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1、|2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1 8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 : 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数 在 内连续，其中二阶导数 的图形如图所示，则曲线 ( ) f x , ( ) f x 的拐点的个数为 ( ) ( ) y f x (A) (B) (C) (D) 0 1 2 3 【答案】 （C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此，由 的图形可得，曲线 存在两个拐点.故选（C）. ( ) f x ( ) y f x
2、(2)设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一 2 1 1 ( ) 2 3 x x y e x e x y ay by ce 个特解，则 ( ) (A) 3, 2, 1 a b c (B) 3, 2, 1 a b c (C) 3, 2, 1 a b c (D) 3, 2, 1 a b c 【答案】 （A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数， 此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另 一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， 、 为二阶常系数齐次微分方程 的
3、解，所以 2,1 2 1 2 x e 1 3 x e 0 y ay by 为特征方程 的根，从而 ， ，从而原方程变为 2 0 r ar b (1 2) 3 a 1 2 2 b |，再将特解 代入得 .故选（A） 3 2 x y y y ce x y xe 1 c (3) 若级数 条件收敛，则 与 依次为幂级数 的 ( ) 1 n n a 3 x 3 x 1 ( 1) n n n na x (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】 （B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为 条件收敛，即 为幂级
4、数 的条件收敛点，所以 1 n n a 2 x 1 ( 1) n n n a x 的收敛半径为 1，收敛区间为 。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 ( 1) n n n a x (0,2) 的收敛区间还是 。因而 与 依次为幂级数 的收敛 1 ( 1) n n n na x (0,2) 3 x 3 x 1 ( 1) n n n na x 点，发散点.故选（B） 。(4) 设 是第一象限由曲线 ， 与直线 ， 围成的平面 D 2 1 xy 4 1 xy y x 3 y x 区域，函数 在 上连续，则 ( ) , f x y D , D f x y dxdy (A) 1 3 sin 2 1
5、4 2sin 2 cos , sin d f r r rdr (B) 1 sin 2 3 1 4 2sin 2 cos , sin d f r r rdr (C) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 cos , sin d f r r dr (D) 1 sin 2 3 1 4 2sin 2 cos , sin d f r r dr 【答案】 （B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分|【解析】先画出 D 的图形， 所以 ，故选（B） ( , ) D f x y dxdy 1 sin 2 3 1 4 2sin 2 ( cos , sin ) d f r r rdr (5)
6、设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 2 1 1 1 1 2 1 4 A a a 2 1 b d d 1,2 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) Ax b (A) , a d (B) , a d (C) , a d (D) , a d 【答案】D 【解析】 ， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) 1 2 0 1 1 1 1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2) A b a d a d a d a a d d 由 ，故 或 ，同时 或 。故选（D） ( ) ( , ) 3 r A r A b 1 a 2 a 1 d 2 d (6)设二次型 在正交变换为 下的标准形为 ，
7、其 1 2 3 , , f x x x x Py 2 2 2 1 2 3 2 y y y 中 ，若 ，则 在正交变换 下的标 1 2 3 , , P e e e 1 3 2 , , Q e e e 1 2 3 , , f x x x x Qy 准形为 ( ) (A) 2 2 2 1 2 3 2 y y y (B) 2 2 2 1 2 3 2 y y y|(C) 2 2 2 1 2 3 2 y y y (D) 2 2 2 1 2 3 2 y y y 【答案】(A) 【解析】由 ，故 .且 x Py 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y P AP y y y y . 2
8、 0 0 0 1 0 0 0 1 T P AP 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Q P PC 2 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 1 T T T Q AQ C P AP C 所以 。选（A） 2 2 2 1 2 3 ( ) 2 T T T f x Ax y Q AQ y y y y (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (B) P AB P A P B P AB P A P B (C) (D) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB 2 P A P B P AB 【答案】(C) 【解析】由于 ，按概率的基本性质，我们有 且 , AB A AB B (
9、 ) ( ) P AB P A ，从而 ，选(C) . ( ) ( ) P AB P B ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB (8)设随机变量 不相关，且 ，则 ( ) , X Y 2, 1, 3 EX EY DX 2 E X X Y (A) (B) (C) (D) 3 3 5 5 【答案】(D) 【解析】 2 2 ( 2) ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( ) E X X Y E X XY X E X E XY E X 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) D X E X E X E Y E X |，选(D) . 2 3 2 2 1 2 2 5 二、填空题：9
10、14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. : (9) 2 0 ln cos lim _. x x x 【答案】 1 2 【分析】此题考查 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 0 0 【解析】方法一： （罗比达法则） 2 0 0 0 sin ln(cos ) tan 1 cos lim lim lim . 2 2 2 x x x x x x x x x x 方法二： （等价无穷小 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ln(cos ) ln(1 cos 1) cos 1 1 2 lim lim lim lim . 2 x x x x x x x x
11、 x x x x 替换） (10) 2 2 sin ( )d _. 1 cos x x x x 【答案】 2 4 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 2 2 2 0 2 sin 2 . 1 cos 4 x x dx xdx x (11)若函数 由方程 确定，则 ( , ) z z x y + + + = 2 (0,1) d _ . z 【答案】 dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令 ，则 ( , , ) cos 2 z F x y z e xyz x x ( , , ) 1 sin , , ( , , ) z x y z F x y z y
12、z x F xz F x y z e xy 又当 时 ，即 . 0, 1 x y 1 z e 0 z 所以 ，因而 (0,1) (0,1) (0,1,0) (0,1,0) 1, 0 (0,1,0) (0,1,0) y x z z F F z z x F y F (0,1) . dz dx |(12)设 是由平面 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 1 x y z ( 2 3 ) _. x y z dxdydz 【答案】 1 4 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 ， 1 0 ( 2 3 ) 6 6 z D x y z dxd
13、ydz zdxdydz zdz dxdy 其中 为平面 截空间区域 所得的截面，其面积为 .所以 z D z z 2 1 (1 ) 2 z 1 1 2 3 2 0 0 1 1 ( 2 3 ) 6 6 (1 ) 3 ( 2 ) . 2 4 x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz (13) 阶行列式 n 2 0 0 2 1 2 0 2 _. 0 0 2 2 0 0 1 2 【答案】 1 2 2 n 【解析】 按第一行展开得 1 1 1 1 2 0 0 2 1 2 0 2 2 ( 1) 2( 1) 2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 n n n n n D D
14、D 2 2 1 2 2 2(2 2) 2 2 2 2 2 2 2 n n n n D D 1 2 2 n (14)设二维随机变量 服从正态分布 ，则 ( , ) x y (1,0;1,1,0) N 0 _ . P XY Y 【答案】 1 2 【解析】由题设知， ，而且 相互独立，从而 (1,1), (0,1) X N Y N X Y 、| 0 ( 1) 0 1 0, 0 1 0, 0 P XY Y P X Y P X Y P X Y . 1 1 1 1 1 1 0 1 0 2 2 2 2 2 P X P Y P X P Y 三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答
15、应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. (15)(本题满分 10分) 设函数 ， ，若 与 ln(1 ) sin f x x a x bx x 3 ( ) g x kx f x 在 是等价无穷小，求 的值. g x 0 x , , a b k 【答案】 , , . a b k 1 1 1 2 3 【解析】法一：原式 （泰勒展开法） 3 0 ln 1 sin lim 1 x x a x bx x kx 2 3 3 3 3 3 0 2 3 6 lim 1 x x x x x a x o x bx x o x kx 2 3 4 3 3 0 1 2 3 6 lim 1 x a a b a x b x
16、x x o x kx 即1 0, 0, 1 2 3 a a a b k 1 1 1, , 2 3 a b k (16)(本题满分 10分) 设函数 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 ，由线 f x 0 x I 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为 4，且 ， = y f x 0 0 , x f x 0 x x x 0 2 f 求 的表达式. f x 【答案】 . f x x 8 ( ) 4 【解析】设 在点 处的切线方程为： f x 0 0 , x f x 0 0 0 , y f x f x x x |令 ，得到 ， 0 y 0 0 0 f x x x f x 故由题意，
17、，即 ，可以转化为一阶微分方程， 0 0 1 4 2 f x x x 0 0 0 1 4 2 f x f x f x 即 ， ，两边同时积分可得 ，将 ，代入上式可得 2 8 y y = 8 2 = 8 + (0) = 2 = 4 即 . 8 4 f x x (17)(本题满分 10分) 已知函数 ，曲线C： ，求 在 , f x y x y xy 2 2 3 x y xy , f x y 曲线C 上的最大方向导数. 【答案】3 【解析】因为 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模. , f x y ， , 1 , , 1 x y f x y y f x y x 故 ，模为 ， ,
18、1 ,1 gradf x y y x 2 2 1 1 y x 此题目转化为对函数 在约束条件 下的最大值. 2 2 , 1 1 g x y y x 2 2 : 3 C x y xy 即为条件极值问题. 为了计算简单，可以转化为对 在约束条件 下的 2 2 ( , ) 1 1 d x y y x 2 2 : 3 C x y xy 最大值. 构造函数： 2 2 2 2 , , 1 1 3 F x y y x x y xy ，得到 . 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 3 0 x y F x x y F y y x F x y xy 1 2 3 4 1,1 , 1, 1 , 2, 1 , 1,
19、2 M M M M 1 2 3 4 8, 0, 9, 9 d M d M d M d M 所以最大值为 . 9 3 (18)(本题满分 10 分)|（I）设函数 可导，利用导数定义证明 ( ) ( ) u x ,v x u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （II）设函数 可导， ，写出 的求导公 ( ) ( ) ( ) 1 2 n u x ,u x , ,u x n f x u x u x u x 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x 式. 【解析】 （I） 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim
20、 h u x h v x h u x v x u x v x h 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) h h v x h v x u x h u x u x h v x h h ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x （II）由题意得 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x u x u x u x 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21、( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为 起点为 ，终点为 ，计算 2 2 2 , , z x y z x 0, 2,0 A 0, 2,0 B 曲线积分 . 2 2 2 2 d d ( )d L I y z x z x y y x y z 【答案】 2 2 【解析】由题意假设参数方程 ， cos 2 sin cos x y z : 2 2 2 2 2 ( 2 sin cos )sin 2sin cos (1 sin )sin d 2 2 2 2 2 sin sin
22、cos (1 sin )sin d 2 2 0 2 2 2 sin d 2 (20) (本题满11分)|设向量组 内 的一个基， ， ， . 1 , 2 3 , 3 R 1 1 3 =2 +2k 2 2 =2 3 1 3 = + +1 k （I）证明向量组 为 的一个基; 1 2 3 3 R （II）当 k为何值时，存在非 0向量 在基 与基 下的坐标相同，并求所有 1 , 2 3 , 1 2 3 的 . 【答案】 【解析】(I)证明： 1 2 3 1 3 2 1 3 1 2 3 , , 2 +2 ,2 , + 1 2 0 1 , , 0 2 0 2 0 1 k k k k 2 0 1 2 1
23、 0 2 0 2 4 0 2 1 2 0 1 k k k k 故 为 的一个基. 1 2 3 , , 3 R （II）由题意知， 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , 0 k k k k k k 即 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0, 0, 1, 2,3 i k k k k i 1 1 3 1 2 2 2 3 1 3 3 1 1 3 2 2 3 1 3 2 +2 2 + +1 0 +2 + 0 k k k k k k k k k k 有非零解 即 1 3 2 1 3 +2 , , + 0 k k 即 ，得k=0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 k k 1 1 2 2 3
24、 1 2 1 3 0 0, 0 k k k k k k 1 1 1 3 1 , 0 k k k (21) (本题满分11 分) |设矩阵 相似于矩阵 . 0 2 3 1 3 3 1 2 a A 1 2 0 0 0 0 3 1 b B= (I) 求 的值； , a b （II）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵. P 1 P AP 【解析】(I) ，可得 + 3 = + 2 0 2 3 1 2 0 1 3 3 0 0 1 2 0 3 1 A B b a 1 4 2 3 5 a b a a b b (II) 0 2 3 1 0 0 1 2 3 1 3 3 0 1 0 1 2 3 1 2 3 0 0 1
25、1 2 3 A E C 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 C 的特征值 C 1 2 3 0, 4 时 的基础解系为 0 (0 ) 0 E C x 1 2 (2,1,0) ; ( 3,0,1) T T 时 的基础解系为 5 (4 ) 0 E C x 3 ( 1, 1,1) T A 的特征值 1 :1,1,5 A C 令 ， 1 2 3 2 3 1 ( , , ) 1 0 1 0 1 1 P 1 1 1 5 P AP|(22) (本题满分11 分) 设随机变量 的概率密度为 X 2 ln 2, 0, 0, 0. x x f x x 对 X 进行独立重复的观测,直到 2个大
26、于 3的观测值出现的停止.记 Y 为观测次数。 (I)求 Y 的概率分布； (II)求 EY 【解析】(I)记 p为观测值大于 3的概率，则 ， 3 1 3 2 2 8 ( ) ln x p P X dx 从而 的概率分布为： ， Y 1 2 2 2 1 1 7 1 1 8 8 n n n P Y n C p p p n ( ) ( )( ) ( ) 2 3 , , n (II)： ( ) = = 2 ( = ) = = 2 ( 1) ( 1 8 ) 2 ( 7 8 ) 2 = 1 64 = 2 ( 1) ( 7 8 ) 2 令： ( ) = = 2 ( 1) 2 1 1 ( ) = = 2
27、( 1) 2 = ( = 2 ) = ( 2 1 ) = ( 1 + 1 1 ) = 2 (1 ) 3 所以： ( ) = 1 64 (7 8) = 16 (23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为： x f x 1 , 1, ( , ) 1 0, 其他. 其中 为未知参数， 为来自该总体的简单随机样本. 1 2 n x ,x , ,x (I)求 的矩估计量. (II)求 的最大似然估计量. 【解析】(I)， 1 1 1 1 2 ( ) ( ; ) E X xf x dx x dx 令 ，即 ，解得 为 的矩估计量； ( ) E X X 1 2 X 1 1 2 1 n i i X X X n , |(II) 似然函数 ， 1 ( ) ( ; ) n i i L f x 当 时， ，则 . 1 i x 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n i L 1 ln ( ) ln( ) L n 从而 ，关于 单调增加， dln d 1 L n ( ) 所以 为 的最大似然估计量。 1 2 min n X X X , , ,