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1、龙文教育学科教师辅导讲义课 题 第三章圆的性质（5-6节)圆的有关计算教学目标能够运用弧长、扇形面积公式进行有关计算重点、难点灵活公式进行有关计算考点和考试要求 教学内容一、知识梳理：1. 圆周长： 圆面积：2. 圆的面积C及半径R之间存在关系，即360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧长就是。 n的圆心角所对的弧长是 P120 *这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积及组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积
2、就是圆面积，所以圆心角为n的扇形面积是： （n也是1的倍数，无单位）5. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S向底面引垂线，垂足是底面的圆心O，垂线段SO的长叫做圆锥的高，点S叫做圆锥的顶点。 锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长
3、都相等。 母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122 6. 圆锥的性质 由图可得 （1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等 7. 圆锥的侧面展开图及侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。 圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为n（如图），则它们之间有如下关系： 同时，如果设圆锥底面半径为r，周长为c，侧面母线长为l，那么它的侧面积是： 圆锥的全面积为：圆柱侧面积：。8、阴影部分的面积：1)规则图形：按规则图形的面
4、积公式去求；2）不按规则图形：采取“转化”的数学思想方法，把不规则图形的面积采取“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形面积。二、典例剖析：例：1、在中，120的圆心角所对的弧长为，那么O的半径为_cm。 答案：120 解：由弧长公式：得： 例：2、若扇形的圆心角为120，弧长为，则扇形半径为_，扇形面积为_。 答案：15；25 例：3、如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为_。 答案：90 例4：已知扇形的周长为28cm，面积为49cm2，则它的半径为_cm。 答案：7例5：两个同心圆被两条半径截得的，又AC=12，求阴影部分面
5、积。 解：设OC=r，则OA=r+12，O=n OC=18，OA=OC+AC=30 例6：如图，已知正方形的边长为a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。 解：正方形边长为a ， 叶的总面积为 *也可看作四个半圆面积减去正方形面积 例7：已知AB、CD为O的两条弦，如果AB=8，CD=6，的度数及的度数的和为180，那么圆中的阴影部分的总面积为？ 解：将弓形CD旋转至B，使D、B重合 如图，C点处于E点 的度数为180 AE是O的直径 ABE=90 又AB=8，BE=CD=6 由勾股定理 半径 例8：在AOB中，O=90，OA=OB=4cm，以O为圆心，OA为半径画，以AB为直径作半圆，
6、求阴影部分的面积。 解：OA=4cm，O=90 ， 则阴影部分的面积为： 例9：、是边长均大于2的三角形，四边形、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧及两邻边相交，得到3条弧，4条弧， （1）图中3条弧的弧长的和为_ 图中4条弧的弧长的和为_ （2）求图中n条弧的弧长的和（用n表示） 解：（1），2 （2）解法1： n边形内角和为：（n2）180 前n条弧的弧长的和为：个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长 n条弧的弧长的和为： 解法2：设各个扇形的圆心角依次为 则 n条弧长的和为： 例10：如图，在RtABC中，已知BCA=90，BAC=30，AC=6m，把ABC以点B为中心逆时
7、针旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C处，那么AC边扫过的图形（阴影部分）的面积为？ 分析：在RtACB中，C=90，BAC=30，AB=6 法一： 法二：以B为圆心，BC为半径画弧 交AB于D，AB于D 有， 例11：如图，已知RtABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？ 解： 以直线AC为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为： 以直线AB为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。 例12：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240的扇形铁皮制作，
8、再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为_。 答案：6 例13：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。 答案：2 例14：已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_。 答案：160例15：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是_。 答案：180 例16：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm。 （1）画出它的展开图； （2）计算这个展开图的圆心角和面积。 解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图） （2）设扇形的半径为l，弧长为c，圆心角为，则l=
9、50cm， =288（度） 例17：一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。 解：设圆锥底面半径为r，圆锥母线长为l，扇形弧长（即半圆）为c，则由题意得 即 在RtSOA中， 由此求得 故所求圆锥的侧面积为 例18：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为3.5m，外围高4m的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？ 解： h1=4， 答：至少要平方米的毛毡。点将练兵1. 已知扇形的弧长为6cm，圆心角为60，则扇形的面积为_。 2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60，弓形弦长为a，则这个弓形的面积是_。 3. 如图，在平行四边形ABCD中，BDAD，以
10、BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则图中阴影部分的面积为_。 4. 如图，AB是O1的直径，AO1是O2的直径，弦MN/AB，且MN及O2相切于C点，若O1的半径为2，则O1B、CN、所围成的阴影部分的面积是_。 5. 如图，ABC为某一住宅区的平面示意图，其周长为800m，为了美化环境，计划在住宅区周围5m内，（虚线以内，ABC之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。 6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的，O及，都相切，则图中阴影部分的面积为_。9. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4，AOB=120，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，OA是O的半径，AB是以OA为直径的O的弦，OB的延长线交O于点C，且OA=4，OAB=45，则由，和线段BC所围成的图形面积是_。 8. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ） A. B. C. 4D. 11 如图，扇形的圆心角为，半径为，是的三等分点，则图中阴影部分的面积和是第 10 页