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1、现代控制理论试卷作业一图为R-L-C电路，设为控制量，电感上的支路电流和电容C上的电压为状态变量，电容C上的电压为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出，即可得到状态空间表达式如下：二、考虑下列系统：（a）给出这个系统状态变量的实现；（b）可以选出参数（或）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（a）模拟结构图如下：则可得系统的状态空间表达式：（b） 因为 所以：当
2、时，该系统不能控；当时，该系统能控。又因为： 所以：当或时，该系统不能观；当且时，该系统能观。综上可知：当时或且时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统的状态转移矩阵为：（1）试确定矩阵，并验证确为上式。（2）已知求，以下采用三种方法计算，并对计算结果进行讨论。解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有 即 当t=0时 验证：（利用P59的公式（2-24）来验证）解得：，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的仍按公式（2-23）计算。且所以：四、有两个能控能观的单输入单输出系统：（1）按图把、串联，针对推导状态方程。（2）判断以上系统的能控性和能观性。
3、（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。（4）求、及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。解：（1）所以 因而 得状态方程: （2） A= b=所以 所以该系统不能控。所以 所以 该系统是能观的。（3）所以所以 所以此时该系统能控。而 所以此时该系统不能观。（4）当、按照（2）的连接方式串联时，当、按照（2）的连接方式串联时，由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：解：（a）能控性分解：所以 ，故该系统不能控。构造非奇异矩阵，所以（b）能观
4、性分解：所以 所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：，所以 六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。（1）（2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解： 原点=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即 当，时， ；当，时，因此为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：为正定，而为负定的，且当，有。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。（2） 闭（3） 环系统的状态方程为其齐次方程为 显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数 可见，在任意的值均保持为0，而保持为常数这表示系统运动的相轨迹是一系列以原
5、点为圆心，为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量和峰值时间。解：传递函数又因为二阶系统单位阶跃响应中：根据题意要求和通过上式解答：因此设计后的极点分别为：因为传递函数没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观。可直接写出它的能控标准I型实现。其闭环系统结构图如下：加入状态反馈阵，其系统结构如下图： 而闭环系统特征多项式为根据极点值，得期望特征多项式：比较和各对应项系数，可得：即 八、系统的状态方程如下：，性能指标泛函分两
6、种情况求最优控制：。（1） 对没有约束解：（1） 原问题为自由终端状态，因而。由哈密尔顿函数 又因为=0 所以又沿最优轨迹线满足正则方程：边界条件 通过上式联合解答：（2） 由极小值原理，及符号有关，取 表示的符号， 取 在区间，取。下图表示求解结果。九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函及经典控制理论的性能指标。1 内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它
7、不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式，现代控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。2方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。3分析比较指标泛函及经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为
8、最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量，使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和线性伺服器。假定状态方程：，寻求最优控制，使性能指标达到极小值 （9-1） 这是二次型指标泛函，要求S，是对称阵，且S和是非负定或正定的，应是正定的。式（9-1）右端第一项是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的状态接近预定终态的程度。积分项的第一项表示对于一切的对状态的要求，积分第二项是对控制总能量的限制，二者相互制约，求两者之和极小值，实质上是求取在某种最有意义下的折衷，偏重哪一面，取决于加权矩阵和地选取。第 页