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1、盐城工学院基础部应用数学课程组其次节其次节复数的几何表示复数的几何表示 第一章第一章 一、复数的几何表示一、复数的几何表示二、模和辐角二、模和辐角盐城工学院基础部应用数学课程组一、复数的几何表示一、复数的几何表示1.1.用复平面上的点表示复数用复平面上的点表示复数(2,2)z=2+2i(虚轴虚轴)(实轴实轴)盐城工学院基础部应用数学课程组留意：留意：复数复数 z z，点，点 z z，向量，向量 z z 可视为同一个概念。可视为同一个概念。2.2.用复平面上的向量表示复数用复平面上的向量表示复数向量向量 与复数与复数 一一对应，故用它表示复数一一对应，故用它表示复数.y xOxyz 与与 z 在
2、复平面上关于实轴对称在复平面上关于实轴对称.盐城工学院基础部应用数学课程组简洁看出，简洁看出，二、复数的模和幅角二、复数的模和幅角 记作记作复数复数z 的模的模：向量：向量 的长度，的长度，盐城工学院基础部应用数学课程组留意留意:向量向量 的方向角的方向角 .y xOxy2)2)0的模为零，的模为零，0的辐角不确定的辐角不确定.记作记作满足满足 的那个幅角的那个幅角.记作记作复数复数z 的辐角：的辐角：3)复数复数z z的幅角主值的幅角主值:于是幅角与幅角主值的关系于是幅角与幅角主值的关系盐城工学院基础部应用数学课程组y Oxy幅角主值的计算幅角主值的计算:若若z在第一、四象限；在第一、四象限
3、；若若z z在其次、三象限；在其次、三象限；若若若若盐城工学院基础部应用数学课程组xy例例1 1 求求 的模和幅角：的模和幅角：由于由于z z 位于其次象限，位于其次象限，解解 (1)1)模为模为盐城工学院基础部应用数学课程组解解xy由于由于z 位于第三象限，位于第三象限，盐城工学院基础部应用数学课程组两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，例例2 2 证明复平面上的三角不等式证明复平面上的三角不等式证证盐城工学院基础部应用数学课程组例例3 3求下列在复平面上所表示的曲线求下列在复平面上所表示的曲线:解解-i盐城工学院基础部应用数学课程组化简后得化简
4、后得2i-2盐城工学院基础部应用数学课程组利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系则则z也可以表示成也可以表示成再利用欧拉公式再利用欧拉公式三、复数的三角表示和指数表示三、复数的三角表示和指数表示Oxy则则z也可以表示成也可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式复数的指数表示式复数的指数表示式盐城工学院基础部应用数学课程组解解xy复数复数 的三角表示式为的三角表示式为复数复数 的指数表示式为的指数表示式为习惯上取习惯上取主辐角主辐角例例4 4 盐城工学院基础部应用数学课程组例例5 5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三
5、角表示式为指数表示式为指数表示式为盐城工学院基础部应用数学课程组1.1.复数的模、辐角、幅角主值复数的模、辐角、幅角主值;2.2.复数的各种表示法复数的各种表示法.内容小结内容小结各种表示法可相互转化各种表示法可相互转化,盐城工学院基础部应用数学课程组1.1.是否随意复数都有辐角是否随意复数都有辐角?思索题思索题它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.盐城工学院基础部应用数学课程组作业作业习题一习题一:1(2)(4):1(2)(4)、2 2、4(1)(6)4(1)(6)7,8(3)(4)(5)7,8(3)(4)(5)盐城工学院基础部应用数学课程组例例4 4解解所以它的复数形式的参数方程为
6、所以它的复数形式的参数方程为(复方程复方程)盐城工学院基础部应用数学课程组盐城工学院基础部应用数学课程组1-12-2(1)1-1(2)例例5 5求下列复方程所表示的曲线求下列复方程所表示的曲线:代入复方程得代入复方程得盐城工学院基础部应用数学课程组*二、复球面二、复球面1.1.南极、北极的定义南极、北极的定义盐城工学院基础部应用数学课程组球球面面上上的的点点，除除去去北北极极 N N 外外，与与复复平平面面内内的的点点之之间间存存在在着着一一一一对对应应的的关关系系.我我们们可可以以用用球球面上的点来表示复数面上的点来表示复数.规规定定：复复数数中中有有一一个个唯唯一一的的“无无穷穷大大”与与
7、复复平平面面上上的的无无穷穷远远点点相相对对应应,记记作作.因因而而球球面面上上的北极的北极 N N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.2.复球面的定义复球面的定义盐城工学院基础部应用数学课程组3.3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面,或简称或简称复平面复平面.对于复数对于复数来说，实部、虚部、辐角等
8、概念均来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的无意义，它的模模规定为规定为正无穷大正无穷大.复球面的复球面的优越处优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.盐城工学院基础部应用数学课程组盐城工学院基础部应用数学课程组A为为了了用用球球面面上上的的点点来来表表示示复复数数，引引入入了了无无穷穷远远点点无无穷穷远远点点与与无无穷穷大大这这个个复复数数相相对对应应,所所谓谓无无穷穷大大是是指指模模为为正正无无穷穷大大（辐辐角角无无意意义义）的的唯唯一一的的一一个个复复数数，不不要要与与实实数数中中的的无无穷穷大大或或正正、负负无无穷穷大大混混为为一一谈谈