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1、专题14 坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础【知识要点】1极坐标系的概念，极坐标系中点的表示在平面内取一个定点O，O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O称为极点，Ox称为极轴设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离OM|叫做点M的极径，记作r ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记作q ，有序数对(r ，q )叫做点M的极坐标一般情况下，约定r 02极坐标系与直角坐标系的互化直角坐标化极坐标：xr cosq ，y
2、r sinq ；极坐标化直角坐标：，3参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数，如果对于t的每一个值(atb)，式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M(x，y)，都可由t的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中t称为参数4参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等把曲线C的普通方程F(x，y)0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性要注意方程中的参数的变化范围5直线、圆、
3、椭圆的参数方程(1)经过一定点P0(x0，y0)，倾斜角为a 的直线l的参数方程为(t为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t为参数)；(3)圆的参数方程为(q 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(q 为参数)【复习要求】1理解坐标系的作用2能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3了解参数方程4能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上(2)点P的直角坐标为，则点P的极坐标为_(限定0q 2p)(3)点P的极坐标为，则点P的直角坐标为_解：(1)因为，
4、所以点是在曲线上(2)根据r 2x2y2，得r 2，又点P在第四象限，所以，所以点P的极坐标为(3)根据xr cosq ，yr sinq ，得，所以点P的直角坐标为例2 (1)圆r 2(cosq sinq )的半径为_(2)直线与圆r 2sinq 交与A，B两点，则|AB|_解：(1)由r 2(cosq sinq )，得r 22r (cosq sinq )，所以，x2y22x2y，即(x1)2(y1)22，所以圆r 2(cosq sinq )的半径为(2)将直线与圆r 2sinq 化为直角坐标方程，得由得，即，由r 2sinq ，变形为r 22r sinq ，得x2y22y，即x2(y1)21
5、，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为，所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定q 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识如：过极点，倾斜角为a 的直线：q a (r R)或写成q a 及q a p过A(a，a)垂直于极轴的直线：r cosq acosa 以极点O为圆心，a为半径的圆(a0)：r a若O(0，0)，A(2a，0)，以OA为直径的圆：r 2acosq 若O(0，0)，A(2a，)，以OA为直径的圆：r 2as
6、inq 对于例2(2)，可以利用结论，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB，当然也可以用极坐标方程直接解r ，根据r 的几何意义求AB例3 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为r 4cosq ，r 4sinq (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程解：(1)由r 4cosq 得r 24r cosq ，根据xr cosq ，yr sinq ，所以x2y24x即x2y24x0为圆O1的直角坐标方程，同理x2y24y0为圆O2的直角坐标方程(2)由解得即圆O1和圆O2交于点(0，0)和(2，2)过交点的直线的直角坐标方程为yx例4 (1
7、)曲线的参数方程是(t为参数，t0)，它的普通方程是_(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (参数tR)，圆C的参数方程为(参数q 0，2p)，则圆C的圆心坐标为_，圆心到直线l的距离为_解：(1)由得，带入y1t2，得注意到，所以已知参数的普通方程为(2)直线l的普通方程为xy60，圆C的普通方程为x2(y2)24，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题如例4(1)，若参数方程为(t为参数，t0)，则其普通方程为例5 求椭圆的内接矩形
8、的最大面积解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosq ，bsinq )，P点在两轴上的投影分别为A、B，则有S内接矩形4S矩形OAPB4acosq bsinq 2absin2q 因为，所以2q (0，p)，S内接矩形的最大值为2ab评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题椭圆的参数方程为 (q 为参数)抛物线y22px(p0)的参数方程为.例6 圆M的参数方程为x2y24Rxcosa 4Rysina 3R20(R0)(1)求该圆的圆心坐标以及圆M的半径；(2)当R固定，a 变化时，求圆心M的轨迹，并证明此时不论a 取什么值，所有的圆M都外切于一
9、个定圆解：(1)依题意得圆M的方程为(x2Rcosa )2(y2Rsina )2R2，故圆心的坐标为M(2Rcosa ，2Rsina )，半径为R(2)当a 变化时，圆心M的轨迹方程为 (a 为参数)，两式平方相加得x2y24R2，所以圆心M的轨迹是圆心在原点，半径为2R的圆由于所以所有的圆M都和定圆x2y2R2外切，和定圆x2y29R2内切例7 过P(5，3)，倾斜角为a ，且的直线交圆x2y225于P1、P2两点(1)求|PP1|PP2的值；(2)求弦P1P2的中点M的坐标解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为(t为参数)代入圆的方程化简，得的两个解t1、t2就是P1、P2对应的参数，
10、由参数的几何意义及韦达定理知PP1|PP2|t1|t2|9(2)设M(x，y)为P1P2的中点，则点M对应的参数，代入参数方程，得所以评述：根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2；定点M0是弦M1M2的中点t1t20；设弦M1M2的中点为M，则点M对应的参数值，(由此可求得|M2M|及中点坐标)习题14一、选择题1极坐标的直角坐标为(A)(1，)(B)(，1)(C)(1，)(D)(1，)2椭圆(q 为参数)的焦距等于( )(A)(B)2(C)(D)3已知某条曲线的参数方程为(0t5)，则该曲线是( )(A
11、)线段(B)圆弧(C)双曲线的一支(D)射线4若是极坐标系中的一点，则四点中与P重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5在极坐标系中，若等边ABC的两个顶点是，那么顶点C的坐标可能是( )(A)(B)(C)(D)(3，p)二、选择题6过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为_7点M的直角坐标(3，3)化为极坐标是_8直线(t为参数)过定点_9曲线(t为参数)与y轴的交点坐标是_10参数方程(q 为参数)表示的曲线的普通方程是_三、解答题11求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程12在椭圆上求一点，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离13设圆C是以C(4，0)为圆心，半径等于4
12、的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程14已知点M(2，1)和双曲线，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线l的方程专题14 坐标系与参数方程参考答案习题14一、选择题1C 2B 3A 4C 5B二、填空题6； 7； 8(3，1)； 9(0，1)，(0，1)；三、解答题1112解：由题设知椭圆参数方程为(q 为参数)设M的坐标(3cosq ，2sinq )由点到直线距离即d的最小值为，此时所以M的坐标为13解：(1)设P(r ，q )为圆C上任意一点，圆C交极轴于另一点A由已知|OA|8，在RtABC中，|OP|OAcosq ，即r 8cosq ，这就是圆C的方程(2)连结CM，因为M是ON的中点，所以CMON，故M在以OC为直径的圆上由r|OC|4，得动点M的轨迹方程是r 4cosq 14解：设AB的方程为(t为参数)，代入双曲线方程，得(2cos2a sin2a )t2(8cosa 2sina )t50，由于M为AB的中点，则t1t20，则tana 4，从而AB的方程为：4xy70