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1、第七章第七章 常微分方程数值解常微分方程数值解1第七章 常微分方程数值解n7.1 引言n7.2 简单的单步法及基本概念n7.3 Runge-Kutta方法n7.4 单步法的收敛性与绝对稳定性n7.5 线性多步法n7.6 一阶方程组与高阶方程数值方法27.1 引言3简单的单步法及基本概念n7.2.1 Euler法，后退Euler法与梯形法n7.2.2 单步法的局部截断误差n7.2.3 改进Euler法4Euler法5Euler法的第二种导出方法6Euler法的第三种导出方法7隐式Euler法若对初值问题积分形式采用右矩形公式可得：称为隐式（后退）Euler法。8梯形法若对初值问题中对应的积分形式
2、采用梯形公式可得：9改进Euler法将梯形法和Euler法相结合，可得到改进的Euler法：107.4.1 单步法的逐步截断误差与方法的收敛性n称 为方法的累计误差。为了讨论累计误差，首先引入逐步误差估计的概念：假定用某公式计算当前近似值 时用到的前面一步（或多步）的值是准确值，此时的累计误差称为第n+1部的逐步误差。117.3 Runge-Kutta方法n7.3.1 显式Runge-Kutta法的一般形式n7.3.2 二、三阶显式R-K方法n7.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择1213然后通过合适地选取诸松弛参数来获得高精度公式:（回顾Gauss求积公式的获得）事实上，我们有关于“计算
3、函数值的个数与方法的阶数之间”的关系如右，因此四阶Runge-Kutta法是最经济的。14四阶Runge-Kutta法：每推进一步须计算四次函数值的4阶单步法。157.4 单步法的收敛性与绝对稳定性n7.4.1 单步法的收敛性n7.4.2 绝对稳定性167.4.2 绝对稳定性171819202122237.5 线性多步法n7.5.1 线性多步法n7.5.2 Adams显式与隐式方法n7.5.3 Adams预测-校正方法n7.5.4 Milne方法与Hamming方法247.5.1 线性多步法n前面介绍的一步法（如Eular公式、Runge-Kutta法），在提高精度时，需要增加中间函数值的计算
4、。能否利用更多的已算出的函数值（构造Gauss-Seidel迭代法时曾用过此思想）来构造高精度的算法。其中较简单的一种形式是线性多步法的一般形式252627得p+1个方程，2k个未知参数，令p+1=2k，可以证明其解的存在性，此时有：28297.5.2 Adams显式与隐式方法30Adams显式方法 31n因此构造4步显式Adams公式：32Adams隐式方法33n注1 出于误差和稳定性方面的考虑，通常构造预估校正格式：34n注 2:研究表明研究表明k步显式步显式Adams方法是方法是k阶的：阶的：35n注3 用k步法计算时须先用其它方法（如Runge-Kutta法）求出前面k个值作为初值，此
5、后每推进一步只须计算一个新的f值。n继而考虑Adams方法的稳定性：36Adams方法的稳定性37Adams方法的稳定性387.5.3 Adams预测-校正方法nAdams修正的预估校正公式：利用4步Adams显式和3步隐式公式具有同阶截断误差但系数不同的特点，将截断误差用显式公式（预估值，用表示）和隐式公式（校正值，用表示）表示出来，继而进行补足，具体做法如下：3940n于是构造修正的预估校正公式：n预估及其修正：预估及其修正：n校正及其修正：校正及其修正：417.5.4 Milne方法与Hamming方法42如 Simpson公式：局部截断误差为：Hamming公式：局部截断误差为：43n例：利用Milne-Hamming公式构造修正的预估校正公式的推导：由局部误差估计公式：相减得：所以：44n于是构造修正的预估校正公式：预估及其修正：校正及其修正：457.6 一阶方程组与高阶方程数值方法4647n对于高阶微分方程初值问题，原则上总可归结为一阶方程组，例如下列m阶微分方程4849