学问题特指用数学语言表述的有关空间数学问题特指用数学语言表述的有关空间形式与数量关系的问题,它由条件、目标形式与数量关系的问题,它由条件、目标等信息组成等信息组成 。数学问题也可分为数学问题也可分为3 3类:仿照性数学问题类:仿照性数学问题(或常规性数学问题);发展性、探究性(或常规性数学问题);发展性、探究性数学问题;创建性数学问题。数学问题;创建性数学问题。我们要特殊关注学生提出的发展性、探究我们要特殊关注学生提出的发展性、探究性数学问题,因为这类问题的已有学问,性数

10、学问题,因为这类问题的已有学问,条件、结论未必清晰,解答也未必唯一,条件、结论未必清晰,解答也未必唯一,更利于学生问题意识和创新精神的培育。更利于学生问题意识和创新精神的培育。3 3、提出数学问题、提出数学问题在数学教学活动中,在数学教学活动中,“提出问题提出问题”是指通过是指通过对情境的探究产生新问题,或在解决问题过对情境的探究产生新问题,或在解决问题过程中对问题的再阐述程中对问题的再阐述(re-formulation)(re-formulation)。前者将提出问题看作是一种相对独立的数学前者将提出问题看作是一种相对独立的数学活动,后者则把提出问题视为解决问题的手活动,后者则把提出问题视为

11、解决问题的手段。段。提出问题具有静态特征和动态特征提出问题具有静态特征和动态特征从静态的角度看,它是提问者对已经发觉或产生从静态的角度看,它是提问者对已经发觉或产生的的“问题问题”所进行的文字的或言语的表达;所进行的文字的或言语的表达;从动态的角度看,它是主体形成从动态的角度看,它是主体形成“问题意识问题意识”和和生成数学问题的过程。期间,提问者经验了从内生成数学问题的过程。期间,提问者经验了从内隐的思维活动向外显的数学行为的转化。隐的思维活动向外显的数学行为的转化。内隐的思维活动指的是主体基于对情境的视察和内隐的思维活动指的是主体基于对情境的视察和分析,以及对分析,以及对“问题问题”信息的收

12、集、选择和处理,信息的收集、选择和处理,产生认知冲突、形成问题意识和生成数学问题。产生认知冲突、形成问题意识和生成数学问题。外显的数学行为指的是主体以书面的或口头的方外显的数学行为指的是主体以书面的或口头的方式表达数学问题的过程。式表达数学问题的过程。学生数学提出问题的动态过程学生数学提出问题的动态过程数学情境数学情境(信信息息的的、经经验验的的和和现现实实的的背景)背景)观察、分析与探究观察、分析与探究的收集、选择与处理的收集、选择与处理(书面的或口头(书面的或口头的)的)表达数学问题表达数学问题发现或建发现或建构新的数构新的数学问题学问题形形 成成问题意识问题意识产产 生生认知冲突认知冲突

13、基于对基于对“问题问题”信息信息内隐的思维活动内隐的思维活动外显的数学行为外显的数学行为二、数学问题提出的教化功能二、数学问题提出的教化功能 Silver总结了数学问题提出6个方面的意义:问题提出是创建性活动或特殊才能的特征;问题提出是探究性教学的特征;问题提出是数学活动的特征;问题提出是改进问题解决的手段;问题提出是了解数学理解状况的窗口;问题提出是改善学生数学情感的手段。夏小刚教授认为:夏小刚教授认为:提出问题是解决问题的重要手段提出问题可以促进学生数学沟通实力的发展提出问题有助于增加学生的数学自信念提出问题有助于提高学生的数学创新力三、数学三、数学问题问题提出的策略提出的策略1.因果策略

14、因果策略2.比较策略比较策略 3.扩大策略扩大策略 4.极限策略极限策略5.变更策略变更策略 6.逆反策略逆反策略7.否定属性策略否定属性策略1 1 因果策略:为什么设置这样的情境?因果策略:为什么设置这样的情境?在在圆的面积圆的面积教学中,创设圆沿半径等份的情教学中,创设圆沿半径等份的情境。如下图,把圆平均剪成境。如下图,把圆平均剪成1616份,拼一拼,近似份,拼一拼,近似什么图形?什么图形?若把圆平均剪成若把圆平均剪成3232份,拼一拼,近似什么图形份,拼一拼,近似什么图形?视察:所拼的图形。你发觉了什么趋势?视察:所拼的图形。你发觉了什么趋势?有什么想法?有什么想法?猜想:分的份数越多,

15、拼成的图形就越接猜想:分的份数越多,拼成的图形就越接近长方形。近长方形。每组接着探讨:拼成的近似长方形与圆有每组接着探讨:拼成的近似长方形与圆有什么关系?如何借助这个长方形的面积推什么关系?如何借助这个长方形的面积推导出圆的面积?导出圆的面积?结论:利用长方形的面积公式推导圆的面结论:利用长方形的面积公式推导圆的面积公式。积公式。2 比较策略:比较同一数学规律在不怜悯境下的应用;不同概念,不同规律之间的异同;比较相互冲突的说明、说法和理论;比较新事物和旧理论之间的冲突和类似现象之间的异同;从中发觉并提出问题。叠报为梯登月球的问题迁移:某人听到一叠报为梯登月球的问题迁移:某人听到一个谎言后个谎言

16、后1 1小时内传给小时内传给2 2人,人,2 2人在人在1 1小时内小时内又传给又传给4 4人,依次类推,前面的每一个人人,依次类推,前面的每一个人听到谎言均在听到谎言均在1 1小时内分别传给小时内分别传给2 2个人,如个人,如此下去,问一昼夜能传遍此下去,问一昼夜能传遍1 1千万人口的大千万人口的大城市吗城市吗?学生计算出:学生计算出:2 22424=16777216(=16777216(人人),就可以推算出谎言一昼夜能传遍这座大,就可以推算出谎言一昼夜能传遍这座大城市的结论。城市的结论。3 扩扩大策略:从特殊状况或大策略:从特殊状况或现现象中象中总结总结出的出的规规律,推广到更大范律,推广

17、到更大范围围或一般状况或一般状况还还能成立能成立吗吗?这这个个规规律是具有普遍性律是具有普遍性还还是只适合于某些特殊状况?怎是只适合于某些特殊状况?怎样样改改动动才才可以可以应应用到另外的状况?用到另外的状况?从勾股定理到费尔马定理。假如从勾股定理到费尔马定理。假如a a、b b是直角三角是直角三角形的两直角边,形的两直角边,c c为斜边,那么有为斜边,那么有a2+b2=c2.a2+b2=c2.此命此命题称为勾股定理。假如正整数题称为勾股定理。假如正整数x x、y y、z z满足下列满足下列不定方程不定方程x2+y2=z2x2+y2=z2,则称他们勾股数。,则称他们勾股数。当指数为随意的大于当

18、指数为随意的大于2 2的自然数的自然数n n时,时,xn+yn=znxn+yn=zn有有没有正整数解?猜想当没有正整数解?猜想当n3n3时,不定方程时,不定方程xn+yn=znxn+yn=zn不存在正整数解,这就是著名的费尔马不存在正整数解,这就是著名的费尔马大定理。大定理。19941994年,英国数学家安德鲁年,英国数学家安德鲁维尔斯给出了这个维尔斯给出了这个定理的严格证明。定理的严格证明。4 4 极限策略:在通常状况下成立的理论极限策略:在通常状况下成立的理论与规律,放到极端条件下还会出现或与规律,放到极端条件下还会出现或成立吗?会不会出现新的问题?成立吗?会不会出现新的问题?由图由图1

19、1那样的等边三角形起先。然后那样的等边三角形起先。然后把三角形的每条边三等分,并在每条边三把三角形的每条边三等分,并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形,但要分后的中段向外作新的等边三角形,但要像图像图2 2那样去掉与原三角形叠合的边。接那样去掉与原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分接着上述着对每个等边三角形尖出的部分接着上述过程,即在每条边三分后的中段,像图过程,即在每条边三分后的中段,像图3 3那样向外画新的尖形。不断重复这样的过那样向外画新的尖形。不断重复这样的过程,便产生了类似雪花的曲线程,便产生了类似雪花的曲线雪花曲雪花曲线。线。我们发觉:当这种重复过程有限时,产生我

20、们发觉:当这种重复过程有限时,产生的多边形的面积和周长都是有限的的多边形的面积和周长都是有限的.但是,当这种重复过程无限时,产生的多但是,当这种重复过程无限时,产生的多边形边形雪花曲线的性质令人惊异:具有雪花曲线的性质令人惊异:具有有限的面积,却有着无限的周长!有限的面积,却有着无限的周长!5 变更策略:还有没有其他的结论?假如变更策略:还有没有其他的结论?假如条件变更,结果会怎样?条件变更,结果会怎样?如下图:小华家距离学校如下图:小华家距离学校0.5千米,小林家距学校千米,小林家距学校1.5千米,求小华家到小林家的距离。千米,求小华家到小林家的距离。通常,学生把小华家、小林家、学校视为通常

21、,学生把小华家、小林家、学校视为同始终线上的三点,因此得出两家相距同始终线上的三点,因此得出两家相距1 1千千米或米或2 2千米的答案。千米的答案。进一步思索,同学们就会发觉这一问题的进一步思索,同学们就会发觉这一问题的答案,远不止此,假如小华家、小林家、答案,远不止此,假如小华家、小林家、学校三者不在同始终线上,小华家到小林学校三者不在同始终线上,小华家到小林家的距离家的距离S S就为一给定范围:就为一给定范围:1 1千米千米S S2 2千米,因为这涉及到小华家和学校的连线千米,因为这涉及到小华家和学校的连线与小林家和学校的连线夹角(与小林家和学校的连线夹角(00 00,3600,3600)

22、的大小。也即:这是个无穷解问)的大小。也即:这是个无穷解问题。题。因此,该问题的正确答案为:因此,该问题的正确答案为:1 1千米千米S2S2千米。千米。6 6 逆反策略:正面的问题,反过来会逆反策略:正面的问题,反过来会怎样?定理成立,它的逆定理也确定怎样?定理成立,它的逆定理也确定成立吗?成立吗?在立体几何教学中,三垂线定理的逆命题在立体几何教学中,三垂线定理的逆命题成立吗?它的逆命题(三垂线定理的逆定成立吗?它的逆命题(三垂线定理的逆定理)也成立。理)也成立。7 7 否定属性策略否定属性策略(what-if-not)(what-if-not)19901990年,美国学者布朗和沃尔特在提出问

23、题的年,美国学者布朗和沃尔特在提出问题的艺术(艺术(The Art of Problem PosingThe Art of Problem Posing)一书中,)一书中,对该策略的具体步骤作了以下阐述:对该策略的具体步骤作了以下阐述:(1 1)确定动身点,这可以是已知的命题、问题或)确定动身点,这可以是已知的命题、问题或概念;概念;(2 2)对所确定的对象进行分析,列举出它的各个)对所确定的对象进行分析,列举出它的各个“属性属性”;(3 3)就所列举的每一)就所列举的每一“属性属性”进行思索:进行思索:“假如假如这一属性不是这样的话,那它可能是什么?这一属性不是这样的话,那它可能是什么?”(

24、4 4)依据上述对于各种属性的分析提出新的问题;)依据上述对于各种属性的分析提出新的问题;(5 5)对所提出的新问题进行选择。)对所提出的新问题进行选择。例(例(20022002年上海高考题):已知点年上海高考题):已知点A A(-,0 0)和)和B B(,0 0),动点),动点C C到到A A、B B两点的距离之差的确定值为两点的距离之差的确定值为2 2,点,点C C的的轨迹与直线轨迹与直线y=x-2y=x-2交于交于D D、E E两点,问线两点,问线段段DEDE的长度为多少?的长度为多少?步骤(步骤(步骤(步骤(1 1 1 1):选择动身点):选择动身点):选择动身点):选择动身点1 1

25、1 1)圆锥曲线与直线相交是历年高考解析几何的)圆锥曲线与直线相交是历年高考解析几何的)圆锥曲线与直线相交是历年高考解析几何的)圆锥曲线与直线相交是历年高考解析几何的典型情境;典型情境;典型情境;典型情境;2 2 2 2)学生具有解决这类问题的阅历;)学生具有解决这类问题的阅历;)学生具有解决这类问题的阅历;)学生具有解决这类问题的阅历;3 3 3 3)该问题的属性很多。)该问题的属性很多。)该问题的属性很多。)该问题的属性很多。步骤(步骤(步骤(步骤(2 2 2 2):列出部分属性):列出部分属性):列出部分属性):列出部分属性1)给定点A和B;2)点的个数为2;3)点A和B在x轴上;4)点

26、A和B关于原点对称;5)点A和B的横坐标的确定值为 ;6)点A和B的坐标是具体的数值;7)已知动点C到A、B的距离之差;8)点C到A、B的距离之差的确定值等于2;9)点C到A、B的距离之差的确定值是个具体的数值;10)问题涉及一条直线;11)直线的斜率为1;12)直线的斜率为一个具体数值;13)直线在y轴上的截距为-2;14)直线在y轴上的截距为一个具体数值;15)C的轨迹与直线有两个交点;16)动点的轨迹为双曲线;17)本题要求的是线段的长度;18)本题是个计算题;步步步步骤骤(3 3 3 3):):):):对对所列属性所列属性所列属性所列属性进进行否定,列出新的属性行否定,列出新的属性行否

27、定,列出新的属性行否定,列出新的属性对于属性对于属性1 1),我们问:),我们问:“假如已知的不是两个假如已知的不是两个点点A A和和B B,情形将如何?,情形将如何?”用布朗和沃尔特的记号用布朗和沃尔特的记号(1 1)表示对属性)表示对属性1 1)的否定,以下类推),)的否定,以下类推),可以部分列出如下新的属性。可以部分列出如下新的属性。(1 1)1 1:给定一点:给定一点A A和直线和直线l;l;(1 1)2 2:给定两直线:给定两直线l1l1和和l2l2;对对于属性于属性7),我),我们问们问:“假如已知的假如已知的不是距离之差的确定不是距离之差的确定值值,情形将如何?,情形将如何?”

28、可列出以下新属性。可列出以下新属性。(7 7)1 1:已知:已知C C到到A A、B B距离之和;距离之和;(7 7)2 2:已知:已知C C到到A A、B B距离之积;距离之积;(7 7)3 3:已知:已知C C到到A A、B B距离之比;距离之比;(7 7)4 4:已知:已知C C到到A A、B B距离之平方和。距离之平方和。对对于属性于属性14),我),我们问们问:“直直线线在在y轴轴上的截距不是一个具体数上的截距不是一个具体数值值,情形将,情形将如何?如何?”可列出以下新属性。可列出以下新属性。(1414)1 1:直线在:直线在y y轴上的截距为轴上的截距为m m;(1414)2 2:

29、直线在:直线在y y轴上截距的范围是轴上截距的范围是-1,1-1,1;对于属性对于属性1717),我们问:),我们问:“假如所求的假如所求的不是线段的长度不是线段的长度,情形将如何?情形将如何?”可列出以下可列出以下新属性。新属性。(1717)1 1:求线段:求线段DEDE的中点;的中点;(1717)2 2:求线段:求线段DEDE的垂直平分线方程;的垂直平分线方程;(1717)3 3:求:求ADEADE的面积;的面积;(1717)4 4:推断:推断DOEDOE的形态的形态(O(O为坐标原点为坐标原点)。(1717)5 5:求:求OD2+OE2OD2+OE2。步骤(步骤(4 4):基于一个或若干

30、个新属性提):基于一个或若干个新属性提出新问题。出新问题。依据(依据(1414)2 2 可提出如下问题:可提出如下问题:“已已知点知点A A(-,0 0)和)和B B(,0 0),动),动点点C C到到A A、B B两点的距离之差的确定值为两点的距离之差的确定值为2 2,点,点C C的轨迹与直线的轨迹与直线y=x-my=x-m交于交于D D、E E两点,两点,当当-1 m 1,-1 m 1,求线段求线段DEDE长度的取值范长度的取值范围。围。”38 依据(1)1、(7)4 和(17)2 可提出如下问题。已知点已知点A A(,0 0)和直线)和直线l:x=-,l:x=-,动动点点C C到点到点A

31、 A和直线和直线l l距离平方之和等于距离平方之和等于1212,点,点C C的轨迹与直线的轨迹与直线y=x-2y=x-2交于交于D D、E E两点,两点,求线段求线段DEDE的垂直平分线方程。的垂直平分线方程。39四四 引导学生提出数学问题的策略引导学生提出数学问题的策略1.使学生了解提出问题的重要性,必要性使学生了解提出问题的重要性,必要性与可行性,激发和树立学生提出数学问与可行性,激发和树立学生提出数学问题的动机和信念;题的动机和信念;2.留意引导学生挖掘、发觉和分析隐藏于留意引导学生挖掘、发觉和分析隐藏于数学情境中的内在信息,激励学生大胆数学情境中的内在信息,激励学生大胆猜想、探究、独立

32、提出数学问题;猜想、探究、独立提出数学问题;3.3.教给学生提出数学问题的方法。教给学生提出数学问题的方法。如:依如:依据数学情境中的信息或联系生活实际,依据数学情境中的信息或联系生活实际,依据逻辑推理或猜想,从视察、试验、类比、据逻辑推理或猜想,从视察、试验、类比、归纳中,提出数量关系或空间形式的问题;归纳中,提出数量关系或空间形式的问题;在解决给定问题的过程中或变更给定问题在解决给定问题的过程中或变更给定问题的限定条件提出问题;在解决问题后的回的限定条件提出问题;在解决问题后的回顾与反思中提出问题;考虑已知定理的逆顾与反思中提出问题;考虑已知定理的逆命题和已有问题的反问题提出问题;等等。命

33、题和已有问题的反问题提出问题;等等。4.4.留意围绕教学目标引导学生提出问题。当留意围绕教学目标引导学生提出问题。当学生提出远离教学目标与要求的问题时,学生提出远离教学目标与要求的问题时,既要爱护学生提出问题的主动性,又要擅既要爱护学生提出问题的主动性,又要擅长诱导学生将问题引向教学目标。长诱导学生将问题引向教学目标。培育学生提出数学问题实力的策略培育学生提出数学问题实力的策略 1.给定一个情境,让学生依据情境、围绕教学目给定一个情境,让学生依据情境、围绕教学目标提出不同层次的问题;标提出不同层次的问题;2.让学生依据给定问题的数学结构编制新问题;让学生依据给定问题的数学结构编制新问题;3.从

34、给定的数量关系或图形,引导学生通过类比、从给定的数量关系或图形,引导学生通过类比、联想提出相关问题;联想提出相关问题;4.按部就班地训练学生提出问题按部就班地训练学生提出问题从仿照老师从仿照老师提问到探讨合作提问再到学生独立自主提出问提问到探讨合作提问再到学生独立自主提出问题;题;5.即时评价,强化学生提出问题的意识与实力。即时评价,强化学生提出问题的意识与实力。五、提出数学问题实力的评价1.评价的目的和作用价的目的和作用2.评价的价的标准准3.评价量表价量表1 评价的目的和作用价的目的和作用 评价的目的:更好地依据学生提出问评价的目的:更好地依据学生提出问题实力的状况来设计教学,改进和提炼教

35、题实力的状况来设计教学,改进和提炼教学策略和方法,使学生的数学创新意识和学策略和方法,使学生的数学创新意识和实力得到进一步发展。实力得到进一步发展。评价的作用:有助于考察学生对基础评价的作用:有助于考察学生对基础学问的理解和基本技能的驾驭,也有利于学问的理解和基本技能的驾驭,也有利于揭示和分析学生的数学思维。揭示和分析学生的数学思维。2 2 评价的标准评价的标准问题的数量的数量问题的种的种类问题的新的新颖性性1)问题问题的数量的数量主要关注学生能否提出大量有价值、有意义的、表述清晰的问题。至少,一个学生所提出的问题数量较多,表明他在收集和处理问题信息时能产生大量有价值和意义的联想,对其中的数学

36、关系能依据问题的结构要求进行不同的排列,并赐予清晰的表达。可实行的方法:就学生个体而言,老师对学生当前和以往提出的问题数量进行统计和分析;对不同学生或不同班级的学生来说,可以对他们提出的问题数量进行比较。例:例:黄老师按某种规则画出了下面一组图形黄老师按某种规则画出了下面一组图形 (如图)(如图)他要在这组图形的基础上提出三个问题作为学生的家他要在这组图形的基础上提出三个问题作为学生的家庭作业。一个是比较简洁的问题,一个是中等难度的庭作业。一个是比较简洁的问题,一个是中等难度的问题,另一个是比较难的问题。这三个问题可以用上问题,另一个是比较难的问题。这三个问题可以用上面这组图形供应的信息解决。

37、面这组图形供应的信息解决。请你帮黄老师想出三个问题,并把它们写下来。请你帮黄老师想出三个问题,并把它们写下来。学生可能提出的学生可能提出的问题问题:围绕某个或多个图形的点数可能提出:第3个图形的点数是多少?第5个图形的黑点数是多少?第10个图形中的白点数是多少?等等。围绕图形点数的比较可能提出:第3个图形的点数比第2个的多多少?第11图形的点数比第10个图形的多多少?等等。还有其他探究点,如图形点数的变更规律。2)问题问题的种的种类类关注学生能否从不同角度提出不同的数学问题。关注学生能否从不同角度提出不同的数学问题。当学生提出大量的问题之后,老师须要从中鉴别当学生提出大量的问题之后,老师须要从

38、中鉴别哪些是同一种类的数学问题,哪些属于不同种类哪些是同一种类的数学问题,哪些属于不同种类的数学问题。的数学问题。有多种推断维度:以有多种推断维度:以“问题的信息拓展与否问题的信息拓展与否”维维度推断,数学问题分为度推断,数学问题分为“非拓展性问题非拓展性问题”和和“拓拓展性问题展性问题”;以问题的可解性维度推断,;以问题的可解性维度推断,“非非拓展性问题拓展性问题”可分为可分为“可解决的非拓展性问题可解决的非拓展性问题”和和“不行解决的非拓展性问题不行解决的非拓展性问题”,“拓展性问拓展性问题题”可分为可分为“可解决的拓展性问题可解决的拓展性问题”和和“不行不行解决的拓展性问题解决的拓展性问

39、题”;以问题的难易程度为维度;以问题的难易程度为维度可对问题作出进一步的划分。(如下图)可对问题作出进一步的划分。(如下图)数学问题数学问题非拓展性问题非拓展性问题拓展性问题拓展性问题可解决的可解决的非拓展性问题非拓展性问题不可解决的不可解决的非拓展性问题非拓展性问题可解决的可解决的拓展性问题拓展性问题不可解决的不可解决的拓展性问题拓展性问题简单的简单的拓展性问题拓展性问题复杂的复杂的拓展性问题拓展性问题依据有无价依据有无价值值和意和意义义来分:来分:一是有价值和意义的数学问题:可解决的非拓展性问题、简洁的拓展性问题以及困难的拓展性问题。二是没有价值和意义的问题:不行解决的非拓展性问题和拓展性

40、问题。以以“圆点点图形形”的数学任的数学任务为例例说明明“问题信息的拓展与否信息的拓展与否”维度。度。假定某学生提出如下3个问题:第3个图形的白点数是多少?第10个图形的白点数呢?第n个图形的白点数呢?问题属于非拓展性问题,其信息来自情境给定的初始条件。问题 属于拓展性问题,其信息超出情境给定的初始条件。3)问题问题的新的新颖颖 性性从数学的角度看,一个问题具有新颖性,主要指它在某个特定数学学科领域上的独创性。从教化的角度看,问题被看作一种心理困惑,问题存在与否,取决于人的主要认知和感受,因此,问题新颖与否,往往具有相对性。新颖的问题大多包含两个基本特征:原创性问题必需对其他学生的问题而言是“

41、新”的。新颖的问题往往具有不落俗套、出乎意料、好玩等特点。合理性问题必需合乎数学的简洁性、逻辑性特点且为师生普遍接受。否则,问题即使是“新”的,可能也难以被人接受。问题新颖问题新颖 性的一种可行的推断方法性的一种可行的推断方法把提出问题的测试应用于很多学生,从学生的反应中积累一些典型的数学问题,并对不同的问题分别赐予不同的分值,然后,在学生的问题中找出与这些典型问题最接近的问题,据此就可以对问题的新颖性加以推断。或者,从全部学生提出的问题中积累一套典型问题,然后把学生提出的问题与那些典型问题作比较,看这个给定问题是否具有新颖性,这样,对新颖问题的数量进行统计,就可以检测学生思维的独创性。3 3

42、 评价量表评价量表评评 价价 因因 素素得得 分分母母 项项母项母项权数权数子项子项子项子项权数权数子项子项得分得分母项母项得分得分A A问题的数量问题的数量K KA A=0.40=0.40A A1 1:有价值和意义的问题数量有价值和意义的问题数量K K1 1=0.60=0.60A A2 2:表达清楚的问题数量表达清楚的问题数量K K2 2=0.40=0.40B B问题的种类问题的种类K KB B=0.40=0.40B B1 1:问题的可解性问题的可解性K K3 3=0.30=0.30B B2 2:问题信息的拓展程度问题信息的拓展程度K K4 4=0.40=0.40B B3 3:问题的难易程度

43、问题的难易程度K K5 5=0.30=0.30C C问题的新颖性问题的新颖性K KC C=0.20=0.20C C1 1:原创性原创性K K6 6=0.40=0.40C C2 2:合理性合理性K K7 7=0.60=0.60六六 学生提出问题与老师课堂提问的区分学生提出问题与老师课堂提问的区分类别类别教师的提问教师的提问学生的提出问题学生的提出问题目的目的 引发学生的理解和思考,吸引学引发学生的理解和思考,吸引学生的注意力,完成教学目标,把生的注意力,完成教学目标,把握教学进程。握教学进程。寻求对自身疑惑的释然,展现寻求对自身疑惑的释然,展现自己对数学创造的积极追求。自己对数学创造的积极追求。

44、行为行为对象对象学生学生教师和其他学生教师和其他学生问题问题类型类型数学问题,课堂管理型问题数学问题,课堂管理型问题数学问题数学问题问题问题性质性质不表明教师对所提问题的无知,不表明教师对所提问题的无知,而是一种有目的、有意识和有计而是一种有目的、有意识和有计划的教学行为。划的教学行为。反应学生的质疑和探究意识。反应学生的质疑和探究意识。类别类别教师的提问教师的提问学生的提出问题学生的提出问题问题问题来源来源教学内容以及学生的知识技能教学内容以及学生的知识技能状况状况来自学生自己的疑惑和好来自学生自己的疑惑和好奇。奇。权利权利行使行使教师的教学自主权的一种表现教师的教学自主权的一种表现形式,由

45、于它具有形式,由于它具有“法理法理”的的地位,因此,对地位,因此,对“提问提问”权利权利的拥有,对教师来说是的拥有,对教师来说是“天经天经地义地义”的。的。取决于课程观、教师和课取决于课程观、教师和课堂教学的性质。堂教学的性质。理答理答方式方式学生回答或教师自答。学生回答或教师自答。教师或其他学生。教师或其他学生。续表:续表:作业作业:(任选两道):(任选两道)请回回忆印象最深刻的一次提出数学印象最深刻的一次提出数学问题的的经验,尽可能具体精确地描述你当尽可能具体精确地描述你当时提出提出问题的的过程和程和心理感受。心理感受。自自选一道数学高考一道数学高考题,运用否定属性策略提出至,运用否定属性策略提出至少少5个个问题,把它,把它们写出来;并写出来;并试着解出其中一个。着解出其中一个。如何培育学生提出数学如何培育学生提出数学问题实力?力?谈谈你你对提出提出问题实力力评价的三个价的三个标准的理解。准的理解。!THANKS!THANKS!?QUESTIONS?QUESTIONS?

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