一次函数知识归纳 .doc

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1、一次函数知识归纳 一、变量： 自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量 函数：被变量是自变量的函数 函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值 因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量 二、一次函数和正比例函数的概念 1 概念： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. （1） 一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2） 一次函数y=kx+b（

2、k，b为常数，k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数. 判断一个等式是否是一次函数先要化简 （3） 当b=0，k0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数) （4） 当b=0，k=0时，它不是一次函数. 2. 函数的表示方法： ）解析法，）列表法， ）图象法 列表法直观但不完全 解析法准确完全但不直观 图象法直观形象但不够准确也不太完全 图象的画法：一列表、二描点、三连线（顺次用平滑的曲线） 解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值 二）符合题意 三、函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应

3、的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线 一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 四、 一次函数性质 1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的性质 （1） k的正、负决定直线的倾斜方向； k

4、0时，y的值随x值的增大而增大； kO时，y的值随x值的增大而减小 （2） |k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大 （直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3） b的正、负决定直线与y轴交点的位置； 当b0时，直线与y轴交于正半轴上； 当b0时，直线与y轴交于负半轴上； 当b=0时，直线经过原点，是正比例函数 （4） 由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； K b经过的象限Y随x的变化图像Y=kx+b(b0)k0b0一二三Y随x的增大而增大Y=kx+b(b0)k0b0一三四Y随x的增大而增大Y=kx+b(b0)k0一二四Y随

5、x的增大而减小Y=kx+b(b0)k0b0) y=kx (k0时，直线经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；b0（a0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，对应的x的取值是不等式ax+b0或0(a、b为常数，a,b0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。7、直线和直线的交点坐标（k,b）就是方程组的解。一

6、次函数解析式的求法 求函数解析式，是初中代数的一个重要内容，一次函数几种常见的解法有：一、待定系数法 待定系数法是求函数解析式的基本方法，其一般步骤为，首先设出所求 函数解析式，再根据题设条件列出相应的方程（组），最后将所求待定系数的 值代入所设的函数解析式即可。例1. 已知一次函数的图象经过点A（2，）和B，点B是另一条直线 与y轴的交点，求这个函数的解析式。 解：设一次函数的解析式为，则由题意得交点B的坐标为（0，3）， 又一次函数的图象经过点A（2，-1）和点B（0，3）， 解得 所求的函数解析式为。例2. 已知（其中a,b是常数）成正比例， 求证：（1）y是x的一次函数； （2）如果时

7、，时，把y表示成x的函数式。分析：（1）欲证y是x的一次函数，即把y表示成“”的形式，由与成正比例，故可设，经变形可证。 （2）把两组值代入由（1）得到的函数表示式中，求得参数的值。 解：（1）设 ，故y是x的一次函数。 （2）把分别代入中，得 所求的解析式为。二、平移变换法 平移变换法，就是把函数的图象沿x轴向右（）或向左（） 平移|a|个单位，再沿y轴向上（）或向下平移|b|个单位，即可得到 函数的图象。利用这个平移法则可直接写出所求函数图象的 解析式。 例3. 将直线向左平移3个单位，再向上平移一个单位，所得的直线解 析式为_。 解：根据题意及平移变换法则 得，即三、数形结合法 数形结合

8、法，就是根据问题的需要，既可以把数量关系转化为图形性质 去研究也可以把图形性质转化为数量关系来讨论。 例4. 已知两个一次函数和，试用两种不同的方法比较它 们同一个自变量对应的函数值的大小。 分析：比较两个一次函数值的大小，可以从图象法，代入法两个角度比较。 解：解法一：（图象法）在同一坐标系中作出一次函数 的图象。 如图，观察可知当时与相交于（1，-1），即； 当的函数图象在的函数图象的下方，即。 当时，的函数图象在的函数图象的上方，即。 解法二：（代数法） 当 当 当 由此可见，上述两种解法，分别从数、形两种角度入手，相得益彰。 例5. 如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直

9、角坐标系xOy 中，使AB在x轴的正半轴上，A点的坐标是（1，0）。 （1）经过点C的直线与x轴交于点E，求四边形AECD的面积。 （2）若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线 的方程并在坐标系中画出直线。 分析：（1）要求四边形ABCD面积，因为正方形ABCD中DC/AE。可见 四边形AECD为梯形。 为此只要求AE即可。 （2）要使直线l把正方形面积分成相等两部分，只要直线过正方 形的对称中心，即对角线交点。 解：（1）由，得。 。 四边形AECD为直角梯形， （平方单位） （2）过正方形对称中心的直线，总是将正方形分成面积相等的 两部分。 过点E及正方形对称中心的直

10、线即为所求的直线。 连接AC、BD交于G。 则E（2，0），G（3，2）代入的， 解得 所求直线l的方程为。四、分类讨论法 分类讨论法，就是在题目中未出现图形或具体条件时将会出现多种可能 性，因此要分别进行讨论。 例6. 如果一次函数的自变量x的取值范围是，相应函数值 的范围是，求此函数的解析式。 分析：由于一次函数的图象是直线，故当时，图象是线段，由一次 函数的增减性，函数的最值一定对应x的最值即y的最大值9，一定对 应x的最大值6，或最小值，这要视k的符号而定。 解：对k的值分两种情况进行讨论： （1）当时，则y的值随x的增大而增大，因此，一定是当时， 。 当时， 故得 解之得 所求函数解

11、析式为。 当时，y随x的增大而减小，一定是。 于是得解得 所求解析式为 综合上述两种情况。符合条件的解析式为 一次函数解析式的另外几种求法在中学数学中，一次函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好一次函数的解析式对今后的学习非常有用。确定一次函数解析式主要有以下几种方法。 一、待定系数法待定系数法是一种重要的数学思想方法，它在方程讨论、函数的研究等方面均有较多的应用。用待定系数法求函数的解析式，把函数问题转化为已经熟悉的方程问题来解决，这不仅得到了求函数解析式的常规方法，更融入了知识的内在联系。待定系数法确定一次函数解析式的解题步骤有四步：设出一次函数解析式y=kx+b（k0）将数对代入，

12、得二元一次方程组解方程组求出k和b的值写出答案这样的题目主要有三类，下面分别举例说明1、语言类例1 已知y是x的一次函数，当x=1时，y的值是-1；当x=2时，y的值是-3，求这个一次函数的解析式解: 设这个一次函数解析式为y=kx+b，根据题意列方程组得： 解方程组得 k=-2， b= 1 所以这个一次函数解析式为y=-2x+1例2 （北师大版 八年级教材上第242页）某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。（1）写出

13、y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 解析：（1）此题可以理解为当x=60时，y的值是5，当x=90时，y的值是10；也可以理解为此一次函数的图象经过点（60，5），（90，10）两个点。所以设y与x之间的关系式为y=kx+b，根据题意列方程组得： 解方程组得 k=， b= -5 所以这个一次函数解析式为y=x-5（2）当y=0时，x-5=0 解得 x=30 ， 所以旅客最多可免费携带30千克的行李。2、表格类例3 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度是按一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身体调节高度.于是，他

14、测量了一套课桌、凳相对应的四挡高度，得到如下数据： 档次高度第一档第二档第三档第四档凳高x（cm）37.040.042.045.0桌高y（cm）70.074.878.082.8(1) 小明经过对数据探究发现：桌高y（cm）是凳高x（cm）的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由.解析：由题意得桌高y（cm）是凳高x（cm）的一次函数，故可设y=kx+b，然后从表格中任选两档的凳高和桌高分别作为两个点的坐标，最后用待定系数法即可求出这个一次函数.

15、3、图像类例4 (2006，河北)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30m时，用了 h，开挖6h时甲队比乙队多挖了 m。(2)请你求出： 甲队在0x6的时段时，y与x之间的函数关系式； 乙队在2x6的时段内，y与x之间的函数关系；(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等? 解析：（1）由图知乙队开挖到30m时，用了2h，开挖6h时甲队比乙队多挖了10m； （2）表示甲队的直线经过点（6，60），设这个一次函数解析式为y=kx， 则有6k=60，解得k=10，

16、所以所以这个一次函数解析式为y1=10x（0x6）；表示乙队的直线经过点（2，30）和（6，50），设这个一次函数解析式为y=kx+b，根据题意列方程组得： 解方程组得k=5，b=20 所以这个一次函数解析式为y2=5x+20（2x6）（3）当y1= y2时，有10x=5x+20，解得 x=4，所以，当x=4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等。例5 (2006 ,吉林)小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球量桶中水面升高_cm；(2)求放入小球后量桶中水面的高度y(cm)与小球个数x(个)之间的一次函数

17、关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)量桶中至少放入几个小球时有水溢出？解：(1)由图可得，放入一个小球量桶中水面升高2cm； (2)设y=kx+b，把(0,30)，(3,36)分别代入得： 解得 ， 即y=2x+30. (3)由2x+3049，得x9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出. 二、等量关系法设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样，先列出关于变量 x 、y的二元方程，再用含x的代数式表示 y，最后还要写出自变量x 的取值范围.例6 某音像公司对外租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在出租后

18、第n天（n2且为整数）应收费 元。（用含n的代数式表示）解析：若设一张光盘在出租后第n天（n2且为整数）应收费y元，则y=20.8+0.5（n-2），即y=0.5n+0.6 。例7 （07年，泸州）某市出租车计费标准如下：行使路程不超过3千米时，收费8元；行使路程超过3千米的部分按每千米1.60元计费。 求出租车收费y（元）与行使路程x（千米）之间的函数关系式。若某人一次乘出租车，付出了车费14.40元，求他这次乘坐了多少千米的路程。解析：（1）出租车收费y（元）与行使路程x（千米）之间的函数关系式为y=8+1.6(x-3),即y=1.6x+3.2 (x3)；（2） 把y=14.40代入函数y

19、=1.6x+3.2中即可求解。例8 （北师大版 八年级教材上第207页）某电视机厂要印制产品宣传材料。甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的表达式；（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？（3）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？ 解析：（1）甲厂的收费y1由印制费和制版费两部分组成，故依题意得y1=x+1500 (x为正整数)；乙厂的收费y2仅收每份的印制费2.5元，故依题意得y2=2.5x (x为正整数). （2）

20、当x=800时，y1=800+1500=2300（元），y2=2.5800=2000（元）。应选择乙印刷厂； （3）当y=3000时，x1=3000-1500=1500（份），x2=30002.5=1200（份），应选择甲印刷厂。 三、复合函数法由几个常见的基本函数组合而成的函数叫做复合函数.采用复合函数法一定要弄清楚所涉及的几个基本函数之间的复合关系，正确分析函数的复合层次. 例9 已知y=y1+y2, y1与x+1成正比例，y2与x成正比例，且当x=1时，y=0；且当x=4时，y=9.求y与x的函数关系式.解析：由y1与x+1成正比例，设y1=k1（x+1） （k10）； 由y2与x 成正

21、比例，设y2=k2 x （k20）； 由y=y1+y2,得y= k1（x+1）+ k2 x. 根据题意得 2 k1+ k2=0 解得 k1=2 5 k1+4 k2=9 k2=-4 y与x的函数关系式为 y=-2x+2.求一次函数解析式的常见题型以部分中考题为例，归类介绍几种常见题型如下：一、点斜型例1 已知一次函数ykx3的图象经过点(6，1)，求这个函数的解析式 解：一次函数ykx3的图象经过点(6，1)， 二、两点型例2 某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(1，0)和(0，2)，则这个一次函数的解析式是_ 解：设一次函数的解析式为ykxb 直线ykxb经过(1，0)和(0，2)

22、两点， 故这个一次函数的解析式是y2x2三、斜截型例3 已知函数ykxb的图象平行于直线y3x，并且在y式3四、平移型为_解；设一次函数的解析式为ykxb，因为ykxb的图象五、定义型例5 已知函数y(m2m)x2m2m3是一次函数，试求其解析式解：根据一次函数的定义知六、应用型例6 甲、乙两人分别从相距18公里的A、B两地同时相向而行，甲以4公里时的平均速度步行，乙以每小时比甲快1公里的平均速度步行，相遇而止求甲、乙两人相距的距离y(公里)和所用的时间x(小时)的函数关系式解：y与x之间的函数关系式为y9x18，(0x2)七、对称型例7 已知点A与点A(2，3)关于y轴对称，直线ykx5经过

23、点A，求该直线的解析式解：A点与A(2，3)点关于y轴对称，A点的坐标为(2，3)又直线ykx5经过A点，32k5，k4故直线的解析式为y4x5八、几何型以AB为边在第一象限内作正三角形ABCO为ABC的外接圆，与x轴交于另一点E(1)求C点坐标；(2)求过点C与AB中点D的一次函数的解析式；BAO30又ABC为等边三角形，ACAB2，BAC60，(2)过D作DFOB交OA于FD是AB的中点，则DF两点的一次函数解析式为ykxb，有九、方程型例9 ABC中，ABAC，点A、C在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上若此三角形腰长和腰上的高线的长分别是关于x的方程x2(2m1)xm250的两个实数根，

24、且ABC的面积等于10，求经过B、C两点的直线的解析式0可化为x29x200解之得x15，x24注意题给条件，可知腰长大于腰上的高线长，则ABC三个顶点为A(3，0)、B(0，4)、C(8，0)十、综合型例10 已知抛物线y(9m2)x22(m3)x3m的使y随x的增大而减小a，b满足方程组求这条直线的解析式解：由抛物线y(9m2)x22(m3)x3m的顶点析式为y17x214x12，顶点D1(1，5)及y227x2即C1(2，1)、C2(2，1)直线经过C、D两点，由经过C2、D2的直线是y6x13附思考题：1在直角坐标系内，一次函数ykxb的图象经过三点A(2，0)、B(0，2)、C(m，3)，求这个一次函数解析式并求m的值(yx2，m1)2已知一次函数ykxb的图象经过点A(0，1)和点B(a，解析式(y2x1)3在平面直角坐标系内，一次函数ykxb(kb0，b0)的图象分别与x轴、y轴和直线x4交于点A、B、C，直线x4与x轴交于点D，四边形OBCD(O为坐标原点)的面积为10，若A4已知一次函数ykxb过点(25)且它的图象与y轴的解析式是_(y4x3)