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《正多边形和圆》课时练习（附答案）
一、本节学习指导
本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点
1、正多边形
（1）、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.
2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
4.已知⊙O和⊙O上的一点A(如图2.6-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.
图2.6-1
三、当堂巩固(30分钟训练)
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图2.6-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数.
7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图2.6-3
8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图2.6-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图2.6-5
10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图2.6-6
(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；
(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.。答案：D
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高AD=a，外接圆半径OA=a，边心距OD=a，所以AD∶OA∶OD=3∶2∶1。答案：A
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
思路解析：正n边形的对称轴与它的边数相同。答案：5 6
4.中心角是45的正多边形的边数是__________.
思路解析：因为正n边形的中心角为，所以45=，所以n=8。答案：8
5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
思路解析:由切线长定理及三角形周长可得。答案:6
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n边形的一个外角是一个内角的时，此时该正n边形有_________条对称轴.
思路解析：因为正n边形的外角为，一个内角为，
所以由题意得=，解这个方程得n=5。答案：5
2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A。答案：A
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3
思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。答案：B
4.已知⊙O和⊙O上的一点A(如图2.6-1).
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.
图2.6-1
思路分析：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于36012＝30.
(1)作法：
①作直径AC;②作直径BD⊥AC;③依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;④分别以A、C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G;⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.
(2)证明：连结OE、DE.
∵∠AOD＝＝90，∠AOE＝＝60，
∴∠DOE＝∠AOD－∠AOE＝30.∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
三、当堂巩固(30分钟训练)
1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )
A. B. C. D.
思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为.
答案：D
2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B。答案：B
3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为__________ cm.
思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6an求出周长。
答案：18
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
答案：144.
5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB为2，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图2.6-2
思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.
解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为R3，正六边形外接圆⊙O2的半径为R6，由题意得R3=AB，R6=AB，∴R3∶R6＝∶3.∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3.
6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数.
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.
解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-＝100.解得n＝9.
7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图2.6-3
思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正△O1O2O3的中心，求出这个正△O1O2O3外接圆的半径，再加上⊙O1的半径即为所求.
解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2= (cm).
8.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图2.6-4
答案：略.
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图2.6-5
作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；
(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.
10.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图2.6-6
(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；
(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
答案：(1)方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30，∠BOC=120.
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120.
方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30,
∠AOB=120.
又∵BM＝CN，∴AM=BN.
又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120.
(2)90 72
(3)∠MON=.
《正多边形和圆》课后作业：
一、 填空题
1． 在一个圆中，如果的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.
2． 正n边形的中心角的度数是_______.
3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.
4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.
二、 选择题
5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.
（A） 两角互余 （B）两角互补 （C）两角互余或互补 （D）不能确定
6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.
（A）2：1 （B）1：2 （C） （D）
7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9．已知：如图，ABCD为正方形，边长为a，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.
（A）（1-π）a2 （B）1-π （C） （D）a2
附：答案
1. 3； 2. ；3. ；4. ； DBABD
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