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1、高一数学必修 1 1.知识点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性 , (2) 元素的互异性 , (3) 元素的无序性 , 3.集合的表示： , 如：我校的篮球队员 ，太平洋,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合： A=我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c, 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法x| x
2、-32 3）语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn图: 4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系 1.?包含关系子集注意： B包含 A1）A 是 B的一部分；（2）A 与 B是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A 不属于 B或 B不属于A 2相等 ? 关系： A=B (5 5，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 ?元素相同则两集合相等 ?即：即任何一个集合是它本身的子集。真子集 :如果 A
3、属于 B,且 A 不属于 B 那就说集合 A 是集合 B的真子集。如果 A 属于 B, B属于 C , 那么 AC 如果 A 属于 B 同时 B属于 A ，那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为1.规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。2.特点有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组 成 的 集 合 , 叫做 A,B 的交集 记作 AB （读作A交 B ） ，
4、即 AB=x|xA，且 xB 由所有属于集合A或属于集合 B的元素所组成的集合，叫 做A,B的 并集 记作：AB （读作A 并 B ） ，即AB =x|xA，或xB) 设 S是一个集合， A是 S的一个子集，由S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示性质AA=A A=AB=B A ABA ABB AA=A A=A AB=B A ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= 2.函数基本知识点总结1函数的概念：设A、B是非空的数集，
5、如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么AB图1AB图 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中， x叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母
6、不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2值域 : 先考虑其定义域(1) 观察法(2) 配方法(3) 换元法3映射一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：AB 为从集合 A到集合 B 的一个映射
7、。记作“ f （对应关系） ：A（原象）B（象） ”对于映射 f ：AB来说，则应满足：(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合 B中的每一个元素在集合A中都有原象。4函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数：一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x) 就叫做偶函数（2） 奇函数：一般地，对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于
8、y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f( x) 与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x) 是偶函数；若f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x) 是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 . 若对称， (
9、1) 再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)= 0或 f(x) f(-x)=1来判定 ; (3) 利用定5、函数的解析表达式（1）. 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10函数最大（小）值（定义见课本p36 页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递增，在区间 b ，c上单调递减则函数y=f
10、(x) 在 x=b处有最大值 f(b) ；如果函数 y=f(x) 在区间 a ，b 上单调递减， 在区间 b ，c 上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b处有最小值 f(b) ；6. 函数的单调性 ( 局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x) 在区间 D 上是增函数 . 区间 D称为 y=f(x) 的单调增区间 . 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值x1， x2， 当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说f(x) 在这
11、个区间上是减函数. 区间 D称为 y=f(x) 的单调减区间 . 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x) 在这一区间上具有 (严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3). 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x1，x2D，且 x11，且 nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0， 记作00n。当n 是 奇 数 时 ，aann， 当n 是 偶 数 时 ，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定
12、：) 1, 0(*nNnmaaanmnm，) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页（1）),0(Rsra；（2）), 0(Rsra；（3）), 0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念 ：一般地，函数) 1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a0， a0， 函数 y=
13、ax与 y=loga(-x)的图象只能是( ) 2. 计算： 64log2log273 ;3log422= ；2log227log553125= ; 21343101.016)2()87(064.075. 030 = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页3. 函数 y=log21(2x2-3x+1) 的递减区间为4. 若函数) 10(log)(axxfa在区间2,aa上的最大值是最小值的3 倍，则 a= 5. 已知1( )log(01)1axf xaax且， （1）求( )f x的定义域（ 2）求使()0fx的 x
14、的取值范围. 第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、 函数 零点 的概 念 ：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数 x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、 函数零点的意义 ： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标。即： 方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法 ：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点 ：二次函数)0(2acbxaxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页