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1、江苏省郑集高级中学2011届高三年级学情调研测试（七）数 学 试 题（理科）班级 姓名 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1已知幂函数的图象过点，则= 2在等比数列中,若,则的值是 43若关于x的不等式的解集为(1, m)，则实数m= 24设是偶函数，则的值为 5. 曲线C：在x=0处的切线方程为 y=2x+36. 已知函数f(x)，则f()f()f() 507. 若数列的前n项和，则 398. 点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为 9已知函数y=f(x)（xR）满足f(x+1)=f(x1)，且x1，1时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个
2、数为 410. 已知，则下列四个命题：；中为真命题的序号为 11. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的范围为 12. 数列中，且（，），则这个数列的通项公式 13设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是 14已知函数给下列命题：必是偶函数；当时，的图像必关于直线x1对称；若，则在区间a，上是增函数；有最大值其中正确的序号是 二、解答题（本大题共6小题，每小题15分，计90分）15（文科做）在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且.(1) 求角A；(2) 若，求角C的取值范围。 ， 2分又 ， 而为斜三角形，. 4分， . 6分， 12分即，.14分（理科做）将
3、曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45，求所得曲线的方程解：由题意，得旋转变换矩阵， 3分设上的任意点在变换矩阵M作用下为， 7分得将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45，所得曲线的方程为10分16. 已知数列的各项均为正数，它的前n项和Sn满足，并且成等比数列.（I）求数列的通项公式；（II）设为数列的前n项和，求.解：（I）对任意，有 当n2时，有 2分当并整理得4分而an的各项均为正数，所以 6分当n=1时，有，解得a1=1或2 7分当a1=1时，成立；8分当a1=2时，不成立；舍去. 9分所以 10分（II） 13分 16分17已知函数，.() 求函数在点处的切线方程；() 若函数与在区间上
4、均为增函数,求的取值范围；() 若方程有唯一解,试求实数的值.解：()因为,所以切线的斜率2分又,故所求切线方程为,即4分()因为,又x0,所以当x2时,；当0x0,所以当x4时,；当0x4时, .即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值14分从而当时原方程有唯一解的充要条件是16分18.已知数列的首项，前项和为，且、（n 2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，设， 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：由题意得 4（n2），又，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 8则（）由及得， 11则 13 1619. 已知函数在1，）上为增函数，且（0，），mR
5、（1）求的值；（2）若在1，）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在1，e上至少存在一个，使得成立，求的取值范围解：（1）由题意，0在上恒成立，即1分 （0，），故在上恒成立，2分 只须，即，只有结合（0，），得4分（2）由（1），得5分在其定义域内为单调函数，或者在1，）恒成立6分 等价于，即， 而 ，（）max=1， 8分等价于，即在1，）恒成立，而（0，1，综上，m的取值范围是 10分（3）构造，当时，所以在1，e上不存在一个，使得成立 12分当时，14分因为，所以，所以在恒成立故在上单调递增，只要，解得故的取值范围是16分19此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数与与单调性、
6、不等式等知识的综合数学思想方法是分类讨论、数形结合等数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力评讲时注意着重导数在研究函数问题中的应用本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以函数的单调性为背景，着重是利用导数转化为研究二次函数的恒成立问题第三问是函数存在性问题，通过构造辅助函数，利用导数转化为研究分式函数、对数函数等函数的恒成立问题利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点第二问另解：分类讨论：，当时，由函数在1，）上是单调递增，所以在1，）上是单调递减，即在1，）上是单调递减，所以符合条件当时，在1，）上是单调递减，所以所以符合条件当时，要单
7、调，则在1，）恒成立因为函数的开口向上，对称轴，所以要在1，）恒成立，则必须，即综上，得的取值范围第三问另解：构造，先解在1，e恒成立，求出的取值范围，当时，所以在成立，所以符合当时，因为，所以，所以在1，e上恒成立，故在1，e上单调递增，由，解得。所以在1，e恒成立的的取值范围是，故的取值范围是20.已知：数列，中，=0，=1，且当时，成等差数列，成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式恒成立；（3）设 （），求证：当2都有2.20 (1) 当时，成等差数列，成等比数列.2=+, =. 2分又，0，0 , 且,（）,4分数列是等差数列，又,也适合.， . 6分(2) 将，代入不等式 （）整理得：0 8分令，则是关于的一次函数，由题意可得 ，解得1或3. 存在最小自然数，使得当时，不等式（）恒成立10分(3) 由(1)得：.，（2）， 12分由（）+（）+（），即：） 14分=1当n2时，2（） 16分