第一章学习基本概念.doc

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1、|第一章 基本概念1.1 集 合1.指出下列各命题的真假.(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;1111(5) ; (6) ; (7) ; (8) ;,(9) ; (10) ; (11) ; (12) .解 命题 ,(5),(6),(8),(9)和(11)为真命题,其余都是假命题.)(2.设 , , ,求 ,hgfedcbaUhecaM,gfedaNNM, , , , .NMN解 ; ; ;f,hc; ; .,f,gfdcbb3.设 是两个集合,若 ,证明: .BABA证明 假设 .则 .因此ABAB.4.设 是三个集合,若 , ,证明: .CCC证明 考察任意的 :若 ,则由 可知

2、;若 ,则由BxAx可知 .由此可见, .同理可证 , .所以 .ABB5.证明下列三命题等价:(1) ;(2) ;(3) .证明 我们有 BAABAB)(.所以命题(1),(2)和(3)两两等价. 6.设 是三个集合,证明:CBA(1) ; (2) ;)( BA)(3) ; (4) ;)(CA )()(CC(5) ; (6) . BA证明 (1)对于任意的元素 ,我们有x.)( xBAxBBAx 且且所以 )(2)对于任意的元素 ,我们有x.BAxxxAx 且且 |所以 .BA)(3)对于任意的元素 ,我们有x CxBAxC,)(.)()(A且所以 .)()(ABCA(4)对于任意的元素 ,

3、我们有xxBAx或,)()()( CAC或所以 .)()(ABA(5)对于任意的元素 ,我们有xxBAx,)(.)()(, 所以 .)()(CABCA(6)对于任意的元素 ,我们有x AxBxA且或 者且 ,)(.)()(B且所以 .()()(ABA7.设 ,写出 的幂集 .032|xA2解 显然 .所以 .,1,31,8.设 是包含 个元素的有限集,求 的幂集 所包含元素个数.n解 对于任意的 , 的由 个元素组成的子集共有 个.所以 的幂,nkkknCA集 所包含元素个数为 .A2kC201.2 映 射1. 设 是一个正整数, ,作带余除法:mZn, .rmq0规定,f:问: 是否为 到

4、的映射?单射?满射?fZ答 显然 是 到 的映射.由于 ,因此 不是单射.由于fZ0)2()mff f, ,因此不是满射.mnf)(2.(1)设 是 到的 单射, 是 到 的单射,证明: 是 到 的单射.fABgCfgAC(2)设 是 到的 满射, 是 到 的满射,证明: 是 到 的满射.Comment tw1: A中元素在 B中必有对应项，对于 1,2,3有 3种选择，即3*3*3=27|证明 (1)假设 且 .由于 是 到的 单射,因此 且Ayx,fABByfx)(,.由于 是 到 的单射,因此 且 ,即)(yfxgBCCygx)(,(g.由此可见, 是 到 的单射.fgf(2)任意给定

5、.由于 是 到 的满射,因此我们可取 ,使得 .由z z)于 是 到 的满射,因此我们可取 ,使得 .于是,fAf)(.zyxf)(由此可见, 是 到 的满射.f3.设 , ,问:321cbaB(1)有多少个 到 的映射?(2)有多少个 到 的单射?满射?双射?A解 (1)令 表示 到 的所有映射组成的集合, 表示 这三个元素的所有FPcba,有重复和无重复的排列组成的集合.对于任意的 ,令 .显然Ff)3(21)(ff是 到 的双射,并且 .所以 .也就是说, 到 的不同映射共有P273|AB个.27(2)设 如(1)中所说.显然,对于任意的 , 是单射(满射)当且仅当f是 这三个元素的一个

6、无重复的排列.由于 这三个元素的)(1)(ffcba cba,无重复的排列共有 个,所以 到 的不同单射(满射)共有 6个.6AB4.设给出三个 到 的映射:Z; ;xf21:g.为 奇 数 时当 为 偶 数 时当h,:(1)计算: , , , , , ;gfffh(2)证明: 是单射,并分别求出 的一个左逆映射;g(3)证明: 是满射,并求出 的一个右逆映射.hh解 (1)对于任意的 ,Zx;24)1()(xff;g;xh)()(为 奇 数 时当 ,为 偶 数 时当 xff,1.为 奇 数 时当 为 偶 数 时当g)()(2) ,若 ,则 ;若 ;则Zyxyfx22 12)(12ygx|.所

7、以 和 都是单射.由(1)可知, 既是 的一个左逆映射,又是 的一个左逆映yxfghf g射.(3) ,我们有 .所以 是满射.由(1)可知, 和 都是 的右逆映射.Zxh)2( fh5.设 是 到的 映射, 是 到的 映射.fABgC(1)若 有左逆映射,问 是否都有左逆映射?gf,(2)若 有右逆映射,问 是否都有右逆映射?f解 (1)若 有左逆映射 ,则 ,从而, 是 的左hAIfghf)()(ghf逆映射.但是 未必有左逆映射.例如,令 ,定义 到的 映射 和 到的NBAB映射 如下:Cg;时当 时当 1,:xxf.时当 时当,:g则 有左逆映射; 不是单射,从而, 没有左逆映射.NI

8、fg(2)若 有右逆映射 ,则 ,从而, 是 的右逆映fhCIhfghf)()( hfg射.但是 未必有右逆映射.例如,在上例中, 有右逆映射, 不是满射,从而,N没有右逆映射.f6.设 都是有限集,且 .又 是一个映射,证明:BA|BAf:是单射 是满射.f证明 由于 是 到 的映射,因此 .f fIm当 是单射时, 是 到 的双射,从而, .这样,由f fI |I|BAf可知 .所以 是满射.BImfI当 是满射时,对于每一个 ,任意定一个元素 ,使得 ,并令f Byxyxf)(.于是, 是 到 的单射.由于 ,因此 是双射.又因 ,所以xyg)(gA|AgBIg是双射,从而, 是单射.f

9、f1.3 卡氏积与代数运算1.设 ,问下列各命题是否正确?432,1A(1) ; (2) ; (3) ;AA(4) ; (5) ; (6) .| |2答 命题(3),(4)和(6)都正确;其余命题都不正确.2.判断下列法则 是否为有理数域 上的代数运算:”“Q|(1) ; (2) ; (3) ;)(21ba 2ba 22bab(4) ; (5) .|解 (1),(3)和(5)中的法则 都是有理数域 上的代数运算;其余的法则 都”“Q”“不是.3.设 上的代数运算 适合结合律,交换律,试完成下列表中的计算.,cbaAabcbac解 由于 适合交换律,因此我们有abcbac由于 适合结合律,因此

10、.又因 , , , c)()( cbcb根据 可以断言 .所以我们有bc)( bacbacb4.在非零实数集 上普通数的除法运算是否适合结合律、交换律?R答 小学生都知道,数的除法运算不适合结合律和交换律,因此无需举例说明.5.在实数集 上规定一个代数运算 ,问这个代数运算是否适合结合ba2:律、交换律?解 我们有, ; , .513)(731)(531由此可见,这个代数运算不适合结合律和交换律.|6.证明定理 1.9.注 定理 1.9 的内容如下:(1)设 上的代数运算 适合结合律 ; 到 的代数运算对于 适合左分配律,AAB, 则对于 中任意 ( )个元素 , 中任意元素 ,都有n2na,

11、21 b .bban()1 ()1()2 )na(2)设 上的代数运算 适合结合律; 到 的代数运算 对于 适合右分配律,则, 对于 中任意 ( )个元素 , 中任意元素 ,都有An,21 B.)()()()2121 bbann证明 这里只证明定理 1.9(1)成立.由于对于 适合左分配律,因此 .b2112a假设当 ( )时有rn .baan()21 ()1ba()2 )n当 时,由于 适合结合律,根据归纳假设,我们有 (21n b121ra r() )r ba)12 ba()1r ( r .1()2 )n所以对于一切正整数 ,有n .bbaan(21 1ba(2 )na7.设 上的两个代数

12、运算 与由下列运算表给出:,coAoabcaobcacbo证明:对于 适合左、右分配律.证明 事实上,对于任意的 ,若 或 ,则Azyx,oxa ;)(y()z若 或 ,则bxc .xxzy总之,我们有 obcoaboabcc| , .xxzy()(y()zAzyx,这就是说,对于 适合左分配律.其次,对于任意的 ,若 ,则A, ;)(zyoxy(zx()若 ,则oy ;z此外,对于任意的 ,有Ax ,)(bacbxa(bx() ,aoc()x .cc这样一来,注意到 适合交换律,可以断言 , .)(zyxy(z()xAzy,这就是说,对于 适合右分配律.1.4 等价关系与集合的分类1.在集合

13、 中,规定二元关系为|为 平 面 上 的 直 线lA .1l21l2证明:是 上的一个等价关系,并确定相应的等价类.解 平行线的标准定义是:设 和 是同一平面上的两条直线.若 与 没有公共点,abab则称 平行于 ,记作 .根据这一定义,对于任何直线 , 不成立,从而,同一平abaa面上的直线之间的平行关系不是等价关系.但是,显而易见,本题中, 上关系具有对A称性和传递性.这样一来,如果再补充规定: , ,那么就是 上的一个等价ll关系.这时,以 为代表的等价类 就是由 和该平面上的一切平行于 的直线组成的All l集合.2.在非零复数集 中,规定二元关系为C 的辐角 的辐角. abb证明:是

14、 上的一个等价关系,并确定相应的等价类.解 显而易见, ,有c, ;a ;ba .,c所以是 上的一个等价关系.以 为代表的等价类 就是一切与 具有相同辐CCaaa角的复数组成的集合,其几何意义就是复平面上以 为端点且经过 的射线.|3.设 ,在 中,规定二元关系为432,1MM .S|T证明:是 上的一个等价关系,并写出商集 ./2M解 显而易见,是 上的一个等价关系,其理由不必赘述. ,/2M ,31,1其中,431,43,2,1,2,1,.M注 课本中的答案有误.以 为代表的等价类 不是 ,应是 .4.设 ,在 中,规定二元关系 为432,1R.TS问: 是不是 上的等价关系,为什么?R

15、M答 显然, , .因此 不具有对称性.所以 不是 上的等价关系.RM25.设 表示复数域 上所有 阶矩阵所组成的集合,问下列规定的 上的)(Cn n )(Cn关系 是不是等价关系,为什么?若 是等价关系,写出各个等价类的代表元.i i(1) 阶可逆矩阵 ,使 .BAR1PBA1(2) 的秩 的秩.2(3) ( 表示 的行列式).Bdett3 X解 高等代数中已经指出, , 和 都是 上的等价关系,并且 ;1R23)(CnM21R称为矩阵之间的等价关系.1R对于每一个 ,令 表示主对角线上前 个元素都是 、其余元素都是,21nkkEk的 阶矩阵, 表示 阶零矩阵,则0nO.,/)(/)( 21

16、21 nnn EORMC对于每一个 ,令 表示主对角线上第 个元素是 、主对角线上其它元素都是 、Cc c1其余元素都是 的 阶矩阵,则 .0 |/3n6.设 表示所有 阶实对称矩阵所组成的集合,问下列规定的 上的关系 是不是S SiR等价关系,为什么? 若 是等价关系,写出各个等价类的代表元.iR(1) 阶可逆矩阵 ,使 .nBA1PBA(2) 阶正交矩阵 ,使 .2解 高等代数中已经指出, , 都是 上的等价关系 , 称为合同关系, 称为12RS1R2R正交合同关系.对于任意的 ,B,|与 具有相同的惯性指标;ABR1与 具有相同的实特征值.2对于任意的整数 , ,令 表示主对角线上前 个

17、元素是 、主对角线上0,kjnjjk j1接着的 元素都是 、其余元素都是 的 阶矩阵,则k0.|/1 nkjjARSk对于任意的实数 ,令 表示主对角线上的元素依次为n,21 ),Diag(2n的对角矩阵,则n,21,|,i/ 21212 Rnn其中, 当且仅当:适当调换诸 的次序和下标,)a(),Diag(21n i可使 , .ii注 课本中关于 等价类的代表元的叙述有误.2R7.设 ,求 的所有可能的分类.43,AA解 所有可能的分类如下:;1P, , , ;,22 43,123P42,13P3,215P, , ;4678, , ,9 ,10 ,1, , ;12P3 4.,5复 习 题

18、一1.设 , 是两个实系数一元多项式,其根的集合分别记作 ,证明:)(xfg BA(1)多项式 的根的集合为 ;)(BA(2)多项式 的根的集合为 .22xf注 本题中应设 分别表示 , 的全体实数根组成的集合,否则断言(2)BA,)(xfg不成立.例如,当 , 时, , 的全体复根的集合为f)(1)(g22)(xgf.i证明 (1)对于任意的实数 ,我们有或 或AB0)(fB)(是 的根.gf0)()(xgf所以多项式 的全体实数根的集合为 .)(xf (2)对于任意的实数 ,我们有且 且AB0)(fB)(g|是 的根.gf0)(22 22)(xgf所以多项式 的全体实数根的集合为 .2)(

19、xf BA2.设 是两个集合,将 在 中的余与 在 中的余的并称为 与 的对称余,BABAB记作 ,即.)()()()(A证明:(1) ;)(BBA(2) ;)(3) .证明 (1)由于 对于 适合分配律, 对于 适合分配律,我们有)()()()( ABBABAU.)()(2)根据 的定义以及1.1 习题 6(6),我们有BA.BA(3)根据(1)和对合律,我们有 )()()()( BA. 3.证明:(1) ;)()()(CABCA(2) .证明 (1)对于任意的元素 ,我们有yxCyByx 或,)(),(.ABA,或 )()(),Ax所以 .(CCBA(2)对于任意的元素 ,我们有yxyBx且,)(),(.ABA,且 )()(),CAx所以 .(BA4.设 是映射, , ,证明:f:ST(1) ;)()1fT(2) ;fS(3) ,并举例说明等号未必成立.1