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1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第五节第五节 微分方程的微分方程的数值解数值解 在实用上有重大意义的许多微分方程，虽然满足解的存在唯在实用上有重大意义的许多微分方程，虽然满足解的存在唯一性定理的相关条件，但是它们的解常常不能表达成初等函数的一性定理的相关条件，但是它们的解常常不能表达成初等函数的形式，这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性、定性方法进形式，这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性、定性方法进行讨论之外，最常用的方法就是用数值方法求解它们了，即行讨论之外，最常用的方法就是用数值方法求解它们了，即微分微分方程的数值解法方程的数值解法
2、，现已逐步形成一门新的、独立的研究分支了。，现已逐步形成一门新的、独立的研究分支了。求求Cauchy问题问题(初值问题初值问题)的解的解 ，根据初值条件，根据初值条件 ，按照一定的步，按照一定的步长长h，用某种方法（算法）计算微分方程解，用某种方法（算法）计算微分方程解 的近似的近似值值 ，这样求出的解称为，这样求出的解称为数值解数值解。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作第一部分第一部分 欧拉方法欧拉方法一、欧拉格式一、欧拉格式规定规定：相邻两个节点的间距：相邻两个节点的间距 称为称为步长步长，在以后，在以后如不特别声明，步长就为定值如不特别声
3、明，步长就为定值h。讨论下列节点列上的近似解：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作并用并用 的近似值的近似值 代入上式的右端，记所得结果为代入上式的右端，记所得结果为 ，于，于是有是有欧拉公式欧拉公式(Euler)把方程（把方程（1）离散化，其基本方法是用）离散化，其基本方法是用差商代替微商差商代替微商，如以，如以点点 列代入方程（列代入方程（1），有：），有：并用差商代替其中的导数项，即并用差商代替其中的导数项，即有：有：例例1 求解以下初值问题求解以下初值问题解：分析解：分析 1、确定步长确定步长h，由欧拉格式，有，由欧拉格式，有2、通过计算
4、分析欧拉格式的精度较低。、通过计算分析欧拉格式的精度较低。1.73211.78481.01.41421.43510.51.61251.64980.81.26491.27740.31.67331.54921.48320.90.70.61.35821.19181.10001.71781.34160.41.58031.18320.21.50901.09540.1内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作在在 的前提下估计的前提下估计 的误差称为的误差称为局部截断误差局部截断误差。1、欧拉公式（欧拉格式）、欧拉公式（欧拉格式）2、差分方程、差分方程由（由（3）
5、构成的方程称为）构成的方程称为差分方程差分方程，由此逐步求，由此逐步求 。3、局部截断误差和精度、局部截断误差和精度如果一种数值方法的局部截断误差为如果一种数值方法的局部截断误差为 ，则称这种方法的，则称这种方法的精度为精度为 阶阶。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、隐式欧拉格式（一阶精度）二、隐式欧拉格式（一阶精度）用向后差商 替代方程中的导数项 ，有（隐式欧拉格式隐式欧拉格式）欧拉格式的精度是欧拉格式的精度是 阶。事实上，有阶。事实上，有内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作三、两步欧拉格式
6、（二阶精度）三、两步欧拉格式（二阶精度）用中心差商 替代方程中的导数项 ，有（两步欧拉格式两步欧拉格式）计算当前步的值需要用到前两步的值，因此，得名两步格式两步格式。同时，也称前两种方法为单步方法单步方法。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作小小 结结介绍了常微分方程初值问题数值求解的介绍了常微分方程初值问题数值求解的欧拉格式欧拉格式，这，这些格式分别具有一阶和二阶精度。注意：些格
7、式分别具有一阶和二阶精度。注意：1、欧拉格式建立的基本思想就是用、欧拉格式建立的基本思想就是用差商差商代替代替微商微商（向（向 前、向后和中心差商）；前、向后和中心差商）；2、步长的选取；、步长的选取；3、算法的收敛和稳定性算法的收敛和稳定性分析是一个算法的重要部分。分析是一个算法的重要部分。欧拉格式欧拉格式欧拉格式欧拉格式隐式欧拉格式隐式欧拉格式隐式欧拉格式隐式欧拉格式两步欧拉格式两步欧拉格式两步欧拉格式两步欧拉格式一阶精度一阶精度一阶精度一阶精度二阶精度二阶精度作业：采用欧拉方法求解初值问题（步长为作业：采用欧拉方法求解初值问题（步长为h0.1）（用（用C+语言编写程序求解并准确解比较。）语言编写程序求解并准确解比较。）