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1、?坐标系及参数方程?专项练习一、知识梳理1极坐标及直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，那么它们之间的关系为：1，22参数方程(t为参数)化为普通方程的常用方法1代入法/加减法消参2借助三角恒等式sin2cos21为参数消参3直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系极坐标方程(，)直角坐标方程(普通方程)(x，y)参数方程(t为参数)二、练习专项【题型1】极坐标方程直角坐标方程参数方程直角坐标方程12021全国卷，文科23，10分在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
2、sin()2写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标解：由消去参数得1分此处为消参的计算过程，可省略变形得两边平方，得，得y21C1的普通方程为y212分sin()2(sincoscossin)23分(sincos)2sincos2sincos44分cosx，sinyxy45分由题意，可设点P的直角坐标为6分C2是直线的最小值即为P到C2的距离的最小值8分当且仅当时，取得最小值，最小值为9分此时P的直角坐标为10分22021全国卷，文/理23，10分曲线C1：t为参数，C2：为参数化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么
3、曲线；假设C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：t为参数距离的最小值解：由C1：消去参数t得1分此处为消参的计算过程，可省略变形得两边平方，得，得(x4)2(y3)21C1的普通方程为(x4)2(y3)212分C1为圆心是(4，3)，半径是1的圆由C2：消去参数得1分此处为消参的计算过程，可省略变形得两边平方，得，得1C2的普通方程为12分C2为焦点在x轴上的椭圆当时，故为直线M到的距离从而当时，取得最小值【题型2】直角坐标方程极坐标方程直角坐标方程参数方程32021全国卷，文科23，10分在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225以坐标原点为极点，x
4、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；直线l的参数方程是(t为参数)，l及C交于A，B两点，|AB|求l的斜率解：由圆C的方程可得1分x212x36y225x2y212x1102分把x2y22，xcos代入上式得3分212cos1104分圆C的极坐标方程为212cos1105分在中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)由A，B所对应的极径分别为1，28分将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos1107分于是8分由|AB|得9分l的斜率为或10分42021 全国卷，文/理23，10分在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴
5、的正半轴为极轴建立极坐标系求C1，C2的极坐标方程；假设直线C3的极坐标方程为(R)，设C2及C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：把xcos代入C1：x2得cos21分C1的极坐标方程为cos22分由C2：(x1)2(y2)21得(x22x1)(y24y4)1x2y22x4y141x2y22x4y403分把2x2y2，xcos，ysin代入上式得4分C2的极坐标方程为22cos4sin405分将4代入22cos4sin40，得232406分解得122，227分故122，即|MN|28分由于C2的半径为1C2MN的面积为1210分52021全国卷，文/理23，10分曲线C：，直线l：(t为参
6、数)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；过曲线C上任意一点P作及l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值解：曲线C：x24y291又sin2cos21cos，sinx2cos，y3sin曲线C的参数方程为(为参数)由直线l：x2ty22t消去参数t得此处为消参的计算过程，可省略x2ty22t由得tx2把代入，得y22(x2)整理得2xy60直线l的普通方程为2xy60曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d55|4cos3sin6|那么|PA|dsin30255|5sin()6|，其中为锐角，且tan43当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为2255
7、当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为25562021全国卷，文/理23，10分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0，求C的参数方程；设点D在C上，C在D处的切线及直线l：yx2垂直，根据中你得到的参数方程，确定D的坐标解：2cos22cos把x2y22，xcos代入上式得x2y22xC的普通方程为(x1)2y21(0y1)半圆C的圆心为(1，0)，半径为1可得C的参数方程为x1costysint(t为参数，0t)设D(1cost，sint)由()知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆C在点D处的切线及l垂直直线G
8、D及l的斜率一样tant3，t3故D的直角坐标为1cos3，sin3，即32，32【题型3】极坐标方程参数方程72021全国卷，文/理23，10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为t为参数，a0在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，假设曲线C1及C2的公共点都在C3上，求a解：解法一：C1是圆的方程1分由消去参数t得2分此处为消参的计算过程，可省略移项，得两边平方，得即，得x2(y1)2a2cos2ta2sin2tx2(y1)2a2(cos2tsin2t)x
9、2(y1)2a2整理得3分把代入上式得4分的极坐标方程为5分由C2：4cos得两边同乘得24cos2x2y2，cosx6分即7分C3：化为普通方程为8分由题意：和的公共方程所在直线即为得：，即为9分10分82021全国卷，文/理23，10分曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin把C1的参数方程化为极坐标方程；求C1及C2交点的极坐标(0，02)解：将消去参数t得C1的普通方程为(x4)2(y5)225即C1：x2y28x10y160将代入上式得28cos10sin160C1的极坐标方程为28cos10sin160C2的
10、极坐标方程为2sinC2的普通方程为x2y22y0由此处为解方程的过程，可省略，得8x8y160整理，得y2x把代入，得x2(2x)22(2x)0整理，得x2x0(特别注意，x是未知数，不能约去的)提取x，得x(x1)0x0或x10解得x0或x1把x0代入，得y2把x1代入，得y1解得或C1及C2交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：2，对于点(1，1)有：，tan1，C1及C2交点的极坐标分别为(2，)，(，)【题型4】其它题型：求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等92021 全国卷，文/理23，10分在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0在以O为
11、极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos求C2及C3交点的直角坐标；假设C1及C2相交于点A，C1及C3相交于点B，求|AB|的最大值解：C2：2sin22sin把2x2y2，ysin代入上式得曲线C2的直角坐标方程为x2y22y01分C3：23cos223cos把2x2y2，xcos代入上式得曲线C3的直角坐标方程为x2y22x02分联立得3分此处为解方程的过程，可省略，得2y2x0整理，得yx把代入，得x23x22x0整理，得2x2x0(特别注意，x是未知数，不能约去的)提取x，得x(2x)0x0或2x0解得x0或x把x0代入，得y0把x代入，得y解得或4分C
12、2及C3交点的直角坐标为(0，0)和32，325分曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(23cos，)|AB|2sin23cos|4sin3当56时，|AB|取得最大值，最大值为4102021全国卷，文/理23，10分动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t及t2(02)，M为PQ的中点求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：动点P，Q都在曲线C：x2costy2sint(t为参数)上P(2cos，2sin)，Q(2cos2，2sin2)M为PQ的中点xMcoscos2yMsinsi
13、n2M(coscos2，sinsin2)M的轨迹的参数方程为xcoscos2，ysinsin2(为参数，02)M点到坐标原点的距离dx2y222cos(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点112021全国卷，文/理23，10分曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)求点A，B，C，D的直角坐标；设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：点A的极坐标为2，3点B的极坐标为2，32点C的极坐标为2，3点D的极
14、坐标为2，332xA2cos31，yA2sin33xB2cos323，yB2sin321xC2cos31，yC2sin33xD2cos3323，yD2sin3321即A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1)设P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2那么S16cos236sin2163220sin20sin21S的取值范围是32，52122021全国卷，文/理23，10分在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2求C2的方程；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线及C1的异于极点
15、的交点为A，及C2的异于极点的交点为B，求|AB|解：设P(x，y)，那么由条件知M(，)由于M点在C1上即从而C2的参数方程为(为参数)曲线C1的极坐标方程为4sin曲线C2的极坐标方程为8sin射线及C1的交点A的极径为14sin射线及C2的交点B的极径为28sin|AB|21|2132021全国卷，文/理23，10分直线C1：t为参数，圆C2：(为参数)当时，求C1及C2的交点坐标；过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：当时C1的普通方程为C2的普通方程为联立方程组解得C1及C2的交点为1，0，C1的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为为参数P点轨迹的普通方程为故P点是圆心为，半径为的圆第 8 页