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1、东北师大附中2010-2011学年高三数学（理）第一轮复习导学案032 基本不等式及其应用 编写教师： 刘桂英 审稿教师： 吕树超一、知识梳理1.基本不等式：（1）重要不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立.（2）基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立.可表述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均.2.常见结论：（1），当且仅当时，等号成立；（2），当且仅当时，等号成立；（3），当且仅当时，等号成立；（4）；（5），当且仅当时，等号成立.3.三个正数的算术几何平均不等式：（不等式证明选讲）如果，那么，当且仅当时，等号成立.4.推广：对于个正数，它们的算术平均不小于它
2、们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立.二、题型探究探究一:利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的.例1 设都是正数，求证：.证明： 都是正数，都是正数,，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，三式相加，得，即，当且仅当时等号成立.探究二：利用基本不等式求最值（1）若,（和为定值），则当时，积取得最大值；（2）若,积为定值），则当时，和取得最小值.即“和定，积最大；积定，和最小”，这种方法在应用过程中要把
3、握下列三个条件：（1）“一正”各项为正数；（2）“二定” “和”或“积”为定值；（3）“三等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.例2 解答下列问题：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函数的最大值；（3）求函数的最小值；（4）已知，且，求的最小值.解：（1）6；（2）；（3）令， 在上为减函数，即时y取得最小值5，当时函数取得最小值5.（4）.当且仅当时取等号.探究三：三个数的均值不等式例3 求函数的最小值，下列解法是否正确？为什么？解法1：，所以解法2：当，即时，评注：所给两种解法均有错误解法1错在取不到“等”，即不存在x使，解法2错在不是定值正解：对原函数合理拆（添）项，得当且仅当，即
4、时，例4 求函数的最大值分析：因定值，故需拆凑使其满足定值条件，原函数中有一个因式，为使其余因式与（）之和为定值，需以（）为准，将拆成，这时就有定值解：当且仅当，即时，通过以上几例我们体会到：均值定理真重要，用于最值有诀窍，正确理解“正、定、等”，合理进行拆、拼、凑.探究四：基本不等式的实际应用在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：（1）先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；（3）在定义域内，求出函数的最值；（4）正确写出答案.例5 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子
5、侧面的长度不得超过米，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用.(1) 把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域；(2) 当侧面的长度为多少时，房屋的总造价最低？最低总造价是多少？解: (1) 由题意，可得).(2) ,当且仅当，即时取等号，若，则当x4时，y有最小值13 000;若，容易证明函数在上是减函数.当时，y有最小值900()+5 800.综上，若，当侧面的长度为4米时，总造价最低，最低总造价是13 000元;若，当侧面长度为米时，总造价最低，最低总造价是900()+5 800
6、元.三、方法提升均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”相互转化的功能，应用比较广泛为了用好该不等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件（三要素）：正（各项或各因式均为正值）、定（和或积为定值）、等（各项或各因式都能取得相等的值，即具备等号成立的条件），简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，当然还要牢记结论：积定和最小，和定积最大但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准”的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式四、反思感悟 五、课时作业（一）选择题（1）下列结
7、论正确的是( B )（A）当且时， （B）时，（C）当时，的最小值为2 （D）时，无最大值（2）已知，则的最小值是（ C ）（A）2 （B） （C）4 （D）5（3）设若的最小值为 ( ) （A） 8 （B）4 （C）1 （D）（4） “” 是“对任意的正数，”的（ A ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5） 若且，则下列不等式恒成立的是 （ D ） （A） （B） （C） （D） （6）设M=,且 (其中), 则M的取值范围是（ D ）（A） （B） （C） （D）（7）如果正数满足，那么（A）（A），且等号成立时的取值唯一（B），且等
8、号成立时的取值唯一（C），且等号成立时的取值不唯一（D），且等号成立时的取值不唯一（8）已知实数满足，若，则的最小值为（B ） （A） 2 （B）4 （C）6 （D）8解：当时，；当且时，由已知得 当时 ，.（当且仅当时等号成立） 当且时, ，不合题意（二）填空题（9）若实数满足，则的最小值是 6 （10）已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是 （11）已知为某一直角三角形的三条边长，为斜边，若点在直线上，则的最小值是 （12）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 20 吨（三）解答题（13）设
9、，则的最小值解： 当且仅当时等号成立，如取满足条件.（14）三个同学对问题：“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路：甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，写出你认为正确的解答过程和结论解： 由，得，而，等号当且仅当时成立；且，等号当且仅当时成立；所以，等号当且仅当时成立；故.（15）求的最大值解： ，此时，故当时，（16）已知定点与定直线，过点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.解：设时，令，得故，（当且仅当时取“”号）所以当时，当时，由得，当时，此时，.