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1、高一数学必修1一、 集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素确实定性,(2)元素的互异性,(3)元素的无序性,3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法及描述法。u注意：常用数集及其记法：非负整数集即自然数集记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1列举法：a,b,c2描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法x|x-323语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元
2、素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的根本关系1.包含关系子集注意：B包含A有两种可能1A是B的一局部；2A及B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A不属于B或B不属于A2相等关系：A=B(55，且55，那么5=5)实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1元素一样那么两集合相等即：即任何一个集合是它本身的子集。真子集:如果A属于B,且A不属于B那就说集合A是集合B的真子集。如果A属于B,B属于C,那么A属于C如果A属于B同时B属于A，那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为1.规定:空集是任何集合的子
3、集，空集是任何非空集合的真子集。2.特点有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB读作A交B，即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB读作A并B，即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集或余集SA记作，即CSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(C
4、uA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 1 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域注意：1 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零
5、；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)换元法3映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y及之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f对应关系：A原象B象对于映射f：AB来说，那么应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都
6、有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。4函数的奇偶性整体性质1偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数2奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数3具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f(x)及f(x)的关系；作出相应结论：假设f(x) = f(x) 或
7、f(x)f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，那么f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定5、函数的解析表达式1.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.2求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法2) 待定系数法3) 换元法4) 消参法10函数最大小
8、值定义见课本p36页 利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值 利用图象求函数的最大小值 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；6.函数的单调性(局部性质)1增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当
9、x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；2 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间及单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x11，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质1；2；
10、3二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a0，a0，函数y=ax及y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ;= ；= ;3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 在区间上的最大值是最小值的3倍，那么a= ，1求的定义域2求使的的取值范围.第三章 函数的应用一、方程的根及函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象及轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象及轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： 代数法求方程的实数根； 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数1，方程有两不等实根，二次函数的图象及轴有两个交点，二次函数有两个零点2，方程有两相等实根，二次函数的图象及轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3，方程无实根，二次函数的图象及轴无交点，二次函数无零点第 7 页