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1、立体几多何的综合征询题知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.立体图形的翻折，空间向量的运用.点击双基1.假设RtABC的歪边BC在立体内，顶点A在外，那么ABC在上的射影是A.锐角三角形C.直角三角形B.钝角三角形D.一条线段或一钝角三角形分析：当立体ABC时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分不为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+3B.2+1023分析：求表面上最短距离常把图形展成立体图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的
2、夹角为60，那么长方体的体积是2232222分析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由2+2+x=4x=2，2V=2222=82.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，那么谁人球的体积是_.34333a.分析：易知球的直径2R=3a.因而R=a.因而V=R=2323a3答案：25.曾经清楚ABC的顶点坐标为A1，1，1、B2，2，2、C3，2，4，那么ABC的面积是_.6427分析：AB=1，1，1，AC=2，1，3，cosAB，AC=，3147.SABC=|AB|AC|sinA=1314176.sinA=722726答案：2典例分析【例1】在直角坐标系Oxyz
3、中，OA=0，1，0，AB=1，0，0，OC=2，0，0，OS=0，0，1.1求SC与OB的夹角的大小；2设n=1，p，q，且n立体SBC，求n；3求OA与立体SBC的夹角；4求点O到立体SBC的距离；5求异面直线SC与OB间的距离.解：1如图，SC=OCOS=2，0，1，OB=OA+AB=1，1，0，那么2202(1)2=5，|OB|=1120=2.22|SC|=SCOB20052105105cos=cosSC，OB=，=arccos.|SC|OB|nSC=0，n2n立体SBC，nSC且nBC，即=0.BCSC=2，0，1，BC=OCOB=1，1，0，2q=0，1p=0.即，p=1，n=11
4、2.q=2，3OA与立体SBC所成的角跟OA与立体SBC的法线所夹角互余，故可先求OA与n所成的角.OA=0，1，0，|OA|=1，|n|=1122=6.22ncosOA，n=OA16，6=n16|OA|66即OA，n=arccos.=arccos.6264点O到立体SBC的距离即为OC在n上的投影的绝对值，n|=266.d=|OC=|n|35OC在异面直线SC、OB的公垂线倾向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=x，y，1，mSC且mOB，那么mSC=0，且mOB=0.12x1=0，x=，2即x+y=0，y=1.211m26=.m=，1，d=|O
5、C|=22|m|36特不提示借助于立体的法向量，可以求歪线与立体所成的角，求点到立体的距离，类似地可以求异面直线间的距离.此题选题的目的是复习怎么样求立体的法向量，以及怎么样由法向量求角、求距离.【例2】如图，曾经清楚一个等腰三角形ABC的顶角B=120，过AC的一个立体与顶点B的距离为1，按照曾经清楚条件，你能求出AB在立体上的射影AB的长吗假设1不克不迭，那么需要增加什么条件，可以使AB=21解：在条件“等腰ABC的顶角B=120下，ABC是不克不迭唯一判定的，如斯线段AB1也是不克不迭判定的，需要增加以下条件之一，可使AB=2：15CB=2；CB=5或AB=5；直线AB与立体所成的角BA
6、B=arcsin；1151547；AB11C=arccos；AC=15；B8ABB11=arctan2；BAC=arccos15到AC的距离为；B到AC的距离为；二面角BACB为arctan2等等.122考虑讨论此题是一个开放型题目，做这类题的思想是逆向的，即假设AB=2，那么可以推出什1么结果，再回过来考虑按照这一结果能否推出AB=2.1【例3】2004年春季北京如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3，1求证：BCSC；2求面ASD与面BSC所成二面角的大小；3设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.分析：此题要紧调查直线与立体的位置关
7、系等全然知识，调查空间想象才干、逻辑思想才干跟运算才干.1证法一：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，DC是SC在立体ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二：底面ABCD是正方形，BCDC.SD底面ABCD，SDBC.又DCSD=D，BC立体SDC.BCSC.2解法一：SD底面ABCD，且ABCD为正方形，可以把四棱锥SABCD补形为长方体ABCSABCD，如上图，面ASD与面111BSC所成的二面角的确是面ADSA与面BCSA所成的二面角，SCBC，BCAS，111SCAS.1又SDAS，CSD为所求二面角的立体角.1在RtSCB中，由勾股定理得SC=，2在RtSDC
8、中，由勾股定理得SD=1.CSD=45，即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二：如以下列图，过点S作直线lAD，l在面ASD上.底面ABCD为正方形，lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD，BCSC，lSD，lSC.CSD为面ASD与面BSC所成二面角的立体角.以下同解法一.3解法一：如上图，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形.又M是歪边SA的中点，DMSA.BAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二：如以下列图，取AB的中点P，贯串衔接MP
9、、DP.在ABS中，由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.232522又PM=，DP=，DM=.444222DP=PM+DM.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.闯关训练夯实基础1.以下列图是一个无盖的正方体盒子展开后的立体图，A、B、C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，ABC的值为答案：C2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分不为A1B1跟BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为3103522105解法一：AM=，CN=CB+BN，AAAM+11AMCN=AA+AMCB+BN=AABN=1.1112145.同理，22而|AM|=(AAAM
10、)(AA1AM=|AA|AM|=1=)1111125|CN|=.21254AMCN22如令为所求之角，那么cos=，=arccos.应选D.55|AM|CN|解法二：树破如下列图的空间直角坐标系，把D点视作原点O，分不以DA、DC、1DD的倾向为x轴、y轴、z轴的正倾向，那么A1，0，0、M1，1、C0，1，1210、N1，1，.211AM=0，1，CN=1，0，.22111故AMCN=01+0+1=，22215，202()212|AM|=2|CN|=1202()=5.12221AMCN2=.52cos=552|AM|CN|2=arccos2.5答案：D3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a
11、，内装水假设干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面偏偏为中截面，那么图甲中水面的高度为_.分析：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，那么V=VVAEF=S2aA1EF11水柱1333S2a=aS.设图甲中水面的高度为x，那么Sx=aS，得x=a.42223a2答案：4.在三棱锥PABC中，底面是边长为2cm的正三角形，PA=PB=3cm，转动点P时，三棱锥的最大年夜要积为.分析：点P到面ABC距离最大年夜时体积最大年夜，现在面PAB面ABC，高PD=22.1V=33263422=.4答案：26cm335.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求
12、顶点B跟顶点D的距离.解：如图，作BEAC于E，二面角BACD为直二面角，BEAC，BE立体ADC，DE立体ADC，BEDE.129222在RtABC中，可得BE=，AE=，在ADE中，DE=AEAD2ADAE558194193cosEAD=1624=.255525223375在RtBDE中，BD=BEED=.培养才干6.曾经清楚正方形ABCD的边长为1，分不取边BC、CD的中点E、F，贯串衔接AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.1求证：APEF；2求证：立体APE立体APF；3求异面直线PA跟EF的距离.1证明：如以下列图，APE=APF=90，PEP
13、F=P，PA立体PEF.EF立体PEF，PAEF.2证明：APE=EPF=90，APPF=P，PE立体APF.又PE立体PAE，立体APE立体APF.3解：在面PEF中，作PGEF，垂足为G，AP与面PEF垂直，PG立体PEF，APPG，PGEF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰RtPEF中，21PE=PF=，EPF=90，PG=EG=.427.文如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是不时角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，PA底面ABCD，PD与底面成30角.1假设AEPD，E为垂足，求证：BEPD；2求异面直线AE与CD所成的角.1证明：以A为原点，AB、AD、
14、AP所在直线为坐标轴，树破空间直角坐标系，那么3A0，0，0，Ba，0，0，D0，2a，0，P0，0，a，ABPD=a，0，3300，2a，a=0，又AEPD=0，3PDAB，PDAE.PDBE.2解：PA面ABCD，PD与底面成30角，PDA=30.13过E作EFAD，垂足为F，那么AE=a，EAF=60，AF=a，EF=a，221E0，a，23a.213因而AE=0，a，a.又Ca，a，0，D0，2a，0，CD=a，a，0.2212a2AECD2，4cosAE，CD=a2a|AE|CD|2异面直线AE与CD所成的角是arccos.4理四棱锥PABCD中，PC立体ABCD，PC=2，在四边形
15、ABCD中，B=C=90，CDAB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与立体ABC成30角，1求证：CM面PAD；2求证：面PAB面PAD；3求点C到立体PAD的距离.分析：此题要紧调查空间直角坐标系的不雅念、空间点跟向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时调查向量研究空间图形的数学思想方法.如以下列图，树破空间直角坐标系Oxyz，C为坐标原点O，攻破点在于求出相关的向量所对应的坐标.1证明：如图，树破空间直角坐标系.PC立体ABCD，PBC为PB与立体ABC所成的角，即PBC=30.|PC|=2，|BC|=23，|PB|=4.得D1，0，0、B0，23，0、A4，23
16、，0、P0，0，2.|MB|=3|PM|，33|PM|=1，M0，2233CM=0，DP=1，0，2，DA=3，23，0.22设CM=xDP+yDAx、yR，3331那么0，CM=，=x1，0，2+y3，23，0x=且y=，22443414DP+DA.CM、DP、DA共面.又C立体PAD，故CM立体PAD.2证明：过B作BEPA，E为垂足.|PB|=|AB|=4，E为PA的中点.E2，3，1，BE=2，3，1.又BEDA=2，3，13，23，0=0，BEDA，即BEDA.而BEPA，BE面PAD.BE面PAB，面PAB面PAD.3解：由BE面PAD知，立体PAD的单位向量n=BE12，3，1.
17、0=|BE|22CD=1，0，0的点C到立体PAD的距离12d=|nCD|=|02，3，11，0，0|=.222探究创新8.2003年北京宣武区二模题如图，AB为圆柱OO11的母线，BD为圆柱OO下底面直径，AB=BD=2，点C为下底面圆周O上的一点，CD=1.1求三棱锥CABD的体积；2求面BAD与面CAD所成二面角的大小；3求BC与AD所成角的大小.分析：此题要紧调查直线、立体的位置关系，调查圆柱的有关不雅念，调查直线、平面所成角的不雅念及求法，调查空间想象才干跟推理才干.解：1AB为圆柱OO的母线，AB下底面.1AB为棱锥ABCD的高.而点C在O上，BCD为直角三角形，BCD=90.BD
18、=2，CD=1，BC=3.113=132=.ABCD323V三棱锥=VCABD三棱锥2过B作BEAD，垂足为E，过点B作BFAC，垂足为点F，贯串衔接EF.由BD为底面圆的直径，得BCCD.AB立体BCD，BCCD，ACCD.而ACBC=C，CD立体ABC.而CD立体ADC，立体ABC立体ADC，且它们的交线为AC.BF立体ABC，BFAC，垂足为点F，BF立体ACD.而BEAD，AD立体ACD，EFAD.立体ABD立体ACD=AD，BEF是面ABD与面ACD所成的二面角的立体角.12217由BE=AD=，AC=7，AB=2，可求出BF=.22221sinBEF=BF4277=.BE2427B
19、EF为锐角，BEF=arcsin.42故所求二面角的大小为arcsin.73过点D不才底面作DGBC交O于点G，那么GDA为BC与AD所成的角.贯串衔接BG、AG，由BD是O的直径，得GDBG，那么AGDG，BC=GD.cosGDA=GD36.=AD2246GDA=arccos.46所求BC与AD所成的角的大小为arccos.4思悟小结1.运用向量解立体几多何征询题，要仔细分析征询题特征，把曾经清楚条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几多何的位置关系的证明征询题或数量关系的运算征询题转化为模范的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可增加复杂的空间结构分析，使得思路轻便、方
20、法清晰、运算开门见山，能矫捷准确地处理征询题.2.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等征询题的处理屡屡借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系.3.在综合征询题中，起重要留心能否构建直角坐标系，能较易树破直角坐标系的，尽量树破直角坐标系.其要紧留心向量运算与根天分子相结合的论述，这是当前的倾向，可以“形到形，可以“数到形，留心数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰.必须熟练操纵向量的全然知识跟技能，尤其提出如下几多点：1如何样选择运用基底不设直角坐标系跟树破直角坐标系及坐标系树破
21、技能；2法向量的运用对处理角跟距离的要紧性；3如何样用向量处理立体几多何中的多青大年夜稀有题型；4准确揣摸能否选用向量处理征询题，清楚向量解题的缺点；5空间向量是如何样由立体向量拓展而来的.教师下载中心教学点睛要给老师归纳、总结，使老师系统地操纵线线、线面、面面的位置关系，特不是平行与垂直的判定与性质，通过比照，深化理解异面直线所成的角、歪线与立体所成的角、二面角的立体角，理解点到面的距离、异面直线的距离题的稀有方法，留心培养老师的空间想象才干.拓展题例.通过解题总结证明立体几多何征询【例1】曾经清楚直线a，且a与间的距离为d，a在内的射影为a，l为立体内与a平行的任不时线，那么a与l之间的距
22、离的取值范围是A.d，+B.d，+C.0，dD.d分析：如图，在a上任取一点P作POa，垂足为O，过O作OAl，垂足为A，贯串衔接PA.那么PAl，PAa，故PA的确是a与l之间的距离.在RtPOA中，PAPO=d，选B.答案：B【例2】如图，曾经清楚底面半径为r的圆柱被一个立体所截，剩下部分母线长的最大年夜值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_.分析：两个一样的几多何体倒破一个，对应合缝，偏偏形成一个圆柱体.12答案：ra+b2【例3】2003年北京西城区一模题如图，正三棱柱ABCABC的所有棱长111均为2，P是侧棱AA上任意一点.11求证：BP不克不迭够与立体ACCA垂直；
23、2当BCBP时，求线段AP11111的长；3在2的条件下，求二面角CBPC的大小.111证明：贯串衔接BP，假设BP立体ACCA，那么BPA1C1.11111由于三棱柱ABCA1BC11为正三棱柱，AAA1C1.1AC正面ABB1A1.11ACAB，1111即BAC=90.111这与A是等边三角形冲突.111BCBP不克不迭够与立体ACCA垂直.1112解：取AB的中点D，贯串衔接CDBDBC，、1111那么CDAB，又AA立体ABC，1111111AA立体ABB1A1.111BD是BC在立体ABBA上的射影.111BCBP，BDBP.BBD=90BBP=ABP.1111111又AB=BB=2，BBDBAP，AP=BD=1.AP=1.111111113解：贯串衔接BC，交BC于点O，那么BCBC.又BCBP，BC立体BCP.11111111过O在立体CPB1上作OEB1P，交B1P于点E，贯串衔接CE，那么BPCE，111OEC是二面角CBPC的立体角.111由于CP=BP=15，O为BC的中点，贯串衔接OP，1305OC115.POBC，OPOB=OEBP.OE=1.tanOEC=111OE3153OEC=arctan1.153故二面角CBPC的大小为arctan.11