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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考数学压轴题解题策略（2）相似三角形的存在性问题解题策略挑战压轴题中考数学的作者 上海 马学斌专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题解析例 如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点
2、左侧），与y轴交于点C动直线EF（EF/x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动是否存在t，使得BPF与ABC相似若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由图1-1【解析】BPF与ABC有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B的两条边ABC是确定的由，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)于是得到BA4，BC还可得到BPF中，BP2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了在RtEFC中，CEt，EF2t，所以因此于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当
3、时，解得（如图1-2）当时，解得（如图1-3） 图1-2 图1-3例 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标 图2-1 【解析】ABC与AOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求AOM的大小作铺垫；求得了AOM的大小，第（3）题暗示了要在ABC中寻找与AOM相等的角（1）如图2-2，过点A作AHy轴，垂足为H容易得到A再由A
4、、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为（2）由，得顶点M 所以所以BOM30所以AOM150图2-2（3）由A、B(2,0)，可得ABO30因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150所以ABC与AOM相似，存在两种情况：当时，此时C(4,0)（如图2-3）当时，此时C(8,0)（如图2-4） 图2-3 图2-4例 如图3-1，抛物线yax2bx3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图3
5、-1【解析】AMN是直角三角形，因此必须先证明BCD是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为yx24x3（2）由yx24x3(x2)21，得D(0,3)，C(2, 1)如图3-2，由B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知CBO45，DBO45所以CBD90，且图3-2 图3-3 图3-4设点M、N的横坐标为x，那么NMyM，而NA的长要分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，NAx1，分两种情况列方程：当时，解得此时M（如图3-3）当时，解得x6此时M(6,15)（如图3-5）当N在A左侧时，NA1x，也要分
6、两种情况列方程：当时，解得1，不符合题意（如图3-4）当时，解得x0，此时M(0,3)（如图3-6）图3-5 图3-6例 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分OBA点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果ACP与BPF相似，求直线CP的解析式图4-1【解析】首先求得点C(3,0)ACP与BPF中，相等的角在哪里啊？如图4-2，当点P在线段AB上时，ACP与BPF中，APC与BPF是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此CP与AB是垂直的可以求得F(0,4)，于是直线CF(CP)为如图4-3，当点P在AB
7、的延长线上时，ACP与BPF有公共角P于是OFCPFBA，可以求得F(0, 4)，因此直线CF(CP)为如图4-4，当点P在BA的延长线上时，B与PCA不可能相等在AOB中，根据大边对大角，BBAO；BAO又是PCA的一个外角，BAOPCA图4-2 图4-3 图4-4例 如图5-1，二次函数yx23x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD求坐标平面内使EODAOB的点E的坐标；图5-1【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(4, 4)，B(2,2)所以，EODAOB，对应
8、边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程由，得所以，设点E的坐标为(x, y)，根据EO268，DE2180，列方程组解得 所以点E的坐标为(8,2)或(2, 8)上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】如图5-2，AOB是确定的，AOB与EOD有公共点O，OBOD12，BOD90如果EODAOB，我们可以把AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B落在OD上，此时旋转角为90，点B恰好落在OD的中点按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90，得到点A(4,1)，点A是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,2)如图5-3，点E(8,2)关于直线OD（即直
9、线yx）对称的点为E(2,8)图5-2 图5-3例 如图6-1，在ABC中，ABAC4，BC8A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动延长BA交A于点D，连结AP交A于点E，连结DE并延长交BC于点F设点P运动的时间为t秒，当ABP与FBD相似时，求t的值图6-1【解析】ABC是等腰直角三角形，A是确定的，先按照题意把图形补充完整如图6-2，容易发现ABP与FBD有公共角B，如果根据对应边成比例列方程或，其中BA4，BPt，BD42，但是用含t的式子表示BF困难重重啊！图6-2 图6-3 图6-4我们另起炉灶，按照判定定理1来解决ABP与FBD有公共角B，我们以D
10、为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，BAPD是不可能的，这是因为BAP是等腰三角形ADE的外角，BAP2D第二种情况，如图6-4，当BPAD时，在ABP中，由于BAP2D2BPA，因此453BPA180解得BPA45此时ABP是等腰直角三角形，P与C重合，所以t8解答这道题目，如果选取点P的3个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究在讨论第二种情况BPAD时，我们容易被已知图6-1给定的点P的位置所误导，以为图6-2中“锐角D”与“钝角BPA”不可能相等马学斌 2015年9月20日星期日To：中小学数学初中版北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，专心-专注-专业